2020年高考文科数学《推理与证明》题型归纳与训练

1、2020年高考文科数学推理与证明题型归纳与训练【题型归纳】题型一归纳推理例1已知f(x)=x1+x,x0，若f(x)=f(x),f1n+1(x)=f(f(x),nn，则f4n+102(x)的表达式为_1+x1+x1+2xx【答案】1+2014x【解析】由f(x)=1xxx，得f(x)=f()=2，1+3x1+2014xxx可得f(x)=f(f(x)=，故可归纳得f(x)=322014例2观察下列等式:12=112-22=-312-22+32=612-22+32-42=-10照此规律,第n个等式可为【答案】1222+3242+（1）n+1n2=（1）n+1n(n+1)2（nn*）【解析】观察上式

2、等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用(-1)n+1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(-1)nn(n+1)2，所以第n个式子可为1222+3242+(-1)n+1n2=（1）n+1n(n+1)2（nn*）数为n(n+1)三角形数n(n,3)=1例3古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1，3，6，10，第n个三角形11=n2+n记第n个k边形数为222n(n,k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：1n2+n2

3、2正方形数n(n,4)=n21五边形数n(n,5)=31n2-n22六边形数n(n,6)=2n2-n可以推测n(n,k)的表达式，由此计算n(10,24)=【答案】1000【解析】观察n2和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故n(n,24)=11n2-10n，n(10,24)=1000题型二类比推理na例1若数列是等差数列，则数列b=a1+a2+lannn也为等差数列类比这一性质可知，若正项数cd列是等比数列，且nn也是等比数列，则dn的表达式应为（）a.d=c+c+lcb.d=nnnn12n123ccclcnc.d=nncn+cn+l+cn12nnd.dn=ncc

4、lc12n【答案】d例2若直角三角形的两条直角边长度分别为a,b，则此三角形的外接圆半径r=a2+b22，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a,b,c，则其外接球的半径r=【答案】r=a2+b2+c22例3已知结论：“在正三角形abc中，若d是边bc的中点，g是三角形abc的重心，则ag=2”,若gd“把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体abcd中，若dbcd的中心为m，四面体内部一点o到四面体各面的距离都相等，则aoom=【答案】3例4在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2.

5、设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥o-lmn，如果用s，s，s表示三个侧面面积，s表示截面面积，那么类比得到1234的结论是_【答案】s2+s122+s2=s342【解析】将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得s2+s2+s2=s2.故填s2+s2+s2=s2.12341234【易错点】类比推理所涉及高中的知识点存在漏洞。【思维点拨】本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下：平面空间点线圆三角形线面球三棱锥角二面角面积体积周长

6、表面积题型三演绎推理例1有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f(x)=0，那么x=x是函数f(x)的00极值点因为f(x)=x3在x=0处的导数值f(0)=0，所以x=0是函数f(x)=x3的极值点以上推理中()a大前提错误b小前提错误c推理形式错误d结论正确【答案】a【解析】对于可导函数f(x)，如果f(x0)=0，那么x=x0不一定是函数f(x)的极值点，大前提错误，故选a.【易错点】前提和推理形式正确性的确定。【思维点拨】演绎推理是一种必然性推理，只有前提和推理形式都是正确的，结论才一定是正确的，否则，不能保证结论的可靠性题型四逻辑推理例1有三张卡片，分别写有1和2

7、，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_【答案】1和3.【解析】因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以甲、乙的卡片中必有一张写有1和3，而丙的卡片又3不可能写有2和3(和不是5)，则丙的卡片上写的只能是1和2.从而知乙卡片上写有2和3(与丙相同数字不是1)，则甲卡片上写有1和3.故填1和3.【易错点】逻辑推理的关键是具体问题具体分析。【思维点拨】推理在实际生活中的应用是近年高考的一个热点问题，对已知条件进行有效的组合一

8、般可直接得到结果，对复杂情形，可能需要先假设，再判断【巩固训练】题型一归纳推理1.某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为_【答案】55.【解析】解：因为211，321，532，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为213455.故填55.2.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，则第60个“整数对”是()a(7，5)b(5，7)c(2，10)d(10，1)【答案】b【解析】依题意，就每组整数对

9、的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n1，且每组共有n个整数时，这样的前n组一共有n(n+1)(1010+1)1111+1)个整数，注意到60222，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，因此第60个整数对是(5，7)故选b.3.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是_【答案】白色【解析】由观察知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列因为3657余1，所以第36个

10、圆应与第1个圆颜色相同，即白色故填白色题型二类比推理1.在平面几何里，已知rtsab的两边sa,sb互相垂直，且saa,sbb，则ab边上的高habba22，现在把结论类比到空间：三棱锥sabc的三条侧棱sa,sb,sc两两相互垂直，sh平面abc，且saa,sbb,scc，则点s到平面abc的距离h【答案】habca2b2b2c2c2a22.已知三角形的三边分别为a,b,c，内切圆的半径为r，则三角形的面积srabc2四面体的四个面的面积分别为s,s,s,s，内切球的半径为r，类比三角形的面积可得四面体的体积v为1234【答案】vrs1s23s3s4a23.现有一个关于平面图形的命题：如图，

11、同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中4一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为【答案】a38题型三逻辑推理1.某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等据此可判断丙必定值班的日期是()a10日和12日b2日和7日c4日和5日d6日和11日【答案】d512【解析】这12天的日期之和，s122(112)78，甲、乙、丙各自的值班日期之和是26，对于甲，剩余2天日期之和是22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，故乙可能在2日，7日，或者是4日，5日值班，因此丙必定值班的日期是6日和11日故选d.22.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据