概率论与数理统计林文浩第七章习题

1、习题七参数估计B组1 使用一测量仪器对同一量进行12次测量，其结果为(单位：cm)232.53，232.45,232.47,232.45,232.30，232.48,232.30，232.50，232.48,232.05， 232.45, 232.15又设测量仪器无系统误差，试用矩估计法估计测量值的真值和方差。解 这里，测量值的真值即测量值的数学期望J，而方差为c2。按矩估计法有12 _八 Xi =Xi J122丄瓦Xi2 X2 12心所以，?, T2的观察值分别是1X=( 232.53+ 232.45+ + 232.15) = 232.384122 1 2 2 2 2S!( 232.53 +

2、 232.45 + 232.15 ) - 232.384 = 0.0211712它们分别是J和匚2的估计值。2设X1，X2/ ,Xn为总体的一个样本，求下列总体的概率密度或分布律中的参 数的矩估计量和极大似然估计量。(1) f (x)二e ,x 0,其中，0为未知参数；10, xS(2) f(x)二TX 0 X 1,其中0为未知参数；0,其他，亠幺出/日x兰卩(3) f(x)其中二0,二J为未知参数；0,其他，(4) P X = X Lpx(1 一 p)m_x, x = 0,1,2,，m， 0 c p c1, p 为未知参数;(5) P X = x匕e，x =0,1,2，其中0为未知参数。 x

3、!解(1先求的矩估计量：因为-be-benQ 1 nP = E(X) = xf(x)dx=扎 xedx =xe 一 丁 ex0：J而的矩估计量为1XXin i 二于是，有所以其次，求极大似然估计量：因为似然函数为nXii 4或 In L 二 nlnid令皿=0,得于是有即有二 xii =1(2)先求71的矩估计量：因为二= E(X)二.；xf (x)dx 二：2dx而)的矩估计量为 1 n X 一、Xi n i =1于是，有所以1 -X其次，求极大似然估计量：因为似然函数为nn.rIIi 4Xin力或 In L 二 n In 二(二-1尸 ln X)i 4令皆，得于是有二二-一，即有二 In

4、xii nnv ln Xii=1(3)先求n,的矩估计量：因为: :1E(X)； xf( X 加-“半/日子=P+8E(X2) = Jxfgdx =命 x2e4)/8dxD(X) = E(X2)-E(X)22曰是，匕的矩估计量 -?适合 1 n 1 n 其中，XXi，S：(Xj _x)2。n i an i 4其次，求极大似然估计量：因为似然函数为n 1L(为，X2； x)e1 -1 nJ=1n Fe1 nXin1 n-或 In L = -nlnx， ij它随卩的增加而增加，且对每一个x，都有Xj色卩，即卩(-o,minx 。因此，当取 P=minx时，似然函数才有可能达到最大。为求日的估计量，

5、令1 :i :nn1-写n =0，或 丁 -Xi _0 日2 日2 y n |ii =1于是有专=X(i)= minXi,X2/ ,Xn，彳(4)先求p的矩估计量：因为 X B(m, p)，有二 E(X) =mp而的矩估计量为故有mp =X ，其次，求极大似然估计量:因为似然函数为nL可【i =1xm -Xip,(1-p) inVXpi-n7 (mv)(1-P)TIn L=(送 xi)ln p+瓦(m务)1 n(1 p)+Z In m i di =1i d x令 dlL = 0，dp于是有1 n 、(m - xj = 0，或(1 一 p)、1 - P inXii 4n-P (m- xji 4=

6、0n、XiidP =mn-，即有PL二m(5)先求的矩估计量:因为X P(-)，有E(X)而的矩估计量为故有4=X其次，求极大似然估计量：因为似然函数为 XiIn L 二一n In x，工 x - x ln( xi!)i =1i d令皿=0,得于是有n x_gx，即有nPX : t3. ( 1设XX2,Xn是取自参数未知的正态总体的随机样本，试求的极大似然估计；(2)已知某种白炽灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机取出10只，测锝寿命（以小时计）为 1067, 919, 1196, 785, 1126, 936, 918, 1156, 920, 948。若总体参数都为未知，试用

