线性代数的题目分析

1、7 1 2 3 4 6 5 第一节第一节 矩阵矩阵 矩阵的概念矩阵的概念 矩阵的线性运算矩阵的线性运算乘法乘法 矩阵多项式矩阵多项式 转置转置 分块矩阵分块矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵 矩阵的初等变换矩阵的初等变换阶梯形矩阵与最简矩阵阶梯形矩阵与最简矩阵 矩阵的等价与标准形矩阵的等价与标准形 第二节第二节 行列式行列式 余子式与代数余子式余子式与代数余子式 行列式的性质行列式的性质 行列式的计算行列式的计算 行列式的定义行列式的定义 矩阵乘积的行列式矩阵乘积的行列式 第三节第三节 逆方阵与矩阵的秩逆方阵与矩阵的秩 逆矩阵的概念逆矩阵的概念 初等矩阵初等矩阵 矩阵的秩矩阵的秩 伴随矩阵伴随矩阵

2、矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件 矩阵的分块求逆矩阵的分块求逆 求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法 矩阵的子式矩阵的子式 矩阵秩的求法矩阵秩的求法矩阵秩的性质矩阵秩的性质 第四节第四节 解线性方程组解线性方程组 线性方程组的解线性方程组的解 消元法消元法 克莱姆法则克莱姆法则 矩阵方程有解的条件矩阵方程有解的条件 第五节第五节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量向量 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组的秩向量组的秩 向量组的线性表示向量组的线性表示向量组的等价向量组的等价 极大无关组极大无关组 第六节第六节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构 引言引言 一般线性方程组解的

3、结构一般线性方程组解的结构 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构 第七节第七节 方阵的特征值方阵的特征值 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 相似矩阵相似矩阵矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化 称为一个 矩阵，记作a， ， 或 。数aij称 为矩阵第i行第j列的元素，简称为(i,j)元。 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 或 。 矩阵的概念矩阵的概念 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 nm nm a ij a nm ij a 定义 由mn个数排成的m行n列（横的称为行，竖的称为 列，下同）的矩形表 nm o o nnnn n n aaa a

4、aa aaa 21 22221 11211 主对角线 n行n列的矩阵 次对角线 nn n n a aa aaa 00 0 222 11211 nnnn aaa aa a 21 2221 11 0 00 上三角矩阵下三角矩阵 称为n阶矩阵或n阶方阵。 对角矩阵 n 00 00 00 2 1 n ,diag 21 单位矩阵 100 010 001 ee n或 的方程组， 代表n个未知量， 称为方程组的系数， 称为常数项。m未必等于n。 mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 n xxx, 21 njmiaij, 2 ,

5、 1;, 2 , 1 mibi, 2 , 1 (1.1) mmnmm n n baaa baaa baaa a 21 222221 111211 称为(1.1)的增广矩阵。 例1 一般线性方程组是指形式为 定义 行数和列数分别相等的几个矩阵称为同型矩阵。设 及 是两个同型矩阵，如果它们所有相应位置上的 元素都相等，即 对 均成立， 则称这两个矩阵相等，记为 。 这就是说，只有完全一样的矩阵才叫相等。 例如，若 nm ij a njmi, 2 , 1;, 2 , 1 nm ij b ijij ba ijij ba 86 31 562 321 zy x z x 则,85,2,2zzyxx 。2,2

6、,1zyx 定义 设 及 是两个 矩阵，如果对 一切 都有 ，则称 矩阵 为a与b的和，记为 。 矩阵 称为矩阵 的负矩阵，记为 。矩阵的减法定义 为： 。 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 nm ij aa njmi, 2 , 1;, 2 , 1 ij bb ijijij bacnm ij cc bac mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 ij aa a baba 例2 设 则 定义 矩阵 称为矩阵 与数k的数量乘积，简称为数乘，记为ka。矩 阵的加（减）法和数乘统称为矩阵的线性运算。 mnmm n n kakaka kakaka kakaka 21 2222

7、1 11211 ij aa , 182 041 , 203 125 ba 4165 3217 2164 082 609 3615 23ba cbacbaabba aoaoaa 不难验证，矩阵的线性运算适合以下规律： lakaalkkbkabak akllakaa 1 其中a、b、c、 o是矩阵，k、l是数。 141312 ccc 11 c 称为矩阵a与b的乘积，记为 。 定义 设 ， 。那么矩阵 ， 乘法乘法 nm ij aa sn ij bb sm ij cc n k kjiknjinjijiij babababac 1 2211 abc 其中 232221 131211 aaa aaa 3

8、4333231 24232221 14131211 bbbb bbbb bbbb 33 23 13 b b b 31 21 11 b b b 131211 aaa 212121 aaa 24 c 23 c 2221 cc 121 113 121 430 , 4150 0311 2101 ba 10172 6210 765 121 113 121 430 4150 0311 2101 ab 例3 设 那么 其中 称为方程组的系数矩阵，而 bax nm ij aa , 2 1 n x x x x m b b b b 2 1 1n1m 例4 方程组(1.1)可以写成矩阵的等式 分别是未知量和常数项所

