根与系数的关系练习题

1、一元二次方程根与系数的关系习题主编：闫老师准备知识回顾:1、一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a#0)的求根公式为-b - b2 -4acz. 2x =(b - 4ac 2 0)。2a2、一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a #0)根的判别式为：a=b24ac(1)当aa0时，方程有两个不相等的实数根。(2)当a=0时，方程有两个相等的实数根。(3)当a0时，方程没有实数根。反之：方程有两个不相等的实数根，则 ;方程有两个相等的实数 根，则;方程没有实数根，则 。韦达定理相关知识1若一元二次方程ax2 +bx + c = 0(a #0)有两个实数根xmx2 ,那么xi +x2

2、=, xi *x2 =。我们把这两个结论称为一元 二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。2、如果一元二次方程x2 + px + q = 0的两个根是和*2 ,则x1 +x2 =,3、以x1和x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2 - (x1 + x2 )x + x1 x2 = 04、在一元二次方程ax2 +bx + c = 0(a #0)中，有一根为0,贝uc =;有一根为1,则a + b + c =；有根为一1,则a b + c =;若两根互为倒数，则c=;若两根互为相反数，则b =。5、二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax2 +bx +c的因式时，如果可用公式求出方程

3、 ax2 +bx+c =0(a =0)的两个根 x1 和x2 ,那么 ax2+bx+c = a(x x1)(x x2).如果 方程ax2 +bx+c =0(a 0)无根，则此二次三项式ax2+bx+c不能分解.基础运用例1:已知方程3x2 -(k -1)x+2=0的一个根是1,则另一个根是 ,k =o解:变式训练：1、已知x=-1是方程3x2+2x + k=0的一个根，则另一根和k的值分别是多少？2、方程x2-kx-6=0的两个根都是整数，则k的值是多少？例2:设x1和x2是方程2x2 +4x-3 =0 ,的两个根，利用根与系数关系求下列各式 的化22，一，一 11,、o(1) x，+x22(

4、2)(x1 +1)(x2+1)(3)十一(4)(x1-x2)2-可编辑修改-变式训练：1、已知关于x的方程3x2 _10x + k=0有实数根，求满足下列条件的k值：（1）有两个实数根。（2）有两个正实数根。（3）有一个正数根和一个负数根。（4）两个根都小于2。2、已知关于x的方程x2-2ax+a = 0。（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。(2) a取何值时，方程有两个正根。(3) a取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。(4) a取何值时，方程到少有一根为零？选用例题：例3:已知方程ax2 +bx+c = 0(a #0)的两根之比为1:2,判别式的值为1,则a与b是多少？例4、已

5、知关于x的方程x2+2(m+2)x + m2-5 = 0有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16,求m的值例5、若方程x2 -4x+m =0与x2-x-2m = 0有一个根相同，求m的值。基础训练：1 .关于x的方程ax2 -2x+1=0中，如果a0,那么根的情况是()(a)有两个相等的实数根(b)有两个不相等的实数根(c)没有实数根(d)不能确定2 .设土区 是方程2x2 6x + 3 = 0的两根，则x12+x22的值是()(a) 15 (b) 12 (c) 6 (d) 33 .下列方程中，有两个相等的实数根的是()(a) 2y2+5=6y (b) x2+5=2m x (c)

6、y13 x2-g x+2=0 (d) 3x2-2m x+1=04 .以方程x2+ 2x-3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是()(a) y2+5y 6=0(b) y2+5y + 6=0(c) y2-5y+ 6=0(d) y2-5y-6=05 .如果x1，x2是两个不相等实数，且满足 x122x1=1, x222x2=1,那么整 x2等于()(a) 2(b) -2(c) 1(d) 16 .关于x的方程a/ 2x+ 1=0中，如果a0,那么根的情况是()(a)有两个相等的实数根(b)有两个不相等的实数根(c)没有实数根(d)不能确定7 .设x, x2是方程2x2- 6x+3 = 0的两根，

7、则 必+乂22的值是()(a) 15(b) 12 (c) 6(d) 38 .如果一元二次方程x2+ 4x+ k2 = 0有两个相等的实数根，那么k=9 .如果关于x的方程2x2(4k+1)x + 2 k21 = 0有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是10 .已知 x1，x2是方程 2x27x+ 4= 0 的两根，则 x + m =, x, (x1 x2 ) 11 .若关于x的方程(m22)x2(m2)x+ 1=0的两个根互为倒数，则m=.二、能力训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：(1) x2-x=5(2)9)2 -6 2 +2=0(3)x2 x+2=02、当m=时，方程x2+m

8、x+4=0有两个相等的实数根；当m=时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；3、已知关于x的方程10x2(m+3)x+m 7=0,若有一个根为0,则m=:3这时方程的另一个根是；若两根之和为，则m= ,这时方程5的两个根为.4、已知3也 是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及 m的值。5、求证：方程(m2+1)x22mx+(m2+4)=0没有实数根。6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1一，5和1+45 。7、设4凶是方程2x2+4x 3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值:x2xi2(1) (xi+1)(x2+1)(2)x + x(3) xi + x 1x2+2

