条件概率(公开课)

1、条件概率(公开课) 1313- -3 3- -1717 条件概率(公开课) 1.事件事件A与与B至少有一个发生的事件叫做至少有一个发生的事件叫做A与与B的的 和事件和事件,记为记为 (或或 );AB AB 3.若若 为不可能事件为不可能事件,则说则说事件事件A与与B互斥互斥.AB 2.事件事件A与与B都发生的事件叫做都发生的事件叫做A与与B的的积事件积事件, 记为记为 (或或 );ABAB 事件概率加法公式：事件概率加法公式： ()( )( )P A BP AP B 若事件若事件A与与B互斥，则互斥，则. 条件概率(公开课) 三张奖券中只有一张能中奖，现分三张奖券中只有一张能中奖，现分 别由别

2、由3名同学无放回地抽取，问最后名同学无放回地抽取，问最后 一名同学抽到中奖奖券的概率是否比一名同学抽到中奖奖券的概率是否比 前两位小？前两位小？ 解：记“最后一名同学中奖”为事件B 为所有结果组成的全体 B 条件概率(公开课) ( )1 ( ) ()3 n B P B n 由由古古典典概概型型可可知知，最最后后一一名名同同学学抽抽到到中中奖奖奖奖券券的的 概概率率为为： 一般地，我们用一般地，我们用 来来 表示所有基本事件表示所有基本事件 的集合，叫做的集合，叫做基本基本 事件空间事件空间（或样本或样本 空间空间） 一般地，一般地，n(B)表示表示 事件事件B包含的基本包含的基本 事件的个数事

3、件的个数 条件概率(公开课) 如果已经知道如果已经知道第一名同学没有抽到第一名同学没有抽到中奖中奖 奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券 的概率又是多少？的概率又是多少？ “第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A “最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B 第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后 一名同学抽到中奖奖券的概率记为一名同学抽到中奖奖券的概率记为P(B|A） 条件概率(公开课) P(B)以试验为条件以试验为条件,样本空间是样本空间是 二、内涵理解: A B P(B|A)以以A发生为条件发生为条件,样本空间缩小为样本空间

4、缩小为A P(B |A)相当于把看作 新的样本空间求AB发生 的概率 样本空间不一样为什么上述例中P(B|A) P(B)？ 条件概率(公开课) 一般地，设一般地，设A，B为两个事件，且为两个事件，且P(A)0，则，则 () () ( ) P AB P B A P A 称为在事件称为在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的发生的条件概率条件概率。 一般把一般把P(B|A)读作读作A发生的条件下发生的条件下B的概率。的概率。 注意：注意： （1）条件概率的取值在）条件概率的取值在0和和1之间，即之间，即0P(B|A) 1 （2）如果）如果B和和C是是互斥事件互斥事件，则，则 P(BC

5、|A)= P(B|A)+ P(C|A) 条件概率的定义：条件概率的定义： 在原样本空间在原样本空间 的概率的概率 条件概率(公开课) (通常适用古典概率模型通常适用古典概率模型) (适用于一般的概率模型适用于一般的概率模型) 条件概率(公开课) 反思反思 求解条件概率的一般步骤： （1）用字母表示有关事件）用字母表示有关事件 （2）求）求P(AB），），P(A)或或n(AB),n(A) ( 3 )利用条件概率公式求利用条件概率公式求 ( ( ) ) () ) P AB P A n AB P BA n A 条件概率(公开课) .)AB(P)AB(P, AB )AB(P , AB )AB(P ,.

6、B ,)AB(P, AB,)AB(P A A 大大比比一一般般来来说说 中中样样本本点点数数 中中样样本本点点数数 中中样样本本点点数数 中中样样本本点点数数 则则用用古古典典概概率率公公式式发发生生的的概概率率计计算算 中中表表示示在在缩缩小小的的样样本本空空间间而而的的概概率率 发发生生计计算算中中表表示示在在样样本本空空间间 3.概率概率 P(B|A)与与P(AB)的区别与联系的区别与联系 基本概念基本概念 条件概率(公开课) 例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如 果不放回地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； 解：设