7、极大似然法估计这个星期中生产的 灯泡能使用1300小时以上的概率。解（1 ）设X N（ J匚，则问题的关键在于估计参数Jo2。因为X的密度为1f(x) e 2-2故其似然函数为n 1(x 屮2L=D -ei 12 = (、.2 -)(Xi _ I.)2 22- IT e 2-i 4In L - -nln( 2 )】l nL令k；:ln L=0,，得二 0.1 n-r (x)=0 CT i 二n于是有1 nJxin im1 n匚2(Xj T2n i d，即有1 nM =Xj = Xn i#(x7)s2n im所以P X : t的极大似然估计为PX : t =PXS tSX ：J(1TX)&Sn-

8、1 10x =Z = 997.1 ,10 y（2）由题设，可得2 1 2 2Sn(Xj-x) =124.797n y于是应用（1）的结果，所求概率为1300997 1PX .1300 =1-PX 1300 =1-门（）124.797=1 -（2.427） =1 -0.9924 =0.00764假设随机变量 X服从区间（0门）上的均匀分布，其中端点 二是未知参数，设 XX2,，Xn是来自X的简单随机样本， X（n）二maxX1,，Xn是最大顺序统计 量，我们用X（n）做71的估计量，试将其修正为无偏估计量。解已知 X U（0, E，则 Xj U（0c），即1,0 ： x ： v,fxi（x）=

9、d（i =1,2/ ,n）0,其他.于是有Fx（n）（x）二 PX（n）乞 x二 PmaxXf X “二 PXx,Xx/ ,Xx =PXxPXx PXn exxxx珂丘血.一隹水 _fXn(t)dt-J-J因此，当x乞0时，有FX(n)(x) =0 ；而当x 0时，有/ 1 nFX(n)(X) .0；dt从而nfX(n)(X)二xn,0 ： x J0,其他.若取？=X（n），则有nrE(?二EX(n) =be日 n ；XfX(n)(X)dx= .0 亍 xdx 二 nn +1于是应修正为:?Xg，这时有n? n 1n 1E（?）=EX（n）EX（n）“nnn i即?X（n）为二的无偏估计量。n

10、5.设X1, X2 ,Xn为泊松分布P（ ）的一个样本。（1）试求参数的极大似然估计，并检验其无偏性；（2）验证样本方差S2也是的无偏估计；（3）证明对于任一值：YO _1），:- X （V： ）S2也是的无偏估计。解 （1）因为泊松分布 P（）的分布律为-XPX 二 Xe_Xi!所以其似然函数为n 片 xinxiLe=e|iXi!i a Xi!或n , Xjnnln L =口 e= n人+1 n 人送 x 送 ln(xi!)i# X !iim-n 丄、Xji A=O于是有VXii=1即的极大似然估计为二X。由于一 1 n1 nE()二E(X)E(Xj)=n yn y因此，二x是的无偏估计。(

11、2)因为_i ni ni nE(X) =E( XJE(XJ一n yn yD(X) =D( Xi)n i仝D(XJ =4 n i 二一所以X： -nX 2)二一 E(Xi2)-n E(X2)n -1 i 41 n _ _ 占 JDg 屮)2皿)(E(X)2n122 ( ：)_ n(_ ，)=， n -1yn故样本方差S也是九的无偏估计。(3)因为Ep X (1-： )S2 = : EX (1-： )ES2 = (1- ：)一所以:X (V - )S2也是的无偏估计。6设X,X2,Xn为总体NC点2)的一个样本。试适当选择常数C，使nC7 (Xi -Xi)2为二2的无偏估计量。解因为Xi与总体有相

12、同的分布，即 Xi NC-2)，故E(XJ = D(Xi)二二，E(Xi) 二(i =1,2,n)于是E(Xi 1 -Xi)2 = E(X：) -2E(Xi)E(Xi 1) E(X：)=2(2 ；2) _ 2= 2；2所以n _1n_jn_1EC (Xi “ XJ2E(Xj - XJ22；2 =2(n - 1)C；2i 4Vi 4依题设，要求nnd2 2 2 2 2EC (Xi 1 Xi)二C E(Xi 1 Xi) u ,即 2(n 一 1)C二=；i4ri所以C12(n -1)7已知Xi,X2, ,Xn,Xni为指数分布f(x)=x0“人丄亠的一个样本。0,其他_ i n(1) 证明f =X