9、成的 和 矩阵。 01 00 , 10 00 ba 00 00 , 01 00 baab 则 矩阵的乘法不适合交换律，这是由于 当ab有意义时，b的列数不一定等于a行数， 从而ba不 一定有意义。 即使ab与ba都有意义，它们的阶数也不一定相等。如 在例3中，ab是3阶方阵，而ba是4阶方阵。 即使a、b是同阶方阵，这时，ab与ba都有意义且阶数 相同，它们也不一定相等，例如，取 这里我们看到，两个不为零的矩阵的乘积可以是零。由此 还可以得出矩阵乘法的消去律不成立。即当 且 时不一定有 。 矩阵的乘法适合以下规律（证明从略）： 第一、二式是两条不同的规律。 00 00 , 01 00 , 10

10、 00 baba acab cb bcaccbaacabcba kbaabkbkabcacab nmnnm aea nmnmm aae oa 任意给定k个矩阵 ，只要前一个矩阵的列数 等于后一个矩阵的行数，就可以把它们依次相乘。由于矩阵 乘法满足结合律，作这样的乘积时，可以把因子任意结合， 而乘积 有完全确定的意义。 特别地，一个n阶方阵a的k次方（k是正整数）有意义： 我们再约定 ，这样一来，一个n阶方阵的任意非负整数 次方有意义。 k aaa 21 ea 0 个k k aaaa k aaa, 21 设 是x的一个m次多项式，而a是一 个n阶方阵，那么 有确定的意义，它仍是一个n阶方阵，我们

11、称它为矩阵多项式， 记作 ： 。 如果 也是x的一个多项式，令 , 那么由矩阵的运算规律容易得出 。 矩阵多项式矩阵多项式 m mx axaaxg 10 m ma aaaea 10 ag m ma aaaeaag 10 xh xhxgxp ahagap 这样，对于每一个单变量多项式的因式分解式，都相应地有一 个矩阵多项式的因式分解式。比如，由 可得 12 111 kk xxxxx 12 kk aaaeaeae n 00 00 00 2 1 对于对角矩阵 易知 其中k是非负整数。 k n k k k n 00 00 00 00 00 00 2 1 2 1 m n m n n aa ag 00 0

12、0 00 00 00 00 100 010 001 00 00 00 2 1 2 1 1 0 2 1 于是 n m nm m m m m n g g g a a a a a a a a a 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 2 1 2 1 1 21 11 0 0 0 称为a的转置矩阵，记为at或 。 把a的行变为列所得到的 矩阵 转置转置 nm mnmm n n aaa aaa aaa a 21 22221 11211 mn mnnn m m aaa aaa aaa 21 22212 12111 a 定义 设 矩阵 t a0 5 3 41 7 tt t b

13、aba t t kaka tt t abab aa t t 矩阵的转置适合以下规律（证明从略）： a 3 41 7 0 5 0 53 41 7 例5 设 ， ，于是 2 , 1, 1a 124 311 012 b 1, 2 , 9 124 311 012 2 , 1, 1 ab 2 1 1 t a 130 211 412 t b ， tt tt abab 1, 2 , 9 1 2 9 2 1 1 130 211 412 但因为 得知 是对称的。 又因为 知 是反对称的。 设a是一个方阵，如果 ，则称a是对称矩阵；如果 ，则称a是反对称矩阵。 例6 证明任何方阵都能表为一对称矩阵与一反对称矩阵

14、之和。 证 设a是任一方阵，则 aa t aat tt aaaaa 2 1 2 1 tt t t aaaaaa t aa 2 1 tt t t aaaaaa t aa 2 1 分块矩阵是矩阵概念的一种扩展。 设a是一个矩阵，在它的行与行或列与列之间加上一些贯 穿整个矩阵的直线，就把这个矩阵分成了若干小块。例如， 可以把矩阵 分成如下的四块： 分块矩阵分块矩阵 43 ij aa 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa a 这种被分成若干小块的矩阵称为分块矩阵。 在一个分块矩阵里，每一小块也可以看成一个矩阵， 称为子矩阵。例如，记 则可以把a简单地写成

15、其中a11,a12,a21,a22都是a的子矩阵。 3433 2423 22 3231 2221 21 aa aa a aa aa a 2221 1211 aa aa a 141312121111 aaaaaa 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa a 一个矩阵可以有多种不同的分块方法。例如，我们也可以 把上面的矩阵a分成六块： 矩阵分块的目的是为了方便大矩阵的运算，因此按哪种方 法分块要考虑两个因素，一是在运算中可以把子矩阵当作矩阵 的元素一样来处理；二是尽量使运算简单方便。 下面看一个例子。 2221 1211 0211 1401 1021 2

