全等三角形.第4讲5讲;全等三角形与旋转问题-轴对称和等腰三角形;教师版

1、1 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 1 of 37 第四讲第四讲 全等三角形与旋全等三角形与旋 转问题转问题 中考要求 考试要求考试要求 板块板块 a a 级要求级要求b b 级要求级要求c c 级要求级要求 全等三角形全等三角形 的性质及判的性质及判 定定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质， 会用全等三角形的性质和判定解决简 单问题 会运用全等三角形的性 质和判定解决有关问题 知识点睛 基本知识 把图形绕平面上的一个定点旋转一个角度，得到图形，这样的由图形到变换叫做旋转变换，go g g g 点叫做旋转中心，叫做旋转角，叫做的象；叫做的原象，无

2、论是什么图形，在旋转变换下，o g gg g 象与原象是全等形 很明显，旋转变换具有以下基本性质： 旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等； 对应直线的交角等于旋转角 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件盯对集中，以 便于诸条件的综合与推演 2 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 2 of 37 重、难点 重点：重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以 后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定 也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，hl 的判定是整

3、个直角三角形的重点 难点：难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用 性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是 条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中 反复强化 例题精讲 【例例 1】 如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案 与其余三个图案旋转的角度不同，它是与其余三个图案旋转的角度不同，它是( ) 【解析解析】a 【例例 2】 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成

4、的，其中菱形如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形 aefg 可以看成是把可以看成是把 菱形菱形 abcd 以以 a 为中心为中心( ) a顺时针旋转顺时针旋转 60得到得到 b顺时针旋转顺时针旋转 120得到得到 c逆时针旋转逆时针旋转 60得到得到 d逆时针旋转逆时针旋转 120得到得到 3 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 3 of 37 gf e d c b a 【解析解析】d 【例例 3】 如图，如图，c 是线段是线段 bd 上一点，分别以上一点，分别以 bc、cd 为边在为边在 bd 同侧作等边同侧作等边abc 和等边和等边

5、cde,ad 交交 ce 于于 f，be 交交 ac 于于 g，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有( ) a1 对对 b2 对对 c3 对对 d4 对对 k g f e d c b a 【解析解析】c 【例例 4】 已知：如图，点已知：如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形求证：是等边三角形求证：cabacmcbnanbm m d n e cb f a 【解析解析】、是等边三角形，acmcbn ，mcaccncbacnmcb ，acnmcbanbm 【点评】此题放在例题之前回忆，此题是旋转中的基本图形 【例例 5】 如图，如图，三点共

6、线，且三点共线，且与与是等边三角形，连结是等边三角形，连结，分别交分别交，于于bceabcdcebdaeacdc ，点求证：点求证：mncmcn nm e d c b a 【解析解析】与都是等边三角形abcdce 4 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 4 of 37 ，及bcaccdce60acbdce ，三点共线bce ，180bcddce 180bcaace 120bcdace 在与中bcdace ， bcac bcdace dcec bcdace cancbm ，120bcdace 60bcmnce 60acd 在与中bcmacn ，60 bcac bcmac

7、n cbmcan bcmacncmcn 【补充补充】已知：如图，点已知：如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形求证：是等边三角形求证：平分平分cabacmcbncfafb m d n e cb f a g m h d n e cb f a 【解析解析】过点作于，于，由，ccgangchbmhacnmcb 利用进而再证，可得到，故平分aasbchncdcgchcfafb 【补充补充】如图，点如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形是等边三角形cabacmcbn 请你证明：请你证明： ；anbm ；deab 平分平分cfafb m d n e cb f a 【解析解析】此图是

8、旋转中的基本图形其中蕴含了许多等量关系 与三角形各内角相等，60mcn 及平行线所形成的内错角及同位角相等； 全等三角形推导出来的对应角相等 5 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 5 of 37 推到而得的：；afcbfc ，；anbmcdceadmendbe ，；amcncmbndeab ，；acnmcbadcmcendcbec 为等边三角形dec 、是等边三角形，acmcbn ，mcaccncbacnmcb ，acnmcbanbm 由易推得，所以，又，acnmcbndcbeccdce60mcn 进而可得为等边三角形易得decdeab 过点作于，于，由，ccgan

