(完整版)定积分在生活中的应用

1、 院 系 :题 目 :经济与管理学院定积分在生活中的应用年级专业 :学生姓名 :11 级市场营销班孙 天 鹏0 定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。一、定积分的概述1、定积分的定义： 上有界.a,b设函数( )在区间f x 在中任意插入若干个分点 ,把区间 分成n,a ba,ba = x x l xn-1x b

2、=01n 个小区间且各个小区间的长度依次为，x , x , x , x ,l , ,x xx x xd = -0112n-1n110。dx = x - x，dx = x - x221nnn-1 在每个小区间上任取一点x( )，作函数与小区间长度 的乘积dxx , xfxi-1iiii( )f x dx（i =1,2,l ,n），ii( )作极限作出和。记nns =f x dxp= max d ,d ,l ,dx xxnlim ( )x df x12iiiip 0i=1i=1 如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点x怎样取法，只要当x xa,b,i-1ii( )时，和 总趋于确定的极限 ，这时我

3、们称这个极限 为函数 在f xp 0sii ( )区间上的定积分（简称积分），记作，即a,b b f x dxa( )( ) = i = ,nlimf x dx b f x dxiiap 0i=1其中( )叫做被积函数， ( )叫做被积表达式， 叫做积分变量， 叫做f xf x dxxa1 积分下限， 叫做积分上限，叫做积分区间。a,bb2定积分的性质( ) ( ) ( ) ( ) ( )和 + 都设函数和在上都可积， 是常数，则,bkf xg xf xg xakf x可积，并且( )( );性质 1 = bbbkf x dx k f x dxaa( ) ( )( )( )性质 2 =+f x

4、 g x dx+bf x dxbbg x dxaaa( )( ). ( ) ( ) =-bf x g x dx-bf x dxg x dxaaa性质 3 定积分对于积分区间的可加性( )f x设在区间上可积，且 ， 和 都是区间内的点，则不论 ， 和 的a b c a b c( )( )( )。相对位置如何，都有=+f x dxcbcf x dxf x dxaab ( )性质 4 如果在区间上1，则 = =。a,b1b- af x bbdxdxaa ( )( )性质 5 如果在区间上,则( )。a b 0 a,bf x 0bf x dxa性质 6 如果在a,b上,则bm f (x) mm(b

5、- a) f (x)dx m (b - a)a性质 7（定积分中值定理）如果在上连续，则在a,b 上至少f (x) a,b存一点 使得b f x dx f x b ax( ) = ( )( - )a3定理定理 1 微积分基本定理 a,b 上a b,( )在区间f x上连续,则积分上限函数f =( )( )在如果函数xxf t dta( ) x f t dt ( )( ) d(a x b).可导,并且它的导数是= xff xadx定理 2 原函数存在定理 a,b( )在区间f x上连续,则函数f =( )( )( )就是 在f x如果函数xxf t dta2 上的一个原函数.a,b 定理 3 如

6、果函数( )是连续函数 ( )在区间上的一个原函数,f xf xa,b( ) ( ) ( )则=f b - f a b f x dxa称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.二 、定积分的应用1、定积分在几何中的应用（1）设连续函数和满足条件，求曲线f (x)g(x)g(x) f (x) , x a b，及直线所围成的平面图形的面积 （如图 1）x = a, x = bsy = f (x)y = g(x)解法步骤：第一步：在区间a,b 上任取一小区间x, x + dx，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以 f (x) - g(x)高，以 为底的矩形面积近似，于是为dxds = f (x) - g

7、(x)dx和，得到.ba（2）上面所诉方法是以 为积分变量x进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将 作为积分变量进行微y元，再求围成的面积。由连续曲线、其中与直线j( ) y( )y y、所围成的平面图形（图 2）的面积为：s = y - y dyj( ) y( )dc例 1 求由曲线，及y = sin x y = cos x直线，所围成图形的面积 x = 0 x = p a解 （1）作出图形，如图所示3 2易知，在0,p上，曲线与的交点为 p；)y = sin x y = cosx( ,4 2（2）取 为积分变量，积分区间为0,p从图中可以看出，所围成的x图形可以分成两部分；p（3）

8、区间0, p 上这一部分的面积上这一部分的面积和区间a ,pa4412分别为p，a = (cos x - sin x)dxa = (sin x - cos x)dxp4p1204所以，所求图形的面积为p=+(sin x - cos x)dxa = a + a (cos x - sin x)dxp4p1204sin pcoscos sin2 2 =x +x + -x - x =pp404例 2 求椭圆 x2y2的面积.+ =1a2b2解 椭圆关于 轴, 轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的 4xy倍,即= acost= bsintx利用椭圆的参数方程s = 4s = 4 a ydx1 y0

9、p应用定积分的换元法,且当 x = 0时,dx = -asintdt= , =时, ,于是t= 0tx a24 s = 4 bsint(-acost)dt0p2p2= 4ab sin tdt201-cos2t= 4abpdt220p1 t= 4ab - sin 2t 2 = abp2 402求旋转体体积用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割成许多基本的小块，每一块的厚度为dx =划分t : a = x x l l x = b01n，假设每一个基本的小(i 1,2, ,n)li 块横切面积为， 为上连续函数，则此小块的体积大a(x )