13、Xi是71的一个极大似然估计量，而 ? = Xn 1是二的无偏估n i壬计量；(2) 试求常数k1和k2，使?=匕彳 k2応为二的无偏估计量，并且在所有这样线性估计中方差为最小。解 首先，Xi与总体有相同的分布，即 Xi P()，故E(Xi)= r,D(Xi)=二(i =1,2， ,n,n 1)(1)因为似然函数为nL可【i=11 n1 2 1 Wr1 jne i 或 ln L 二一nln为idEe令dlnL d v=0，得nXi-0于是有n XiV - 匚，即有n 1 n即说=X= JZXj是日的一个极大似然估计量。又因为E(Xn)=Q，因此n yE&) =EXni二即71? = Xn 1是

14、V的无偏估计量。(2) 因为1 n1 nE(#)=-_ E(XJ=-_ v-vn i二n i二二X也是二的无偏估计量。题设要求E(办，但卜 1 n即V -丄 Xi n i吕E k E(?1 )匕哄2 )年+ 宓=(k+ k)因此有k1 k1 ，或k2 =1 -匕。由于1 n1打D(E)=-fE D(Xi) = pE 日=,D) = DXn*z nD&) =k2D&) k；D&)k2k2=(k；户引亠d-kj2)户nn令dD臣o,dk1于是当k1nn 1,k2=1时，3=人會卄2闽为日的无偏估计量，并且在所n +1空 -2 ( 1 * )=,或 k1 = nnn +1有这样线性估计中方差为最小。

15、8.假定随机变量X和Y作了 n1和压次独立抽样得样本X1,X2,，Xq与丫1,丫2,，丫n2，相应的样本均值分别为 X与Y ,样本方差为S2与S。试证明X -丫的数学期望与方差的无偏估计分别是X -Y及S； + S：。证明 因为X与丫分别是总体 X和丫的数学期望的无偏估计，即E(X) = E(X), E(Y) = E(Y)于是E(X _Y)二 E(X) _ E(X) = E(x)_ E(Y) = E(X _Y)故X -Y是x -Y的数学期望的无偏估计。同样，S；与Sy分别是总体X和Y的方差的无偏估计，即E(Sb = D(X)，E(S：) = D(Y)于是E(g + st) = E(g) + E

16、(S；) = D(X) + D(Y) = D(X -丫) 故s2 +sy是x -丫的方差的无偏估计。9设劣与是参数二的两个独立的无偏估计，且 D&) =2D&)。试求常数ki 和k2，使ki?2?也是二的无偏估计，并且是所有这种形式的估计量中方差最小的。解据已知有E(k16+k)=e又因为E&) = E&)，因而E(k厨 +k2g) =k“E(晞 +k2E偲)日 + k2 日=(匕 + k2)日故有k k2 = 1，或 k2 = 1 - k再由D&) =2D&)，可得D(ki冈 闵)*初(冈)十k；D但?)=2k；D但?) + (1-kJ2D(碍)= (3k：-2匕 +1)D&)于是，当 f

17、(kJ =3k；2ki+1取最小值时，方差 D(ki理+k2喝)达到最小。为此，令df(kjdx=0,16k| 2 = 0 即 k =11312所以当k1, k2时，k1? - k2T?2为v的无偏估计量，并且是所有这种形式的估33计量中方差最小的。10.设总体XN（d；2）,与二2均未知，S2与S2分别是来自该总体的两个样本容量分别为n1与n2的样本方差，且m n2，试利用x2分布证明匚2的无偏估计量s2比s2更有效。证明因为当X N(-2)时，有2x (n 1 -1)，而且。/(口 -1)=2(门1 -1)n _ ADx2(m -1) = D-S12CT=(咤)9(52)(J口 2D(S2

18、)=()2Dx2( n1)H(“1 1丄)2 2(n 11) =m -1n -1同理，可得d（s2）二2；4。由于n n2，有，即 D(Sb :： D(Sf)因此S2比S2更有效。15. 设总体X N(；2) , 如果-2已知，问样本容量 n取多大时方能保证 的95%的置信区间的长度不大于 L。解设 0.05，则195%，该置信区间(X 乙,x7n 2CF.n孕的长度为2-.：nzrL于是样本容量n满足4r22n厂(z .)L 2查得Z = Z0.025 =1.96，代入上式，得2CF 2n _ 15.37 -2L216. 某厂用自动包装机包装葡糖，每袋净重2X NC -)，现随机抽取10袋,