9、xi8、如果x2 2(m+1)x+m2+5是一个完全平方式，则 m=;9、方程2x(mx 4)=x26没有实数根，则最小的整数 m=;10、已知方程2(x 1)(x 3m)=x(m4)两根的和与两根的积相等，则 m=;11、设关于x的方程x2 6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为12、设方程4x27x+3=0的两根为x1,x2,不解方程，求下列各式的值:1(1) x12+x22(2)x1 x2(3) %；x1 +qx2(4) x1x22+3 x113、实数s、t分别满足方程 19s 2+ 99s + 1 = 0和且19+99t + t2=0求代数s t + 4 s + 1式

10、的值。14、已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+112 (ax a 1)=0有无实根?15、求证：不论k为何实数，关于x的式子(x 1)(x 2)k2都可以分解成两个一次因式的积。16、实数k在什么范围取值时，方程kx2+2(k-1)x-(k-1) =0有实数正根?训练(一)1、不解方程，请判别下列方程根的情况；(1)2f+3t 4=0,;(2)16x+9=24x,;(3)5(if+1) 7u=0,;2、若方程x2(2m1)x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是;3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+43和2，3，则p=,q=;4

11、、已知方程3x2- 19x+m=0的一个根是 1,那么它的另一个根是 ,m=;5、若方程x2+mx 1=0的两个实数根互为相反数，那么 m的值是;6、m,n是关于x的方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的两个实数根，则代数式 mn=o7、已知关于x的方程x2(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值；8、如果a和b是方程2x2+3x 1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于a +q和+ ;0a9、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程(4+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形10 .取什么实

12、数时，二次三项式 2x2 (4k+1)x+2k2 1可因式分解.11 .已知关于x的一元二次方程m 2x2+ 2 (3 m) x + 1 = 0的两实数根为a, 0 ,若s =+c，求s的取值范围 a 口训练(二)1、已知方程x2 3x+1=0的两个根为a,b ,则+3, a=；2、如果关于x的方程x2 4x+m=0与x2 x 2m=0有一个根相同，则 m的值为；3、已知方程2x2 3x+k=0的两根之差为21 ,则k=;4、若方程x2+(a2 2)x 3=0的两根是1和一3,则a=;5、方程4x22(a-b)x ab=0的根的判别式的值是 ;6、若关于x的方程x2+2(m 1)x+4m2=0

13、有两个实数根，且这两个根互为倒数， 那么m的值为;7、已知pv0,q0,则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是;8、以方程x23x 1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 1x29、设4凶是方程2x26x+3=0的两个根，求下列各式的值：2 一 2(1)x1 x2+x1x21xx110 . m 取什么值时，方程 2x2 (4m+1)x+2m21=0(1)有两个不相等的实数根，(2)有两个相等的实数根，(3)没有实数根;11 .设方程x2+px+q=0两根之比为1:2,根的乎u别式a=1,求p,q的值12 .是否存在实数k,使关于x的方程9x2-(4k-7)x-6k2 =0的两个实根xi

14、,x2 , 满足|土| =3 ,如果存在，试求出所有满足条件的 k的值，如果不存在，请说明 理由。一元二次方程根与系数关系专题训练主编：闫老师1、如果方程ax2+bx+c=0(a w0)的两根是 x1、 x2, 那么 x1+x2=, x1 - x2=。2、已知xx2是方程2x2+3x 4=0的两个根，11么：xi+x2=; xi . x2=； 十；x1 x2x2i+x22=；(xi+1)(x2+1)=； i xi-x2 i =。3、以2?口3为根的一元二次方程(二次项系数为i)是。4、如果关于x的一元二次方程x2+ v2 x+a=0的一个根是i 0b.n=0 且 m 0c.m=0且 n0d.n

15、=0 且 m00 78、已知x1, x2是方程2x2+3x 1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各 式的值：(1)(2x1-3)(2)2-3);33(2)x13x2+x 1x2 。79、已知a2=1a, b2=1 b,且awb,求(a 1)(b 1)的值。-可编辑修改-80、如果x=1是方程2x2 3mx+1=0的一个根，则m=,另一个根 为。111181、已知 m2+m 4=0, -+-4=0, m, n为头数，且 m0 一,则 n nnm +1 =。n82、两根为3和5的一元二次方程是()a.x2 2x- 15=0b.x2 2x+15=0c.x2+2x15=0d.x2+2x+15=0

16、83、 .设x1，x2是方程2x22x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式 的化(1)(x12+2)(x22+2);(2x1+1)(2x2+1);(3)(x1x2)2。84、 .已知m, n是一元二次方程x22x 5=0的两个实数根，求2m2+3n2+2m的值85已知方程x2+5x 7=0 ，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程的两个根的负倒数。86、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a w0)的两根之比为2 ： 1,求证: 2b2=9ac。87、.已知关于x的一元二次方程x2+mx+12=0的两根之差为11,求m的值。88、已知关于y的方程y2 2

17、ay 2a 4=0。（1）证明：不论a_何值，这个方程总有 两个不相等的实数根；（2）a为何值时，方程的两根之差的平方等于16?89、已知一元二次方程x210x+21+a=0。（1）当a为何值时，方程有一正、一负两 个根 ?（2）此 方程会有两个负根吗?为什么?-可编辑修改-90、已知关于x的方程x2 (2a- 1)x+4(a 1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形 的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。91、已知方程x2+ax+b=0的两根为xi, x2,且4xi+x2=0,又知根的判别式= =25, 求a, b的值。-可编辑修改-92、已知一元二次方程8y2(m+1)y+m 5=0。(1)m为何值时，方程的一个根为 零？(2)m为何值时，方程的两个根互为相反数？(3证明：不存在