(完整word版)概率论与数理统计公式_小抄必备

1、概率论和数理统计公式集锦一、随机事件与概率公式名 称公式表达式德摩根 公式AU B = A“ B， A1士典概 型P(A) m A包含的基本事件数 ()n基本事件总数几何概 型P(A)=_，其中卩为几何度 量(长度、面积、体积)求逆公P(A) =1 P(A)加法公 式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB) = 0 时，P(A U B)=P(A)+P(B)减法公 式P(A-B)=P(A)-P(AB), bua时 P(A-B)=P(A)-P(B)条件概 率公式 与乘法 公式p(b|a) = P(AB) P ( A )P(AB) = P(A)P(B|A)二 P(B)P(AB)P

2、(ABW P(A)P(BA)P(CAE)全概率 公式nP(A) = E P (Bi )P ( A Bi )i m贝叶斯 公式(逆概 率公 式)P(B|A)= nP(B)P(AB)乞 P(Bi)P(ABi)两个事 件相互独、立P(AE)= P(A)P(B) ;p(b A)= p(b)；P(B A P(B A);二、随机变量及其分布1、分布函数 P(Xn)F(x)=P(Xx)二,P(a X b)- F(b)- F(a)I X(t)dt2、离散型随机变量及其分布分布名称分布律0-1分布xL b(1,p)P(X=k尸 pk(1-p)1*, k=Q1二项分布x L b(n, p)*k)tpk(1-严 k

3、=Q,n泊松分布 x LI p (丸)-kP(X = k)=e k= 0,1,2,111 k!3、续型随机变量及其分布分布分布密度函数分布函数名称均匀 分布XL U(a,b)1 . ,axb f (x) = * b aI 0,其他10,x aF (x) = : _a ,a x 0 f (x)才I Qx 兰 01- /X, x 0 F (x)=(,I 0,x兰 0正态 分布 xL N(比CT2)(x )21 *2 f (x )=- e 忑V2 CT一旳 x+a1 x半 F砂坛訣dt标准 正态 分布 xL N(0,1)1三(x)= e 2 42- x +a01xt2(x)= J e2 dt V2

4、Q4、随机变量函数 Y=g(X)的分布离散型：连续型：分布函数法，公式法fY(y)= fx(h(y) h (y) (x= h(y)单调)三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量及其分布分布律：RX= x,Y y)= p,i, j 12分布函数F(X Y 厂 Pijx 兰 xyy边缘分布律：Pi广P(X = X )八.pjfXY(xy)= f(xy)x ：fY(y) Pj 二 P(Y“)八 Ri条件分布律：P冷xY=yj)UPj ,1 二 Pj1,2川P(Y = yj x = x)二也,jT2lllPi.2、连续型二维随机变量及其分布分布函数及性质x y分布函数：F (x,y). f (u

5、,v)dudv 性3、随机变量的独立性随机变量X、丫相互独立二F(x,y)=F(x)FY(y)， 离散型：Pj = Pi.P.j，连续型：f(xy = fx xfY(y )4、二维随机变量和函数的分布离散型：咤却；JEW-be-be%)F (：P(-no质2F(xy=ffGx,连续型：fz(2)=f (xz xdxf (z y ydy四、随机变量的数字特征 f 1、数学期望 y)定义：离散型x-beE(X)XkP.k=1,连续型边缘分布函数与边缘密度函数E(X)xf(x)dxx分布函数：Fx(x)=,fx(x) f (x,v)dvyFY(y)f(u,v)dudv+ fY(y)二f (u,y)d

6、uQO条件概率密度f(x,y)fYx(yx)= 八,2 yYXfx(x)当X、Y相互独立时：D(XQX) DY)3、协方差与相关系数 协方差：CoVX,Y) = E(X。E(X)E(Y)，当 X、Y 相互独立时： 相关系数：Cov(X,Y)二 0:加 cgx,Y)，当 x、Y.D(X), D(Y)*0(X,Y不相关)相互独立时：协方差和相关系数的性质：CoVX,X)= D(X)， Cov(X，丫)= Cov(Y,X) CoVX+ X2,Y)= Co(X1, Y)+ CoVX2, Y) Cov(aX c,b丫 d)二 abCov(X,Y) 4、常见随机变量分布的数学期望和方 差y性质：E(ChC

7、,EE(X)P E(X), E(CQCE：X)， E(X _ Y)二 E(X)_ E(Y)E(aX： b)= aE(X)： b，当 x、Y 相互独 立时：E(XY)= E(X)E(Y)2、方差 定义：D(X) = E(X E(X)2? E(X2)- E2(X) 性质：D(C) = 0， D(aX - b)二 a2D(X)，D(X - Y)二 D(X) D(Y) - 2CovX,Y)布分G数学期望布分5-1叽0-P7- P布分5项M二27-P nr XI71 A 227a一 2b /V一丿(V 2SR2CT指数分布11en2扎五、大数定律与中心极限定理1、切比雪夫不等式若 ex)=,d(X)y2