7、第解：设第1次抽到理科题为事件次抽到理科题为事件A，第第2次抽到理科题次抽到理科题 为事件为事件B，则第，则第1次和第次和第2次都抽到理科题为事件次都抽到理科题为事件AB. （1）从）从5道题中不放回地依次抽取道题中不放回地依次抽取2道的事件数为道的事件数为 2 5 ()20nA 11 34 ()12n AAA 根根据据分分步步乘乘法法计计数数原原理理， ( )123 ( ) ()205 n A P A n 条件概率(公开课) 例例1、在、在5道题中有道题中有3道理科题和道理科题和2道文科题，如果不放回道文科题，如果不放回 地依次抽取地依次抽取2道题，求：道题，求： （1）第一次抽取到理科题的

8、概率；）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； 2 3 2()6n ABA （ ） ()63 () ()2010 n AB P AB n 解：设第解：设第1次抽到理科题为事件次抽到理科题为事件A，第第2次抽到理科题次抽到理科题 为事件为事件B，则第，则第1次和第次和第2次都抽到理科题为事件次都抽到理科题为事件AB. 条件概率(公开课) 例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如 果不放回地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率； （3）在第一次抽到理科题的条件 下，

9、第二次抽到理科题的概率。 条件概率(公开课) 法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题 的条件下，第二次抽到理科题的概率为 2 1 5 3 10 3 )( )( )( AP ABP ABP 法二：因为：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以，所以 2 1 12 6 )( )( )( An ABn ABP 法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、 两道文科题，故第二次抽到理科题的概率为1/2 条件概率(公开课) 例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字 都可从09中任选一个。某人在银行自动取款 机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求： （1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对 的

10、概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超 过2次就按对的概率。 112 19 11 (1) ( )()() 1010 95 P AP AP A A 112 14 12 (2) (|)(|)(|) 55 45 P A BP A BP A AB 条件概率(公开课) 练习：设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二 等品，规定一、二等品为合格品从中任取1 件， 求 (1) 取得一等品的概率； (2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率 解解设设B表示取得一等品，表示取得一等品，A表示取得合格品，则表示取得合格品，则 （1）因为因为100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，件

11、一等品， 70 ()0.7 100 P B （2）方法方法1： 70 ()0.7368 95 P B A 方法方法2： () () ( ) P AB P B A P A 因为因为95 件合格品中有件合格品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以 70 100 0.7368 95100 AB 70709595 5 5 BAABB 条件概率(公开课) 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定颗骰子决定, ,若若已知已知出现点数不超过出现点数不超过3 3的的条

12、件下条件下再再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ B= B=出现的点数是奇数出现的点数是奇数 ， 设设A=A=出现的点数不超过出现的点数不超过33， 只需求事件只需求事件 A A 发生的条件下，发生的条件下， 事件事件 B B 的概率即（的概率即（B BA A） ()2 (|) ( )3 n AB P B A n A B 5 5 A 2 2 1 1 3 3 4,64,6 解法一解法一（减缩样本空间法）（减缩样本空间法） 例题例题2 解解1： 条件概率(公开课

13、) 例例 2 考虑恰有两个小孩的家庭考虑恰有两个小孩的家庭. （1）若已知）若已知 （2）若已知）若已知 （假定生男生女为等可能）（假定生男生女为等可能） 例例 3 设设P(A|B)=P(B|A)= ,P(A)= ,求求P(B). 1 2 1 3 某家第一个是男孩，求这家有两个男孩某家第一个是男孩，求这家有两个男孩 （相当于第二个也是男孩）的概率（相当于第二个也是男孩）的概率 某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩 的概率；的概率； 条件概率(公开课) 探究：探究： 三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学 无放回的

14、抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小。是否比前两名同学小。 思考思考1 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那 么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？ 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最 后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 一般地，在已知另一事件一般地，在已知另一事件A A发生的前提下，事件发生的前提下，事件B B发发 生的可能性大小不一定再是生的可能性大小不一定再

15、是P(B).P(B).即即 (|)( )P B AP B 条件的附加意味着对样本空间进行压缩条件的附加意味着对样本空间进行压缩. . 条件概率(公开课) 引例引例: 掷红、蓝两颗骰子掷红、蓝两颗骰子,设事件设事件A=“蓝色骰子的点数为蓝色骰子的点数为3或或6” 事件事件B=“两颗骰子点数之和大于两颗骰子点数之和大于8” 求求(1)P(A)，P(B)，P(AB) (2)在在“事件事件A已发生已发生”的附加条件下事件发生的概率？的附加条件下事件发生的概率？ (3)比较比较(2)中结果与中结果与P(AB)的大小及三者概率之间关系的大小及三者概率之间关系 P(B)=10/36=5/18P(A)=12/

