高一数学必修1主要考点

1、高中数学必修 1 主要考点考点一：集合间的运算：求交集 (a b）、并集 (a b) 、补集 (cua)类型题 1：用列举法表示的集合间的运算对于用列举法表示的集合间的运算， a b（交集）为 a 与 b 的相同元素组成的集合， a b（并集）为 a 与 b 的所有元素合在一起并把重复元素去掉一个所组成的集合， cua（补集） 为在全集 u 中把 a 拥有的元素全部去掉剩下的元素所组成的集合。例 1、已知全集 u=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，集合 a=1,3,5,7 ，集合 b=2,5,8 ，求 a b， a b， cua 。解： ab=1,3,5,7 2,5,8=5ab=1,

2、3,5,7 2,5,8=1,2,3,5,7,8cua=2,4,6,8,9,10类型题 2：用描述法表示的集合间的运算（主要针对用不等式描述元素特征）对于用描述法表示的集合间的运算，主要采用数形结合的方法，将集合用数轴或文氏图表示出来（常选用数轴表示），再通过观察图形求相应运算。ab（交集）为图形中 a 与 b 重叠即共同拥有的部分表示的集合。a b（并集）为图形中a 加上 b 所表示的集合。 cua （补集）为图形中表示全集u 的部分中去除表示a 剩下的部分所表示的集合（若全集为 r，则数轴表示时是整条数轴）注意表示数轴是带有等于号的用实心点表示，没带等于号的用空心点表示。例 2、已知集合 a

3、=x|0x2 ， b=x|-1x3 ，求 a b， a b， cra 。解： ab=x|0x2 x|-1x3=x|0x2数轴表示：（此部分可在草稿纸进行）a b=x|0x2 x|-1x3=x|-1x 0 ，定义域不相同；（ 2） y = ( 3x3)定义域为 r，化简后对应关系为y=x，与 y=x 为同一函数；（ 3） y = x 2 定义域为 r，化简后对应关系为y=|x|，对应关系不相同；（ 4） y= x2定义域为 x|x 0 ，定义域不相同。x考点四：单调性证明及性质应用1、定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为 i ，如果对于定义域i 内的某个区间d 内的任意两个自变量x1， x2

4、，当 x1x 2 时，都有 f(x 1)f(x 2)，那么就说 f(x) 在区间 d上是 增函数 ；如果对于定义域i 内的某个区间d内的任意两个自变量x1， x2，当 x1f(x 2)，那么就说 f(x) 在区间 d上是 减函数 。2、性质增函数： 在单调区间内，对于任意x1x 2，均有 f(x 1)f(x 2 )，且函数图象在此区间内呈现上升趋势；减函数： 在单调区间内，对于任意x1f(x 2 )，且函数图象在此区间内呈现下降趋势；3、定义法证明单调性步骤 在单调区间内任取x1， x2 d，且 x1x 2；（取值） 作差 f(x 1) f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方） ； 定号（即

5、判断差f(x 1) f(x 2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x) 在给定的区间 d 上的单调性） 例 1、证明函数 f（x） 3在 3,5 上是减函数。x1证明：设 x1, x2 3,5 ，且 x1x2 ，则f ( x1 )f ( x2 )333( x2 x1 )x1 1 x21 (x11)( x2 1)x1 , x2 3,5，x11 0, x2 10x1 x2 ，x2x10f ( x1 )f ( x2 )0,即 f (x1 )f ( x2 )因此，函数f（x）3在 3,5上是减函数。x14、利用函数单调性求变量取值范围常见给出一个二次函数在某一区间上的单调性，并求变量的取值范围。此类题

6、型注意二次函数的对称轴必须落在所给单调区间的外面，再结合二次函数开口方向即可求解。例 2、设函数 f xx23a1xa2 在区间 1,上是增函数，求实数a 的取值范围。解：二次函数fxx23a1 xa2 图象开口向上，对称轴为： x(3a1)3a122函数 fxx23a1 xa2 在区间 ( 3a 1 ,) 上是增函数2又由题意知：函数fxx23a1 xa2 在区间 1,上是增函数 3a 11 ，解得： a1实数 a 的取值范围为,12考点五：求函数最值：求函数最值一般结合函数单调性进行求解例 1、求函数 y( x1) 22 ， 0x2 的最大值与最小值。解：函数 y( x1) 22为二次函数

7、，图像开口向上，对称轴为x=1函数在对称轴处取得最小值f(1)=-2 ，又 f(0)= f(2)=-1，故函数最大值为 -1 。考点六：奇偶性判断及性质应用1、定义偶函数： 一般地，对于函数f ( x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f ( x)f (x) ，那么 f (x) 就叫做偶函数 （学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义奇函数： 一般地，对于函数f ( x) 的定义域的任意一个x ，都有 f (x)f (x) ，那么 f (x) 就叫做奇函数2、性质偶函数：f (x)f ( x) ，图象关于y 轴对称；图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。奇函数：f (x)f ( x)

8、，图象关于原点对称，f (0)f ( 0)0 ；图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。典型题：利用奇偶性性质求函数解析式例 1、函数 f (x) 是定义域为r 的奇函数，当x0 时， f (x)x1，求当 x0时， f ( x) 的表达式。解：令 x0, 则x0, f ( x)(x)1x1f (x) 是定义域为r 的奇函数，f (x)f (x)当 x0时， f ( x)f ( x)(x1)x1 。当 x0 时， f ( x) 的表达式为：f ( x)x13、判断奇偶性步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f (x)与 f (x)的关系 ；作出相应结论：若 f (