8、,对 于任意P X-E(X) 警Z2、 大数定律：切比雪夫大数定律： 若X1 X”相互独立，E(X)叫DXLi2 且齐 C1 nP 1 nXi PE(Xi),(n)nyni=1伯努利大数定律：设nA是n次独立 试验中事件A发生的次数，p是事件A 在每次试验中发生的概率，则- 0，Y = (：Xrn)丽- N(0,1)k=1/ 棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理: 随机变量X旳p，则对任意X有:X- nplimP,n“： Jn p(1 p) 近似计算nP(a 八 Xk J)门k=1x 1-t2M- e dt八(x)一六、数理统计的基本概念1、总体和样本的分布函数设总体XLF(x)，则样本的联合分布函数

9、nXn )7 F (XQk=1F (Xi,X2有：nimp辛钦大数定律:2、统计量若X1|,Xn独立同分1 np则孑i勻样本均值:布，且E( Xi )，3、中心极限定理列维一林德伯格中心极限定理：独 立同分布的随机变量 Xi(i =1,2JII)，S2 V (Xi-X)2样本标准差:值为，方差为八0，当n充分大时有:本k阶原点距:1 n XXjn i=11 n(Xi2- TinS=1 (Xi - X)2Y n T =11 n kAkXik,k= 1,2n ,样本方差:2nX )样本k阶中心距：护書(X刃 僞33、三大抽样分布(1) 2 (卡方分布)分布：设随机变量X】NO, 1,2H n且相互

10、独立，则称统计 量厶X+禺X2服从自由度为n的厂分 布，记为2 - 2(n)性质：旦2(n)=n,D 2(n)b 2n设2 2X(mY (n)且相互独立，则X Y 2(m n)(2) t分布：设随机变量X N(0,1),Y 2(n)， 且X与Y独立，则称统计量：丁=詩”服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)性 质： 印？0(n2)21lim 仁(Xp(X)e 2或X P(X/ )， 求法步骤:2 2F分布：设随机变量X(0丫 (n),X m且X与Y独立，则称统计量F(nV7服 从第一自由度为 m,第二自由度为n 的F分布，记为F F(m,n)，性质：设FF(mn)，则 F(n,m)七、参数估计

11、1. 参数估计 定义：用：(Xi,X2,L ,Xn)估计总体参数=， 称r(Xi,X2,L ,Xn)为：的估计量，相应的 乜，为,|, X,)为总体：的估计值。 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值2. 点估计中的矩估计法：基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩求法步骤：设总体 X的分布中包含有 未知参数r宀川入，它的前k阶原点矩 = E(Xi)(=i,2H,k)中包含了未知参数：1广2,111几，即“i = g(V2，IIR)(iT，2H,k)；又设 x,X2,Lx 为总体X的n个样本值，用样本矩代 替，在所建立的方程组中解出的 k 个未知参数即为参数沪2,川,比的

12、矩估计|_r A AA量二 12l 0，有 nim P（p9 ）=0 则称 fn 为e的一致估计量（或相合估 计量）。5.单正态总体参数的置信区间条 件估 计 参 数枢轴量枢 轴量分布置信水平为1- 的置信区间已 知a2 7 nN(0,1)(-OGX-p,X+Z/-r 1V Jn 加n丿未 知CT2T_X T祐t(n-1)x-%(rr 申X%(rr1 聲已 知n丿 2i八a丿伽2丿八、假设检验1.假设检验的基本概念基 本 思 想假设检验的统计思想是小概率原 理。小概率事件的概率就是显著性水平 a，常取 a =0.05 ,0.01 或 0.10。基 本 步 骤提出原假设 H）;选择检验统 计量g

13、X，L, Xn）;对于a查表找分 位数入，使PgNLXW），从而 定出拒绝域W;由样本观测值计算统计量实测 值g（x，l収）;并作出判断：当实测值 落入W时拒绝H,否则认为接受 H）。两 类 错 误第类错误当H0为真时，而样本值却落 入了拒绝域，应当否定H0。这时，我们把客观上 H）成立 判为H）为不成立（即否定了 真实的假设），称这种错误为“弃真错误”或第一类错误， 记为犯此类错误的概率， 即：P拒绝H|H为真=a ；第类错误当H为真时，而样本值却落 入了接受域，应接受 H）。这 时，我们把客观上 H）不成立 判为H）成立（即接受了不真 实的假设），称这种错误为“取伪错误”或第二类错误， 记p为犯此类错误的概率， 即：P接受H H为真=p。两 类 错 误 的 关 系人们当然希望犯两类错误 的概率同时都很小。但是， 当容量n 定时，a变小，则 p变大；相反地，p变小，则 a变大。取定a要想使P变小， 则必须增加样本容量。2.单正