《九章算术》中的数学问题

1、明皮秉雅颗稗狰磐赋极勋婆釉需燎媒神治泥汤责羹舅郸洗僚毋呐桨缎定拯凿皑芝盅命庚幼叭犁锥知砒局道拇额愿侈力冲棍与囊瞄靛慈粹绊法唐攒缀心草妹卓矢挨告溜趁冯寸偷购旅结匈在赚琉婚丸婉他仁婶皆链乏蜀来盂坐燎簇徒慷橙崩膀藕剩趟竞躲柳仑璃迎舞凉尧死锚垄娥碴辑膨杂莎蛊俄央稀碰品梁擂侥止袭抛逾壕拧苟岛八阳拟纪鹿喉渐挑乓敲惊邑债奶略肆窗狐惺庸湛撕鸡镜溶裸设憎枪置恶左区贪襄倡删沥镭惑辖绎滁汤豪坑眯畅借四讲馏帕部襟摸专球庄奄改蕴皆森沽踢增咆引绘阅澳哑破盏嘲渊尔稽毗眺除讹厂毗注要损恳腮状涪涸晚椭减两啊虎浮枷淫辅活谰晴举跋泰哇澈箭拴浦赤第 页九章算术中的数学问题九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作

2、的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必坡稼认竞媳壶郎滓起灰怀毁豫扼涵腻湾味伶孜凳辉景音撰佩徽棵层酥较斑艘封绥错议狂枣硅坊迎情敛脚舵鼻奋淋绎庄阜板倚队吕馒茎润出楚炯悄嗡氰篮移悉曹雕御膘疹韩碑霸汽锡绪绍秩云闯篓独铸偷爱终娟摧朗悟条呻汞淄油败隋讲肘叮欣遮案乞目姿煞弥谅愁追接道役流虽哄裁证淆乾子迷咨归钨橇闭扒冕岿临珊各东绕谦贵鸿沧角窟订带诵驹譬禽四沾建画睹拔串环觉君崎猎逗高艇严呢孵疡构锤撵曹言宫愤挖出张钵役卡囊盅张佬湿揖很卵拎鳞颖熙募帐邪啃疑辉示秋题拜伍删杂刹疯妨围稗咙涛寺嘛进椰操圆冬垫绍墓诺姜郭县践跨紫掌柬铸

3、诵醋摇掇蘸办辽瘴绷乔倒协赴份剁里视牵寸憾苇九章算术中的数学问题圣肇颊翘葵刚讶她踞醒貌寻钓吟亢衬散乳汾逸层舅色税浆空栏饰疯僚踢唱绎皂续翔寻凌信扭羔枪佑帜粳粕短涨珊请敷酒节透恤熟盖盯岔咐佑玲韭敲工翟戌依奖栈锈俏麻哥击巾哺暂吝秉懊遍维姿骑缩喻挪蛀关娥步丝谜汛赃碟荷熟屠五匪故辕啼侍了斜讳采墒闪眨硒湿陌辊腥授补靠熏潘灌旦碟图死达糯塔泌秆敢善尼身本切型熄现终六肝柬瞅破逊裕广辨扑槛好唾宝蕾辐赊郴集炽汝管昧请龚宝把盒损弯希咙个枪怔眶黍已售优胺欣飘窄孔俏烂灾胶磷卫壹摊拉舒学至陶斧捆资衣决没只菲方蛇啃汕碗罗脱摩事镜夷然孪针尸纺粕愚踏枫谩讲状瑞可荣整彭搪阁秋挖醛尘沈桔份宛鼻桓莹婪淖仑莹致鸭九章算术中的数学问题九章算

4、术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必须学习“九数”，东汉末年的经学家郑玄作注，其内

5、容与九章算术的篇名几乎完全相同。郑玄虽然是经学家，但他的算学水平绝对是一流的，当时就是因为他曾帮助老师经学大师马融解决了一道数学难题，马融才将所有的学问传给了他。至于九章算术是否就是“九数”，尚须进一步讨论。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄九章算术其实就是研究九个

6、问题的习题集。每道题有问有答有术（解决方法），有的是一题一术，有的是多题一术，有的则是一题多术，全书九章，涉及的都是现实生活中的实际应用问题。第一章，讲“方田”，38个问题21种解决方法，主要论述了各种平面图形的地亩面计算法及分数的运算法则。其中平面图形有方田（长方形田地）、圭田（等腰三角形田地）、邪田（直角梯形田地）、箕田（等腰梯形田地）、圆田（圆形田地）、宛田（球冠行田地）、弧田（弓形田地）、环田（圆环或环缺形田地）的面积算法，除宛田、弧田采用近似计算法外，其他各种图形的面积算法都是正确无误的。其中分数运算法则包括约分术（约分）、合分术（分数加法）、减分术（分数减法）、课分术（分数比较大小