10、(i = 1,2,l ,n)( )a xa b,i约是，将所有的小块加起来，令，我们可以得到其体积：t 0(x)dxa(x )dxii。nv = lima(x )dx = abiit 0ai=1例 2 求由曲线, 直线,绕 轴旋转一周而形成的xy = 4x =1 x = 4 y = 0 x立体体积.解 先画图形，因为图形绕 轴旋转，所以取 为积分变量， 的变化xxx区间为1,4，相应于1，4上任取一子区间 , + 的小窄条，绕 轴旋转x x dxx而形成的小旋转体体积，可用高为 ，底面积为dx的小圆柱体体积近似代y2替，即体积微元为y4=,dv dy x ( ) dx22x于是，体积4=4(

11、) d xv2od1 x x+ x 4xx15 1=164dxx211=12 .= -1641x3.求曲线的弧长 （1）设曲线在上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，,by = f (x)a 上任取小区间x, x + dx，切线上相应小区间的小段a,b取 为积分变量，在x的长度近似代替一段小弧 的长度，即mn.得弧长微元为：l dsmnmt,再对其积分，ds = mt = (dx) + (dy) = 1+ (y) dx222则曲线的弧长为： s = ds =1+ (y) dx =1+ f (x) dxbbb22aaa（2）参数方程表示的函数的弧长计 一段的弧a,b算，设曲线长.这时弧长微元为

12、：22即ds = dx=+dt22( ) ( )j2yt dt2ds =t +则曲线的弧长为 bb j( ) y ( )+t 2 t 2s = ds =dtaa2例 3 (1)求曲线32上从 0 到 3 一段弧的长度y = x3解 由公式 =（）知,弧长为sb1+ y dxa b 0 ） y = a(1- cost)解 取 为积分变量，积分区间为由摆线的参数方程，得0, 2 pt6 ， = (1- cos )x a = siny a tttt a t a= 2(1- cos ) = 2 | sin | + =(1- cos ) + sinx2y2a2t2a222于是，由公式（16-13），在0

13、 t 2p 上的一段弧的长度为t 2pt t2p 2 | sin | = 2p 2 sina= 4 -cos= 8as =adtadt2220002、定积分在经济中的应用（1）、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量 的变动区间上的改a,bx变量（增量）就等于它们各自边际在区间a,b 上的定积分：（1）（2）（3）r(b) - r(a) = r x dx( )bac(b) -c(a) = c(x)dxbal(b) - l(a) = l(x)dxba例 1 已知某商品边际收入为-0.08x + 25（万元/t），边际成本为 5（万元/t），求产量 从

14、250t 增加到 300t 时销售收入，总成本 c ，利 润r(x)(x)i(x)x的改变量（增量）。解首先求边际利润( ) = ( ) - ( ) = -0.08 + 25 - 5 = -0.08 + 20l x r x c xxx所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：300=150 万元r(300) - r(250) =c(300) -c(250) =l(300) - l(250) =300 ( ) =r x dxx dx(-0.08 + 25)250250300 c(x)dx = =250 万元300dx250250= 100 万元-300 ( ) = 300 (-0.08 +

15、 20)dxl x dxx250250（2）、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率7 t2f(t)dt设某经济函数的变化率为 ，则称为该经济函数在时间间隔f (t)t1t -t21内的平均变化率。t ,t 21例 2 某银行的利息连续计算，利息率是时间 （单位：年）的函数：tr(t) = 0.08 + 0.015 t求它在开始 2 年，即时间间隔0，2内的平均利息率。解 由于2r(t)dt = (0.08 + 0.015 t)dt2= 0.16 + 0.01t t =0.16 0.02 2+2000所以开始 2 年的平均利息率为2( )r t dt 0.094r = 0.08+

16、0.01 202 - 0例 3 某公司运行 （年）所获利润为 （元）利润的年变化率为l(t)t（元/年）求利润从第 4 年初到第 8 年末，即时间间隔3，( ) = 3105 +1l tt8内年平均变化率解 由于883( ) = 310 +1 = 210 ( +1) = 3810l t dtt dtt55835233所以从第 4 年初到第 8 年末，利润的年平均变化率为8( )l t dt（元/年）= 7.610538-3即在这 5 年内公司平均每年平均获利7.6105元。（3）、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在 （年）时的收入为（万元），年利率为 ，即贴现f(t)tr率是为，

17、则应用定积分计算，该项目在时间区间。上总贴现值的增量( )f t ea b , -rt( ) b f t e ndt-rta8 设某工程总投资在竣工时的贴现值为 a（万元），竣工后的年收入预计为 （万元）年利率为 ，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，ar把竣工后收入的总贴现值达到 a，即使关系式 t ae dt-rt= a0成立的时间 t（年）称为该项工程的投资回收期。例 4 某工程总投资在竣工时的贴现值为 1000 万元，竣工后的年收入预计为 200 万元，年利息率为 0.08，求该工程的投资回收期。解 这里，则该工程竣工后 t 年内收入的总a =1000 a = 200 r = 0.

18、08200贴现值为t200e-0.08tdt =e-0.08t t = 2500(1- e-0.08t)-0.0800令=1000，即得该工程回收期为)2500(1- e-0.08t1100025001t = -ln(1-) = -ln 0.6 =6.39（年）0.080.083、定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) 0) 在时间区间a,b上的定积分，即( )s = v t dtba例 1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示求汽车在这 1 min 行驶的路程解：由速度一时间曲线可知：v(t) = 30,10 t 40-1.5t + 90, 40 t 60.因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：9 s = 3tdt + 30dt + (-