16、301 bb bb b在矩阵 中， 21 2 1011 0121 0010 0001 ea oe a 00 00 , 11 21 1 oa 在矩阵 中，e2表示2阶单 位矩阵，而 。 02 14 , 11 01 , 10 23 , 21 01 22211211 bbbb 2212121111 1211 2221 1211 21 2 bbabba bb bb bb ea oe ab 在计算ab时，把a，b都看成是由这些小矩阵组成的，即按 2阶矩阵来运算。于是 其中 11 42 11 01 20 43 11 01 21 01 11 21 21111 bba 02 14 10 23 11 21 22

17、121 bba 因之 3511 1142 1021 2301 ab 不难验证，直接按矩阵乘积的定义来做，结果是一样的。 35 11 02 14 33 03 一般地，设 ， ，把a，b分成一些 小矩阵（a的列的分法要与b的行的分法一致） ： nsik aa mn kj bb ttltt l l l s s s aaa aaa aaa nnn a 2 1 21 22221 11211 21 llrll r r r n n n bbb bbb bbb mmm b 2 1 21 22221 11211 21 这样就有 ，其中 ttrtt r r r s s s ccc ccc ccc mmm c 2

18、1 21 22221 11211 21 , 2211lqplqpqppq bababac rqtp, 2 , 1;, 2 , 1 分块矩阵的转置 ：设 tltt l l aaa aaa aaa a 21 22221 11211 t tl t l t l t t tt t t tt t aaa aaa aaa a 21 22212 12111 那么 的矩阵，其中ai是ni阶方阵 ，称为分块对角矩阵 或准对角矩阵。 分块对角矩阵包括对角矩阵作为特殊情形。 分块对角矩阵分块对角矩阵 l aoo oao ooa 2 1 li, 2 , 1 形式为 l aoo oa ooa a 2 1 0 l boo

19、ob oob b 2 1 0 llll baoo obao ooba ab baoo obao ooba ba 22 11 22 11 , 对于两个有相同分块的分块对角矩阵 ， 如果它们相应的分块是同阶的，那么显然有 它们还是分块对角矩阵。 定义 以下三种变换称为矩阵的初等行变换： 用一个非零数去乘矩阵某一行中的每一个元素（用 乘第i行，记为 ）； 交换两行的位置（交换第i,j两行，记为 ）； 把某一行中所有元素的相同倍数加到另一行对应的 元素上去（把第i行的k倍加到第j行，记为 ）。 将定义中的“行”改为“列”，即得矩阵的初等列变 换的定义（所用记号将“r”换成“c”）。矩阵的初等行变换 与

20、初等列变换统称为矩阵的初等变换。 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 0k kr i ji rr ij krr 表示先用 乘左边矩阵的第一行，再把所得第一行的 倍 加到第二行，从而得到了右边的矩阵。 一般来说，一个矩阵经过初等变换后，就变成了另一个 矩阵。如果矩阵a经初等变换变成了矩阵b，就记为 。 为了明确是经过了哪些变换使a变成了b的，还可以把所作变 换的记号依次标注在符号“ ”的上、下方。比如 ba 3121 0410 1201 3121 2012 2402 2 1 2 1 12 r rr 212 矩阵中元素全为零的行（列）称为零行（列），否则称为 非零行（列）。如果非零行全都处在矩阵的上部，

21、并且各非零 行第一个（左起，下同）非零元素所在的列从上到下逐行右移， 这样的矩阵称为行阶梯形矩阵（指每一行形成一级“阶梯”）。 如 阶梯形矩阵与最简矩阵阶梯形矩阵与最简矩阵 0000 1000 1210 21000 11200 21121 , 300 120 101 及 都是行阶梯形矩阵。 非零行的第一个非零元素都是1，该元素所在列上的其余 元素都是零的行阶梯形矩阵，称为行最简矩阵。如 0000 1000 0210 21000 230100 230021 100 010 001 和， 都是行最简矩阵。 转置之后是行阶梯形和行最简的矩阵，分别称为列阶梯形 和列最简矩阵。 只要其第一列的元素 中有

22、一个不为零，通过交换 两行的位置，就能使第一列的第一个元素不为零，然后将其 余各行都加上第一行的一个适当倍数，使第一列除去第一个 元素外全是零。 mnmm n n aaa aaa aaa a 21 22221 11211 12111 , m aaa 定理1 任何矩阵不仅可用初等行（列）变换化成行（列） 阶梯形矩阵，还可进一步化成行（列）最简矩阵。 证 这里只证行变换的情形，列变换的情形类似可证。 考察矩阵 这就是说，经过一系列初等行变换后 b aaa a n r 0 11211 对于子矩阵b，再重复以上的做法，如此做下去直到化 成行阶梯形为止。如果a中第一列的元素全为零，那么就依 次考虑它的第