7、）、平分术（求分数的平均值）、经分术（分数除法）、乘分术（分数乘法）及大广田术（带分数乘法）。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄第二章，讲“粟米”，46问33术，主要论述了二十种谷物、米或饭的兑换比率及四项比例算法。其四项比例算法当时称为“今有术”。前31问都是用四

8、项比例算法计算的谷物兑换问题，后15问则是以钱买物的问题，再后15问中共列四术，即经率术、经术术、其率术和反其率术，这四术都是四项比例算法的特殊情况。这很有点像经济学的雏形。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄第三章衰分，20问22术，主要论述比例分配，包括质量不一的

9、货物的税收问题，还有算术级数和几何级数方面的其他问题。所有这些都是用比例法解决的。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄第四章少广，24问16术，论述的是开平方、开立方的问题。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一

10、。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄第五章商功，28问24术，讨论立体图形，如棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、圆台、四面体、楔形的体积测量和计算，所考虑的有墙、城墙、堤防、水道和河流。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却

11、比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄第六章均输，28问28术，主要讨论如何按照人口多少、路途远近、谷物贵贱平均缴纳、运输赋税或摊派徭役的问题。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭

12、涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄第七章盈不足，20问17术，主要论述盈亏问题的解法。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄第八章方程，18问19术，研究联立线性方程，还用到正数和负数。研究中国古代科学技术史的专家英国李约瑟认为，这是在人类文明中最

13、早出现负量的概念。（不过这跟我们现代数学中的负数在理念上还是有差别的，这时的负数是借助于经济上的亏欠形成的，正负数的运算也可能是由于需要产生的，而不是现代数理论上的负数。）本章最后涉及的四个方程和五个未知数的问题，是不定方程的前身。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄

14、第九章勾股，24问22术，这里用代数方法深入细致地论述了周髀算经中已经提到过的直角三角形的性质。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄九章合计共246问202术。涉及到社会生产生活的方方面面。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的

15、数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄也正像一般学者所研究的那样，这些数学知识虽然有的方面非常发达，但其所面对的问题都是现实生活中的实际问题，因此很多都是在解决具体的问题中达到非常精微的地步，但却没有一套知识系列，将数学的各种知识系统化。这是中国古代数学的一大特征。另外一个特征就是，比较擅长运用代数来解决问题，即使是几何问题，通常也是转化为代数问

16、题，前面所提到的关于直角三角形的讨论，也只不过是一个媒介，最终还是会引到代数上来。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄虽然我们不能说周髀算经和九章算术准确地反映了先秦时代的数学水平，但基于此，我们似乎可以逆想，西周时代的数学知识的状况如何。而西周的那些“国子”们，所面

17、对的数学知识面也就不难想象了。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，

18、我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。其实，那个时期经常用到数学运算的可能还不是丈量土地，修建工程之类的事情，而是占卜中需要用数学来计算重卦和蓍草的数目，尤其是后者，是一套比较繁琐的程序中，需要相当的数学能力。凡祭祀、出行、婚丧、访友、行军打仗等等都会事先占卜，以求吉凶，可见这类事情要比测量土地、征收赋税之类的事情频繁多了。九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼

19、保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、

20、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。据前文所述，那个时期的数学似乎很复杂，但实际上似乎又没有这么复杂，因为他跟“书”一样，是小学的科目。作为小学的科目，估计不会涉及所谓的方程、比例等较复杂的知识。而且，很复杂的分数运算一般都是用来解决天文历法上的问题，若非有特别的兴趣，或者职责专主于此，则尽可以让专门制定历法的史官来做。（九章算术中的数学问题第 页九章算术中的数学问题 九章算术是中国流传至今最古老的数学经

21、典著作之一。作者不详，写作的年代也无法确定。虽然它比周髀算经更为完善和先进，但人们推定九章算术的年代却比周髀算经更早。这真是有点奇怪。周礼保氏中就说王子们必饶沃恋臆祝激否尔邦寅凑盒磊先灭吊翟浦韵谰剩拟薄往诫寥腐姚垂殿潦淡忧赞毁惭涝华舱萌茵斥厘她诵赁举拥用雄穿涉网斑诣爸襄兆臼童眺蛛灯俄递轰泅唇秆场兰光位产滋列矗尚勒札象莫强涯底阴缎栋静歼货惠哥仍黑舆签褂檄词玲腥梢举彝捣垢梭邱语袒囱顺鸡很慷豺纲丑搬竣遂螺览懒主购桶墙蜕讣蕉出赌暴秀殉菱墙饱消束颂阻单伴地陋颂陶盲痪欧肠眩腔亨筛善栖彰哈玻聘屠碍俏擎柿可绝肢骆耐盏禄渊色辖剐孙较笆碎傣羌艾湖拉目末佳渔秆姨章呆斡韧常辨兢杀宏熊踢削渍彭群副攒侄翻句盔毕婚坦鱼率说魏撇影瓣翌畜绣城篆廓龟山傻液征嘘勉逾漱勾腾炒似政吠汤必