9、x)f ( x)或 f ( x)f ( x)0, 则f ( x)是偶函数；若 f (x)f (x)或 f (x)f (x)0,则 f ( x)是奇函数例 2、判断下列函数的奇偶性（ 1）f (x)x22x（2）f (x)| x1 | x1|解：（ 1） f ( x) 的定义域为 2 ，定义域不关于原点对称因此函数f ( x) 既不是奇函数，也不是偶函数（ 2） f ( x) 的定义域为r，定义域关于原点对称又 f (x)|x1 |x1 | | x1 | x1|f ( x) f (x) 是偶函数考点七：指数式、对数式运算1、实数指数幂的运算性质：（1） a r a rar s(a 0, r ,

10、s r)（2） ( a r ) sars( a0,r , sr)（ 3） (ab) ra r a s(a0, r , s r)2、对数的运算性质：如果 a0 ，且 a1， m0， n0 ，那么：1(m n )log a m log a n ； log a2 log amlog a m log an ；nn3mn log a m( nr) log a3、换底公式：log a blog cb（ a0 ，且 a1 ； c0 ，且 c1 ； b0 ）log ca例 1 计算下列各式的值：（1） ( a b) 3(a b) (2)log 3 25log 3 16(3) log 9 27解：（ 1） (a

11、 b) 3( ab)( a b) 3 1(a b) 4（ 2） log 3 25log 3 16log 325log 3 ( 5) 22log 351644（ 3） log 9 27log 3 27log 3 333log 3 9log 3 322考点八：指数型函数、对数型函数、幂函数过定点问题利用指数函数、对数函数、幂函数过定点求解：指数函数 ya x (a0且 a1) 图象过定点（ 0,1），即当 x=0 时， y=1（即 ax=1 ）。对数函数 ylog ax( a0且 a 1)图象过定点（ 1,0），即当 x=1 时，y=0（即 loga x=0）。幂函数 yx a (a0且 a1)

12、图象过定点（ 1,1），即当 x=1 时， y=1（即 xa=1 ）。例： 函数 ya x21( a0, a 1)的图象必经过点。解：由指数函数ya x (a0且 a1) 过定点（ 0，1）可知：当 x-2=0 时， ax-2 =1，则 y= ax-2 +1=1+1=2 ，即当 x=2 时， y= ax-2+1=2，因此，函数ya x 21(a0, a1) 的图象必经过点（2， 2）。考点九：指数不等式、对数不等式借助指数函数、对数函数图象性质（尤其是单调性）求解：指数函数 ：若 0a1：当 x 1 ；当 x 0 时， 0y 1 ： 当 x 0 时， 0 y 0 时， y 1 。在定义域上增。

13、对数函数： 若 0 a1 ：当 0x0 ；当 x1 时 , y1 ： 当 0x1 时 , y1 时 ,y0。在定义域上增。注意别忽略对数式对真数的限制：真数大于0。例： 解不等式 log 2 (2x1) log 2 ( x5).解：对数式中真数大于0，2x10, 解得 1x 5.x50,2又函数 y log 2 x 在 (0,) 上是增函数原不等式化为 2x 1x5, 解得 x2.原不等式的解集是 x |12.x2考点十：利用指数函数、对数函数单调性求变量取值范围例：已知函数 y=(a+1)x 在 r 上为减函数，求变量a 的取值范围。解：由函数 y=(a+1) x 在 r 上为减函数可知：

14、0 a+11解得： -1 a0因此，变量 a 的取值范围为 a|-1a0 。考点十一：零点问题1、方程与函数的关系： 方程 f(x)=0有实数根函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有交点函数 y=f(x) 有零点2、求函数零点（或方程的根）所在区间：方法一：（代入法） 对于选择题，可选用代入法，根据零点定理（y=f(x) 是在区间a，b上的连续函数，如果有f(a)f(b)0 ，则：函数 y=f(x) 在区间 a，b 内有零点，方程 f(x)=0 在（ a，b）内有实根。）确定零点所在区间。例 1：函数 f (x)exx2 的零点所在的一个区间是（）a 、（ -2， -1）b、（ -1，0）c、

15、（ 0， 1）d 、（1， 2）【解析】代入法。f (x) exx 2， f (0)10, f (1)e 10, 选 c。方法二：（图像法） 若所给函数由基本初等函数组合而成（即g(x)=g(x)-f(x) ），可将函数对应的方程化成f(x) =g(x) 的形式，则零点所在区间就是这两个函数f(x) 与 g(x)图像交点所在区间。 在坐标轴上画出两个函数的图形，找出图像交点所在区间即可。如上面的例 1 中函数对应方程 exx 2 0 可化为 exx2 ，在坐标轴上画出函数 y ex和 yx2 的图象，可发现两函数图象交点在区间（0， 1）内。3、求函数零点（方程的根）的个数或根据零点个数求变量取值范围。求函数零点的个数即求对应方程的根的个数， 也是函数图象与 x 轴的交点个数。比较常见涉及的函数为二次函数。此类题型可用二次函数的图像或对应一元二次方程的根的判