23、二列，等等。 对于行阶梯形矩阵的每一个非零行，用适当的非零数乘 之，可使该行的第一个非零元素变成1；注意到这个非零元 素的正下方已全为零，只要把这一行的适当倍数加到它上面 的各行，就可以使该元素的正上方也全为零。这样，就将a 进一步化成了行最简矩阵。 01182 01241 20141 21100 a 41300 21100 21100 20141 01182 01241 21100 20141 13 14 21 2 rr rr rr a 20000 42000 21100 20141 22000 42000 21100 20141 3423 24 3 rrrr rr 例如，设 10000 2

24、1000 21100 20141 20000 42000 21100 20141 2 1 1 2 1 3 2 4 r r r 10000 01000 00100 00041 10000 21000 00100 20041 41 43 32 21 2 2 rr rr rr rr 这样就把a变成了一个行阶梯形矩阵。进一步， 就把a化成了行最简矩阵。 定义 如果矩阵b可以由矩阵a经过有限次初等变换得 到，则称a与b等价。 等价是矩阵之间的一种关系，不难证明，它具有 反身性：每一个矩阵都与它自身等价。 对称性：如果矩阵a与b等价，那么矩阵b也与a等价。 传递性：如果矩阵a与b等价，b与c等价，那么矩阵

25、a 与c等价。 矩阵的等价与标准形 的矩阵等价，它称为矩阵a的标准形。 证 先根据定理1，可用初等行变换将a化成行最简矩阵， 再用“交换两列”和“把一列的倍数加到另一列”这两种变 换即可将a化成标准形。 定理2 任何一个 矩阵a都与一形如 rnrmrrm rnrr oo oe , , nm 称为一个n阶行列式或a的行列式，记为 或 。在行列 式中，aij也称为元素。 余子式与代数余子式 对于n阶方阵 nnnni n n aaa aaa aaa a 2 22221 11211 (2.1) 与之相联系的一个数，表示成 nnnni n n aaa aaa aaa 2 22221 11211 (2.2

26、) aadet 称为(i,j)元的余子式，记为mij。 称为(i,j)元的代数余 子式，记为aij。 定义 在方阵(2.1)中，划去(i,j)元所在的第i行和第j列，余 下的 个元素按原来的排法构成的一个 阶行列式21n1n nnjnjnn nijijii nijijii njj aaaa aaaa aaaa aaaa 1,1,1 , 11, 11, 11 , 1 , 11, 11, 11 , 1 11, 11, 111 ij ji m 1 乘它的余子式m23，即 。 1324 2201 0523 3112 124 201 312 23 m 32 1 124 201 312 23 a 例1 在

27、四阶方阵 中， (2,3)元的 余子式是 ，而其代数余子式为 上式称为行列式 按第i行展开 。可以证明，这个 值与展开时所用的行是没有关系的（证明从略）。 定义 一阶行列式只有一个元素，其值就规定为这个元素 的值。n阶行列式 的值规定为方阵a任意一行的各元素 与对应的代数余子式的乘积之和。用符号表示，就是 2na n j ijij ji n j ijij maaaa 11 1 ani, 2 , 1 行列式的定义 例2 用定义展开二阶行列式 解 按第一行展开。因为 于是得这个行列式的值为 如果按第二行展开，也会得到同样的结果。 2221 1211 aa aa 2222 11 11 1aaa 21

28、21 21 12 1aaa 2112221112121111 aaaaaaaa 行列式有多种定义方式，实质上不同的大致有三类：除上 述的归纳定义外，常见的还有完全展开式定义和公理化定义。 将行列式逐阶按行展开，可得它的完全展开式。一个n阶 的行列式，首次展开时有n项，将每一项中的 阶行列式再 展开时又都有 项，这样下去，将这一代数和中的行列式一 直展开到一阶，可知在n阶行列式的完全展开式中共有n!项， 这些项是所有取自不同行不同列元素的乘积，每一个这样的乘 积都按一定的规则带有正负号，其中主对角线上元素的乘积带 正号。 1n 1n 333231 232221 131211 aaa aaa aa

29、a 32233322 3332 232211 11 1aaaa aa aa a 33213123 3331 232121 12 1aaaa aa aa a 31223221 3231 222131 13 1aaaa aa aa a 例3 求三阶行列式 的完全展开式。 解 第一行各元素的代数余子式依次是 131312121111 333231 232221 131211 aaaaaa aaa aaa aaa 312232211333213123123223332211 aaaaaaaaaaaaaaa 312213332112322311322113312312332211 aaaaaaaaaaa

30、aaaaaaa 于是 这个展开式是下图中每条实线上元素的乘积之和，减去每条虚 线上元素的乘积之和，共有 项。6! 3 3231 2221 1211 333231 232221 131211 aa aa aa aaa aaa aaa nnnn aaa aa a 21 2221 11 0 00 nn nnn nnnn aaa aa a a aaa aa a 2211 2 22 11 11 21 2221 11 0 1 0 00 上（下）三角矩阵的行列式称为上（下）三角形行列式。 例4 计算下三角形行列式 解 逐阶将行列式按第一行展开，由于每次展开时该行除 第一列之外的元素都是零，于是 下面所谈的行