9、gchbmhacnmcb 利用进而再证，可得，故平分aasbchncdafcbfc cfafb 【例例 6】 ( (2008 年怀化市初中毕业学业考试试卷年怀化市初中毕业学业考试试卷) )如图，四边形如图，四边形、都是正方形，连接都是正方形，连接、abcddefgae 求证：求证：cgaecg g f e d c b a 【解析解析】adcedg cdgade 在和中cdgade cdad cdgade dgde cdgadeaecg 【例例 7】 如图，点如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形，是等边三角形，是是中点，中点，是是中点，求中点，求cabacmcbndanebm 证：

10、证：是等边三角形是等边三角形cde md n e cba 【解析解析】，acnmcbanbmabmanc 又、分别是、的中点，deanbm ，bcencdcecdbcencd 60dcencdncebcencencb 6 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 6 of 37 是等边三角形cde 【补充补充】(】(年全国初中数学竞赛海南区初赛年全国初中数学竞赛海南区初赛) )如下图，在线段如下图，在线段同侧作两个等边三角形同侧作两个等边三角形和和2008aeabc ( () )，点，点与点与点分别是线段分别是线段和和的中点，则的中点，则是是( ( ) )cde120ace

11、pmbeadcpm p m b c d e a a钝角三角形钝角三角形 b直角三角形直角三角形 c等边三角形等边三角形 d非等腰三角形非等腰三角形 【解析解析】易得所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的又为线acdbcebceacdc60m 段中点，为线段中点，故就是绕着点顺时针旋转而得所以且，adpbecpcmc60cpcm ，故是等边三角形，选 c60pcmcpm 【例例 8】 如图，等边三角形如图，等边三角形与等边与等边共顶点于共顶点于点求证：点求证：abcdeccaebd d e c b a 【解析解析】是等边三角形，abc60acbacbc ，同理，60bcddca 60acedca

12、 dcecbcdace 在与中，bcdace ， bcac bcdace dcec bcdacebdae 【例例 9】 如图，如图，是等边是等边内的一点，且内的一点，且，问，问的度数是否的度数是否dabcbdadbpabdbpdbc bpd 一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由 p d cb a a bc d p 【解析】连接，将条件，这两个条件，易得()，得cdbdadbpabacdbcdsss ，由，(公共边)，知 1 30 2 bcdacdacb bpabbcdbpdbc bdbd 7 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版

13、 page 7 of 37 ()，故的度数是定值bdpbdcsas30bpdbcd bpd 【例例 10】( (2005 年四川省中考题年四川省中考题) )如图，等腰直角三角形如图，等腰直角三角形中，中，为为中点，中点，abc90b abaoac 求证：求证：为定值为定值eoofbebf o b e cf a 4 3 2 1 o b e cf a 【解析】连结由上可知，而，ob1290 2390 13 445c oboc ，obeocfbefcbebfcfbfbca 【补充补充】如图，正方形如图，正方形绕正方形绕正方形中点中点旋转，其交点为旋转，其交点为、，求证：，求证：oghkabcdoef

14、aecfab 5 4 3 2 1 o h b e d k g c f a 【解析】正方形中，abcd1245 oaob 而，3490 4590 ，35aoebof ，aebfaefcbffcbcab 【例例 11】( (2004 河北河北) )如图，已知点如图，已知点是正方形是正方形的边的边上一点，点上一点，点是是的延长线上一点，且的延长线上一点，且eabcdcdfcb 求证：求证：eaafdebf f e d c b a 【解析解析】证明：因为四边形是正方形，所以，abcdabad 因为，90badadeabf eaaf 所以，所以 90bafbaebaedae ，故，故 bafdae rt

15、 abfrt adedebf 8 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 8 of 37 【补充补充】如图所示，在四边形如图所示，在四边形中，中，于于，若四边形，若四边形abcd90adcabc adcddpabp 的面积是的面积是 16，求，求的长的长abcddp p d c b aa b c d e p 【解析解析】如图，过点作，延长交于点，容易证得(实际上就是把ddedpbcdeeadpcde 逆时针旋转，得到正方形)adp90dpbe 正方形的面积等于四边形面积为，dpbeabcd164dp 【例例 12】、分别是正方形分别是正方形的边的边、上的点，且上的点，且，

16、为垂足，为垂足，efabcdbccd45eaf ahefh 求证：求证：ahab c h f e d b a c h f eg d b a 【解析】延长至，使，连结，易证，cbgbgdfagabgadfbagdafagaf 再证，全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，则有aegaefahab 【例例 13】( (1997 年安徽省初中数学竞赛题年安徽省初中数学竞赛题) )在等腰在等腰的斜边的斜边上取两点上取两点、，使，使，rt abcabmn45mcn 记记，则以，则以、为边长的三角形的形状是为边长的三角形的形状是( ( ) )ammmnxbnnxmn a锐角三角形锐角三角形 b直角