19、102x =5020x =2520420。iT10测得各袋净重xi(g),i =1,2,10，计算得、(1) 已知卞-5g，求丄的置信度为95%的置信区间;(2) 匚未知，求的置信度为95%的置信区间;(3) 已知 - 500，求二2的置信度为95%的置信区间;(4) 未知，求匚2的置信度为95%的置信区间。解(1)取统计量 N(0,1)- =1 -95% =0.05，相应的J的置信区间为_ZqX z,jr n 2、n 2将 n =10, ；- 5g ,丄、Xj =502 ,10 vZj = Zo.025 = 1.96 代入上式，2其中x代替X ,即得所求的置信区间：(498.901,505.

20、099)。(2)取统计量X - Js/、nt(n _1):-=1-95% =0.05，相应的的置信区间为ss(X - -r.(n- 1),X 匕(n-1)p n 2n 2将 n=10，t&n 1) =t.025(9) =2.2622及2s 二 1 X2 -nx21 2520420-10 5022 = , 42.2222 二 6.4979Yn-1 i 二10-1代入上式，即得所求的置信区间：(497.352,506.648)。(3) 取统计量1 nx2(Xi - J2 x2(n)CT y2- =1-95% =0.05，相应的-的置信区间为nn(Xj)2 (Xj)2()x2 (n) x2 -.(n

21、)22将 n =10，X&(n)=瘟25(10) =20.483, x(n)二对肌(10)= 3.247及n1010Z (Xi -叮=送 Xi2-2吃 x +n=420i =i =1i d代入上式，即得所求的置信区间：(20.5048,129.350)。(4) 取统计量(n -1)s22CJ x2(n -1)2二=1-95% =0.05，相应的二的置信区间为将 n = 10(n_ 1)s2 (n 1)s2)x；(门一1)彳_：.( n1)22x2 (n-1) = x7o25 (9) =19.023 ,2xi_2(n 1x0-975 (9 2.700 及2s2 =42.2222代入上式，即得所求

22、的置信区间：（19.976,140.741）。18.为了检验一种杂交作物的两种处理方案，在同一地区随机地选择8块地段，一号方案产量：5686879384937579在各试验地段，按两种方案处理作物，这8块地段的单位面积产量（单位：kg）：5891778272二号方案产量：668079假设两种产量都服从正态分布，分别为X NCf2），丫 NC.；），2二未知,求叫2的置信度为解取统计量95%的置信区间。t=（X 一丫）士二2）t（m n2-2）sw /1 .1n1n2、=1 -95% =0.05，相应的 叫-的置信区间为屮比-2),X -丫2tmn2 - 2)2已知n, = n2 =8，而x 丄

23、1 xi n-i i d一 1 n2= 81.625,y=丄 yin2 -75.875，x- y 二 5.75(Xin2QQIQ-x) =145.696$(yi-y) =102.125rb -1 y=0一1)32+仇一1)=123.911,8. =11.1315口 十 n2 _ 2 查表得 gn 1 卄2 2)=t.025(14) = 2.1448，及2s 1 x2 -nx21 2520420-10 502242.2222 = 6.4979Y n -1 y 10 -1代入上式，即得所求的置信区间：(497.352,506.648)。20.设两位化验员 A、B独立地对某种聚合物含氮量相同的方法个

24、作10次测定，其测定值的样本方差依次为sA =0.5419,s； =0.6065。设；,哺分别为A、B所测定的测定值总体的方差，若总体均为正态的，求方差比ctAmB的置信度为0.95的置信区间。解取统计量2 _ 2F 二葺2 F(m -1,门2-1)S A _ 22Sa:=1-0.95 =0.05，相应的二今的置信区间为“匕.(口 -1,n2_1) sBF：(n _1,n2_1?22因为已知 m = n2 =10， s； = 0.5419, s； = 0.6065，而查表得Fg( n 1,n - 1)= F.0 2 5(9, 9) ，. 032F .(m -1,压-1) = F.975(9,9)二1F0.025 (9,9)14.03故所求的置信区间为：(0.222