31、列式的性质大多是对行来说的，对列也有 同样的性质，就不重复了。 性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡 是有关行的性质，对列也同样成立。例如，由例4即得上三角 形行列式 行列式的性质 aat nn nn n n aaa a aa aaa 2211 222 11211 00 0 性质1 方阵转置，其行列式不变，即 。 性质2 将行列式中某一行的各元素均乘以同一数k，所得 行列式是原行列式的k倍。或者说行列式一行的公因子可以提 出去。 证 假设将行列式(2.2)中第i行的各元素 均乘 以数k，得行列式 。则a、b两方阵除第i行之外都相同，因而 它们第i行相应元素的代数余子式也相同。将

32、按第i行展开， 注意到该行第j列上的元素为 ，于是 niaij, 2 , 1 b b njkaij, 2 , 1 akaakakab n j ijij n j ijij 11 推论1 若a是n阶方阵，则 。 例5 证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零。 证 设a是n阶反对称矩阵（n是奇数），则 ，因 此 所以 。 在性质2中，令 ，就有 推论2 如果行列式中有某一行的元素全为零，则行列式 为零。 aat aaaaa tt n t 1 0a 0k akka n b 性质3 互换行列式中两行的位置，行列式反号。 证 设互换行列式(2.2)中第i行和第 行 的位置， 得行列式 。 在互换的两行是 的相

33、邻行即 这一特殊情形，方阵 a的(i,j)元的余子式mij就是方阵b的 元的余子式。 a 1, 1ji a ji a , 1 ji ji a a , 2 , 1 1, 1ji a 1,1,jiijji aaa mi b a 1m ji, 1 1m 1, 2ji a 1, 2ji a 1, 11, 1jiji aa 1, 1ji a ji a , 1 ji ji a a , 2 , 1 1, 1ji a 1,1,jiijji aaa 1, 2ji a 1, 2ji a 1, 11, 1jiji aa 1, 1ji a ji a , 1 ji ji a a , 2 , 1 1, 1ji a 1,1

34、,jiijji aaa 1, 2ji a 1, 2ji a 1, 11, 1jiji aa ij m 将行列式 按第 行展开，因为该行第j列上的元素为aij， 所以 b1i amamab n j ijij ji n j ijij ji 11 1 11 因此对这一特殊情形，性质是对的。 再看 的情形，可通过一系列相邻行的换位来实现。 1m ini aa 1 nii aa , 11 , 1 nmimi ini nmimi nii m aa aa aa aa ,1 , 1 , 11 , 1 , 11 , 1 1 1 b a nmimi aa ,1 , nmimi aa , 11 , 1 ini aa

35、 1 nii aa , 11 , 1 nmimi aa ,1 , nmimi aa , 11 , 1 ini aa 1 nii aa , 11 , 1 nmimi aa ,1 , nmimi aa , 11 , 1 ini nmimi nii nmimi m aa aa aa aa 1 , 11 , 1 , 11 , 1 ,1 , 12 1 推论1 如果行列式中有两行对应的元素成比例，则行列 式为零。 证 设行列式(2.2)的第l, i两行 对应的元素成比例， 比例系数为k，即 。从 的第l行提取出公 因子k，余下的行列式记为 ，根据性质2，有 。而行 列式 的第l, i两行完全相同，互换这两

36、行的位置后，所得的 行列式仍然是 。但由性质3，互换 的两行应该得到 。 因此有 ，所以 ，从而 。 b 0a il a b bb0b njkaa ijlj , 2 , 1 bka b bb 推论2 在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代 数余子式的乘积之和为零。 证 设将行列式(2.2)中第l行的元素aij全部都换成第i行的 相应元素 ，所得行列式记为 。一方面， 由于 的第l,i两行相同，根据推论1，有 ；另一方面，a, b两矩阵除第l行之外都相同，因此它们第l行上对应元素的代 数余子式也都相同。把 按第l行展开，注意到 的第l行第j 列上的元素为aij，得 ，从而 。 njilaij

37、, 2 , 1;b 0b bb n j ljija ab 1 0 1 n j ljija a b 综合行列式的定义、本推论及性质1，有关于代数余子式 的重要结果 ： .,0 ;, 1li lia aa n j ljij 当 当 .,0 ;, 1lj lja aa n i ilij 当 当 (2.3) niii n niii niii nn niii aaa bbb aaa aaa cbcbcb aaa , 12, 11 , 1 21 , 12, 11 , 1 , 12, 11 , 1 2211 , 12, 11 , 1 4 性质 niii n niii aaa ccc aaa , 12, 11