16、36=1/3P(AB)=5/36 ()5 (|) ( )12 n AB P B A n A 5 ()5 36 (|) 1 ( )12 3 P AB P B A P A 条件概率(公开课) B A P(B |A)相当于把看作新的相当于把看作新的 基本事件空间求基本事件空间求发生的发生的 概率概率 () ()()() (|) ( ) ( )( ) () n AB n ABP ABn P B A n A n AP A n 对于上面的事件对于上面的事件A和事件和事件B，P(B|A)与它们的概与它们的概 率有什么关系呢？率有什么关系呢？ 条件概率(公开课) 1.条件概率条件概率 对任意事件对任意事件A和

17、事件和事件B，在已知事件，在已知事件A发生的发生的 条件下事件条件下事件B发生的条件概率发生的条件概率”，叫做，叫做条件概率条件概率。 记作记作P(B |A). 2.条件概率计算公式条件概率计算公式: () (|) ( ) P AB P B A P A 注注: :0(|)P B A1; ; 几何解释几何解释: : 可加性：可加性： 如果如果BC和和互斥互斥， 那么那么 ()|(|)(|)PBCAP B AP C A B A 条件概率(公开课) .)AB(P)AB(P, AB )AB(P , AB )AB(P ,.B ,)AB(P, AB,)AB(P A A 大大比比一一般般来来说说 中中样样本

18、本点点数数 中中样样本本点点数数 中中样样本本点点数数 中中样样本本点点数数 则则用用古古典典概概率率公公式式发发生生的的概概率率计计算算 中中表表示示在在缩缩小小的的样样本本空空间间而而的的概概率率 发发生生计计算算中中表表示示在在样样本本空空间间 3.概率概率 P(B|A)与与P(AB)的区别与联系的区别与联系 基本概念基本概念 条件概率(公开课) 例例1 1在在5道题中有道题中有3道理科题和道理科题和2道文科题，如果不放回道文科题，如果不放回 的依次抽取的依次抽取2道题道题 （1）第一次抽到理科题的概率）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率）第一次与第二次都抽到

19、理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率题的概率. 条件概率(公开课) 例例1 1在在5道题中有道题中有3道理科题和道理科题和2道文科题，如果不放回道文科题，如果不放回 的依次抽取的依次抽取2道题道题 （1）第一次抽到理科题的概率）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率题的概率. 条件概率(公开课) 练习、练习、 1、5个乒乓球，其中个乒乓球，其中3个新的，个新的，2

20、个旧的，每次取一个，不个旧的，每次取一个，不 放回的取两次，求：放回的取两次，求： （1）第一次取到新球的概率；）第一次取到新球的概率； （2）第二次取到新球的概率；）第二次取到新球的概率； （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。 3/5 3/5 1/2 2、盒中有、盒中有25个球，其中白球若干个，黄球个球，其中白球若干个，黄球5个，黑球个，黑球 10个，从盒中任意取出一个球，已知它不是黑球，试个，从盒中任意取出一个球，已知它不是黑球，试 求它是黄球的概率。求它是黄球的概率。 15 25 1 3 PP BCP P 设“取出的是黄球”

21、为事件B，“取出的是黑球”为事件C， 10105 则P（C）=，（C）=1-，（B）= 252525 5 ， （BC）=P（B）= 25 P（BC） 所求概率（B|C）= P（C） 条件概率(公开课) 条件概率计算中注意的问题条件概率计算中注意的问题 1、条件概率的判断：、条件概率的判断： （1）当题目中出现）当题目中出现“在在前提（条件）前提（条件） 下下”等字眼，一般为条件概率。等字眼，一般为条件概率。 （2）当已知事件的发生影响所求事件的概）当已知事件的发生影响所求事件的概 率，一般也认为是条件概率。率，一般也认为是条件概率。 2、相应事件的判断：、相应事件的判断： 首先用相应的字母首先