38、 , 1 21 , 12, 11 , 1 右边左边证 行展开按第 n j ijj n j ijj n j ijjj i acabacb 111 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。 lnll inii inlnilil inii aaa aaa kaakaakaa aaa 21 21 4 2211 21 性质 证 lnll inii inii inii aaa aaa kakaka aaa 21 21 13 21 21 的推论性质 行列式 是由方阵a决定的，对于矩阵可以作初等变换， 而行列式的性质2、3、5正是说明了矩阵的初等变换对于行列 式的值的影响，即：对矩阵每作一次初等变换，相应

39、地，行 列式或者不变，或者相差一非零的倍数。理论上，每个方阵 总可以经过一系列初等行变换化成行阶梯形方阵（第一节定 理1），而行阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，其值就等 于主对角线元素的乘积。数字元素的行列式，只要不是任意n 阶的，都可以用这种化成上三角形的方法计算出来。 行列式的计算 a 在用性质2、3、5计算行列式时，可采用相应的矩阵初等 变换的记号。 例6 计算 。 10782 5513 71391 3152 解 10782 5513 3152 71391 10782 5513 71391 3152 21 rr 101700 81600 1725130 71391 2433260 26

40、34260 1725130 71391 23 24 13 12 14 2 2 3 2 2 rr rr rr rr rr 312 2 3 1613 2 3 000 81600 1725130 71391 34 16 17 rr 补充 求行列式 第二列元素的余子式 之和。 解 10782 5513 71391 3152 4232221242322212 aaaammmm 10712 5513 71311 3112 当行列式中某一行或列含有较多的零时，把行列式按这一 行或列展开能降低它的阶数，简化计算。 例7 行列式 410 130 215 21 0410 0130 2521 0215 42 130

41、11210 41 13 52 对于含有字母元素、或者虽不含字母元素但阶数是任意n 阶的行列式，由于在化成上三角形时不一定能方便地确定出主 对角线上的元素，故计算时需要用到各种不同的方法。 例8 计算行列式 axxx xaxx xxax xxxa d 解 axx xax xxa xxx xna axxxna xaxxna xxaxna xxxxna d xna c cc nj j 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 2 1 1 1 , 2 1 000 000 000 1 1 1 n rr ni xaxna xa xa xa xxx xna i 例9 计算n阶行列式 52000 350

42、00 00520 00352 00035 n d 解 按第一行展开，求得递推关系式 2,65 21 nddd nnn 12 2 211 23232dddddd n nnnn 及 12 2 211 32323dddddd n nnnn 由以上两式可得 12 1 12 1 3223ddddd nn n 因为 ，所以 。19 52 35 , 5 21 dd 11 23 nn n d 2,65 21 nddd nnn 上式可以写成 例10 计算行列式 解 按性质4将dn关于第一行分解为两个行列式，将所得 两个行列式之每一个关于第二行分解为两个行列式，等等， 一直到最后一行，得到2n个行列式。 如果每次

43、分解时，把数ai取作头一个加项，把数bj取作第 二个加项，则所得各行列式的各行或者形如 ，或者 nnnn n n n bababa bababa bababa d 21 22212 12111 iii aaa, 形如 ，第一种类型的两行成比例，而第二种类型 的两行是相等的，当 时，在每一个所得到的行列式中至 少有两行是同一类型的，所以该行列式等于零。于是当 时， 。 其次， n bbb, 21 2n 2n 0 n d 111 bad 1221 22 21 21 11 2 bbaa aa bb bb aa d 例11 证明n阶范德蒙行列式 其中“”是连乘号。 证 对n作归纳法。当 时， nji

44、ij n n nnn n n n aa aaaa aaaa aaaa d 1 11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 2n 12 21 11 aa aa 结果是对的。设对于 阶的范德蒙行列式结论成立，现在 来看n阶的情形： 1n 2 1 12 31 1 3 2 21 1 2 1 2 31 2 321 2 2 11312 2, 0 0 0 1111 11 n n n n nnnn nn n rar ni n aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaa d ii 2 1 12 31 1 3 2 21 1 2 1 2 31 2 321 2 2 11312 n

45、n n n nnnn nn n aaaaaaaaa aaaaaaaaa aaaaaa 22 3 2 2 22 3 2 2 32 11312 1 1, 1 111 11 n n nn n n n aa c nj aaa aaa aaa aaaaaa j j 最后这个行列式是一个 阶范德蒙行列式，根据归纳法假 设，它等于所有可能差 的乘积；而包含a1的 差全在前面出现了。因此，结论对n阶范德蒙行列式也成立。 由这个结果立即得出，范德蒙行列式为零的充分必要条 件是 这n个数中至少有两个相等。 1n njiaa ij 2 n aaa, 21 例12 设矩阵 ，证明 证 分别用初等变换“ ”及“ ”将a

46、及b化 成下三角矩阵 根据性质5，有 mn ij nn ij mm ij ccbbaa , ba bc oa ji krr ji kcc nnnmmm bb b aa a 1 11 1 11 00 及 。， nnmm bbbaaa 1111 对矩阵 的前m行用那些化a成下三角的初等行变 bc oa nnnnmn m mmm bbcc bcc aa a 11 11111 1 11 0 nnmm bbaa bc oa 1111 ba bc oa 换、后n列用那些化b成下三角的初等列变换，可将其化成如 下的下三角矩阵 由性质5，有 。所以 。 一方面，由例12可知 。另一方面 定理1 若a和b是同阶

47、方阵，则 。 证 设 都是n阶方阵，作2n阶行列式 矩阵乘积的行列式 baab ijij bbaa， be oa d bad nn n n b b b 2 1 12111n bbb 2 22 12 n b b b 22212n bbb 0 0 0 100 010 001 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa d 0 0 0 1 1 1 12 1 11 n k knk n k kk n k kk ba ba ba 1 21 11 n b b b nnnn bbb 21 0 0 0 1 2 1 22 1 21 n k knk n k kk n k kk ba ba

48、 ba 0 0 0 1 1 2 1 1 n k knnk n k knk n k knk ba ba ba 0 0 0 0 0 0 再对d的行作 ，有 oe aba njrr jnj , 2 , 1 aba oe d n 1 从而按例12有 于是 。 abababed nnn 111 baab 例13 设 ，计算 。 从定理立即推出 推论 设a,b是同阶方阵，则 的充分必要条件是 或 。 定理1及其推论可以推广到多个同阶方阵乘积的情形。 定义 方阵a称为非退化的或非奇异的，如果 ；否 则称为退化的或奇异的。 abcd badc cdab dcba a a 0ab 0a0b 0a abcd ba

49、dc cdab dcba abcd badc cdab dcba aaa t 2 解 2222 2222 2222 2222 000 000 000 000 dcba dcba dcba dcba 4 2222 dcba 可以看出，行列式 本身包项a4，所以a 2 2222 dcbaa 定义 对于方阵a，如果存在同阶方阵b，使得 则称a可逆，b就称为a的逆矩阵，记为 。 若方阵a可逆，那么a的逆矩阵是唯一的。事实上，如果a 还有一个逆矩阵c，则 ，所以 由算式 直接可得：可逆矩阵a的逆矩阵 也可 逆，并且 。 逆矩阵的概念 ebaab 1 a ecaac 1111 aeaacacaaecc e

50、aaaa 11 aa 1 1 1 a 定义 设aij是n阶方阵 中(i,j)元的代数余子式，n 阶方阵 称为a的伴随矩阵，记为a*。 伴随矩阵 ij aa nnnn n n t ij aaa aaa aaa a 21 22212 12111 由(2.3)式立即得出 如果 ，那么 (3.1) ea a a a aaaa 00 00 00 * 0a eaa a a a a * 11 定理1 方阵a可逆的充分必要条件是 ，而 矩阵可逆的条件 0a *1 1 a a a （3.2） 证 当 ，由（3.1）可知，a可逆，且 反过来，如果a可逆，那么有 ，使 ，两边取行列 式，得 （3.3） 因而 。 *

51、1 1 a a a 1 aeaa 1 1 1 eaa 0a 0a 例1 设 ，如果a可逆，求 。 推论1 对于同阶方阵a,b，如果 ，那么a,b都是可 逆的并且它们互为逆矩阵。 证 ，故 ，因而a可逆，于是 由(3.3)可以看出，如果 ，那么 。0a 1 1 aa eab 1ebaab0a 1111 aeaababaaebb dc ba a 1 a 解 ，所以 ac bd abcada * ， ac bd bcad a a a 11 *1 dc ba a 推论2 如果数 ，矩阵a,b可逆，则ka ，ab以及at 皆可逆，并且 0k 。， t t aaababa k ka 1 1 11 1 1

52、1 1 证 因为 所以根据推论1，结论成立。 ，eeaaaa t tt t 11 ，eaaabbaabab 11111 ，eaa k ka k ka 11 11 例2 设 及 分别是m阶和n阶的可逆矩阵， 是 矩阵，求矩阵 的逆矩阵。 解 首先，由上节例12，有 ，所以当a,b可逆 时，d也可逆。设 于是 ij aa ij bb ij cc mn bc oa d bad 2221 12111 xx xx d 矩阵的分块求逆 这里em和en分别表示m阶和n阶单位矩阵。乘出并比较等式两 边，得 由第一、二式得 代入第四式，得 nm ebxcxobxcxoaxeax 221221111211 ， o

53、oaxax 1 12 1 11 ， 1 22 bx n m eo oe xx xx bc oa 2221 1211 代入第三式，得 因此 11 21 1 1121 cabxcacxbx， 111 1 1 bcab oa d 如果a1,a2,，al都是可逆方阵，容易验证 特别地，当 时， 可逆， 且 1 1 2 1 1 1 2 1 00 00 00 00 00 00 l l a a a a a a 0 21 n n a,diag 21 n a 1 , 1 , 1 diag 21 1 定义 由单位矩阵e经过一次初等变换得到的方阵称为初 等矩阵。 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。用非零常数