22、用相应的字母A、B表示出相应的事件，然表示出相应的事件，然 后分析清楚在哪个事件发生的条件下求哪个事件后分析清楚在哪个事件发生的条件下求哪个事件 的概率。的概率。 AB当时，P(AB)=P(A) 条件概率(公开课) 例例 2 2 一张储蓄卡的密码共有一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可位数字，每位数字都可 从从09中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时， 忘记了密码的最后一位数字，求：忘记了密码的最后一位数字，求： （1）任意按最后一位数字，不超过）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；次就按对的概率； （2）如果他记得密码的最后一位是偶

23、数，不超过）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就次就 按对的概率。按对的概率。 112 19 11 (1) ( )()() 1010 95 P AP AP A A 112 14 12 (2) (|)(|)(|) 55 45 P A BP A BP A AB 条件概率(公开课) 例例 3 3 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象 记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20% 和和18%，两地同时下雨的比例为，两地同时下雨的比例为12%，问：，问： （1）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多

24、少？）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？ （2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？ 解：设解：设A=“甲地为雨天甲地为雨天”， B=“乙地为雨天乙地为雨天”，则，则 P（A）=0.20，P（B）=0.18，P（AB）=0.12 ()0.12 (2) (|)0.60 ( )0.20 P AB P B A P A ()0.12 (1) (|)0.67 ( )0.18 P AB P A B P B 条件概率(公开课) 1.某种动物出生之后活到某种动物出生之后活到20岁的概率为岁的概率为0.7， 活到活到25岁的概率为岁的概率为0.56，求现年为，求

25、现年为20岁的这种岁的这种 动物活到动物活到25岁的概率。岁的概率。 解解 设设A表示表示“活到活到20岁岁”(即即20)，B表示表示 “活到活到25岁岁” (即即25) 则则 ( )0.7, ( )0.56P AP B 所求概率为所求概率为 ()( ) ()0.8 ( )( ) P ABP B P B A P AP A AB 0.560.560.70.7 5 5 BAABB由于故， 条件概率(公开课) 2.2.抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数 B=B=出现的点数是奇数出现的点数是奇数 ， A=A=出现的点数不超过出现的点数不超过33， 若已知出现的点数不超过若已知出

26、现的点数不超过3 3，求出现的点数是奇数，求出现的点数是奇数 的概率的概率 解：即事件解：即事件 A A 已发生，求事件已发生，求事件 B B 的概率的概率 也就是求：（也就是求：（B BA A） A B A B 都发生，但样本空都发生，但样本空 间缩小到只包含间缩小到只包含A A的样本点的样本点 ()2 (|) ( )3 n AB P B A n A B 5 5 A 2 2 1 1 3 3 条件概率(公开课) 3. 设设 100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，件一等品，25 件二等品，规件二等品，规 定一、二等品为合格品从中任取定一、二等品为合格品从中任取1 件，求件，求 (1) 取

27、得一取得一 等品的概率；等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品已知取得的是合格品，求它是一等品 的概率的概率 解解设设B表示取得一等品，表示取得一等品，A表示取得合格品，则表示取得合格品，则 （1）因为因为100 件产品中有件产品中有 70 件一等品，件一等品， 70 ()0.7 100 P B （2）方法方法1： 70 ()0.7368 95 P B A 方法方法2： () () ( ) P AB P B A P A 因为因为95 件合格品中有件合格品中有 70 件一等品，所以件一等品，所以 70 100 0.7368 95100 AB 70709595 5 5 ()()BAP

28、 ABP B 条件概率(公开课) 4、一批产品中有、一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品占的次品，而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概 率率 设表示取到的产品是一等品，表示取设表示取到的产品是一等品，表示取 出的产品是合格品，出的产品是合格品， 则则 %45)|(BAP%4)(BP 于是于是 %96)(1)(BPBP 解解 () ( ) (|) P AB P B P A B ()()ABP ABP A ()( ) ()P ABP B P A B 9645 ()()0.432 100 100 P ABP A 条

29、件概率(公开课) 解解 5、一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地一个盒子中有只白球、只黑球，从中不放回地 每次任取只，连取次，求每次任取只，连取次，求 (1) 第一次取得白球的概第一次取得白球的概 率；率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率；第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取第一次取 得黑球而第二次取得白球的概率得黑球而第二次取得白球的概率 设表示第一次取得白球设表示第一次取得白球, 表示第二次取得白球表示第二次取得白球, 则则 6 ()0 .6 1 0 PA （2） ()P AB （3） ()()()P ABP A P B A （1） ()()P A P B A 65