54、k乘e的第i行或第i列，都有 初等矩阵 kieki i 1 1 1 1 行第 列第 jie j i ji , 1 01 1 1 10 1 行第 行第 列第列第 交换矩阵e的第i,j两行或第i,j两列的位置，均得 kije k j i ji 1 1 1 1 行第 行第 列第列第 这些矩阵中没有写出的元素在主对角线上的都是1，在其他位置 的都是零。这三类矩阵就是全部的初等矩阵。 把矩阵e的第j行的k倍加到第i行，或者把矩阵e的第i列的k倍加 到第j列，有 定理2 对一个 矩阵a作一次初等行变换就相当于在a 的左边乘上相应的m阶初等矩阵；对a作一次初等列变换就相 当于在a的右边乘上相应的n阶初等矩阵

55、。 证 我们只看列变换的情形，行变换的情形同样可证。令 是任意一个n阶方阵，将a按列分块成 , 由矩阵的分块乘法， 特别，令 ，得 i列 ij bb n s ssn n s ss n s ss abababab 11 2 1 1 , n aaaa, 21 ni akaakiae, 1 kieb nm 这相当于用k乘a的第i列。令 ，得 i列 j列 这相当于把a的第i列与第j列互换。令 ，得 i列 j列 这相当于把a的第i列的k倍加到第j列。 初等矩阵都是可逆的，且逆矩阵还是同一种初等矩阵： 这是因为 kijeb niji akaaaakijae, 1 kijekijejiejiekiekie

56、11 1 1 , nij aaaajiae, 1 jieb, 所以根据定理1的推论1，有上述结论。 根据定理2，矩阵a,b等价的充分必要条件是有初等矩阵 ，使得 (3.4) 如果(3.4)中的a是方阵，b是a的标准形，由第二节定理1的推 论可知，a可逆的充分必要条件为它的标准型是单位矩阵。再 由(3.4)即得 定理3 方阵a可逆的充分必要条件为它能表示成一些初 等矩阵的乘积： , 1 ekijekijeekiekieejiejie ts qqpp, 11 ts qbqppa 11 (3.5) 由此即得 推论1 矩阵a与b等价的充分必要条件为，存在可逆矩阵 p与q，使 。 把(3.5)改写一下，

57、有 (3.6) 因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩阵a的左边乘 初等矩阵就相当于对a作初等行变换，所以(3.6)说明了 推论2 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位 矩阵。 l qqa 1 pbqa eaqql 1 1 1 以上讨论提供了一个求逆矩阵的方法。设a是一可逆的n 阶方阵，由推论2，有一系列初等矩阵 ，使 ， (3.7) 由(3.7)即得 (3.8) (3.7) ， (3.8)两个式子说明，如果用一系列初等行变换把可逆 矩阵a化成单位矩阵，那么同样地用这一系列初等行变换去化 单位矩阵，就得到 。 求逆矩阵的初等变换法 l pp, 1 eapp l 1 eppppa ll

58、11 1 1 a 把a，e这两个n阶方阵凑在一起，作成一个 矩阵 (a, e)，按矩阵的分块乘法(3.7) ， (3.8)可以合并写成 上式提供了一个具体求逆矩阵的方法。作 矩阵 (a, e) ，用初等行变换把它的左边一半化成e，这时，右边 的一半就是 。 例3 设 ，求 。 解 nn2 1 111 , aeeppappeapp lll nn2 1 a 1 a 012 411 210 a 100012 001210 010411 100012 010411 001210 21 rr 123200 001210 010411 120830 001210 010411 2313 32rrrr 2

59、1 1 2 3 100 124010 112001 123200 124010 236011 21 3 31 32 2 1 2rr r rr rr 2 1 1 2 3 124 112 1 a 当然，同样可以证明，可逆矩阵也能用初等列变换化成单 位矩阵，这就给出了用列变换求逆矩阵的方法。 定义 在矩阵 中，任意选定k行k列( )， 位于这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序所组 成的 矩阵的行列式，称为a的一个k阶子式。 例如，在矩阵 矩阵的子式 nmk,min kk 0000 5000 4120 1311 a 中，选第1,3行和第3,4列，它们交点上的元素所成的2阶行列式 nm a

60、就是一个2阶子式。又如选第1,2,3行和第1,2,4列，相应的3阶子 式就是 15 50 13 10 500 420 111 定义 非零矩阵的不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的 秩，零矩阵的秩规定为0。矩阵a的秩记为r(a)。 由于矩阵子式的阶数不超过矩阵的行数和列数，所以 。 由定义即知，如果a是n阶方阵，则 的充分必要条件 是 。 根据行列式的性质1，at的子式与a的子式对应相等，因 此 。 矩阵的秩 nmar nm ,min 0a nar arar t 例4 证明：行（列）阶梯形矩阵的秩等于它的非零行 （列）的个数。 证 设a是一个行阶梯形矩阵，不为零的行数是r。选取 这r个非零行以及各