17、三角形直角三角形 c钝角三角形钝角三角形 d随随、的变化而变化的变化而变化xmn mn c ba m d n c ba 【解析】如图，将绕点顺时针旋转，得，连结，cbnc90cadmd 则，adbnncdcnacdbcn mcdacmacdacmbcn 904545mcn ，mdcmncmdmnx 又易得，在中，有，故应选(b)454590dam rt amd 222 mnx 9 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 9 of 37 【巩固巩固】如图，正方形如图，正方形的边长为的边长为 ，点，点在线段在线段上运动，上运动，平分平分交交边于点边于点abcd1fcdaeba

18、fbce 求证：求证：afdfbe 设设( () )，与与的面积和的面积和是否存在最大值？若存在，求出此时是否存在最大值？若存在，求出此时的值的值dfx01xadfabesx 及及若不存在，请说明理由若不存在，请说明理由s f e d cb a g a bc d e f 【解析解析】 证明： 如图，延长至点，使得，连结cbgbgdfag 因为是正方形，所以在和中，abcdrt adfrt abgadab ，90adfabg dfbg ，rtrt(sas)adfabg ，afagdafbag 又 是的平分线aebaf ，eafbae dafeafbagbae 即eadgae ，adbcgeaea

19、d ，geagae agge 即agbgbe ，得证afbgbe adfabe sss 11 22 df adbe ab ，1adab 1 2 sdfbe 由知，afdfbe 所以 1 2 saf 在中，rt adf1ad dfx ， 2 1afx 2 1 1 2 sx 由上式可知，当达到最大值时，最大而， 2 xs01x 所以，当时，1x 最大值为s 2 11 12 22 x 【例例 14】( (通州区通州区 2009 一模第一模第 25 题题) )请阅读下列材料：请阅读下列材料： 已知：如图已知：如图 1 在在中，中，点，点、分别为线段分别为线段上两动点，若上两动点，若rt abc90ba

20、cabacdebc 探究线段探究线段、三条线段之间的数量关系三条线段之间的数量关系45daebddeec 小明的思路是：把小明的思路是：把绕点绕点顺时针旋转顺时针旋转，得到，得到，连结，连结，aeca90abee d 使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想猜想、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； bddeec 10 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 10 of 37 当动点当动点在线段在线段上，动点上，动点运动在线段运动在线段

21、延长线上时，如图延长线上时，如图 2，其它条件不变，其它条件不变，中探究中探究ebcdcb 的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 图 1 a b c d e 图 2 a b c de 【解析】 222 debdec 证明：根据绕点顺时针旋转得到aeca90abe aecabe ，beec aeae cabe eace ab 在中rt abc abac 45abcacb 90abcabe 即90e bd 222 e bbde d 又45dae 45badeac 45e abbad 即45e ad ae daed de de 222 debdec

22、 e e d c b a f ed c b a 关系式仍然成立 222 debdec 证明：将沿直线对折，得，连adbadafdfe afdabd ，afabfddb ，fadbad afdabd 又，abacafac 45faefaddaefad 9045eacbacbaedaedabdab faeeac 又aeae afeace ，feec45afeace 180135afdabdabc 11 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 11 of 37 1354590dfeafdafe 在中rt dfe 即 222 dffede 222 debdec 【例例 15】(

23、(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) ) 如图所示，如图所示，是边长为是边长为 的正三角形，的正三角形，abc1 是顶角为是顶角为的等腰三角形，以的等腰三角形，以为顶点作一个为顶点作一个的的，点，点、分别在分别在、bdc120d60mdnmnab 上，求上，求的周长的周长acamn n m d cb a n m e d c b a 【解析】如图所示，延长到使acecebm 在与中，因为，bdmcdebdcd90mbdecd bmce 所以，故bdmcdemded 因为，所以120bdc 60mdn 60bdmndc 又因为，所以 bdmcde 60m

24、dnedn 在与中，mndenddndn60mdnedn dmde 所以，则，所以的周长为mndendnemnamn2 【例例 16】在等边在等边的两边的两边 ab，ac 所在直线上分别有两点所在直线上分别有两点 m，n，d 为为外一点，且外一点，且abcabc ，探究：当点，探究：当点 m，n 分别爱直线分别爱直线 ab，ac 上移动时，上移动时，60mdn120bdcbdcd bm，nc，mn 之间的数量关系及之间的数量关系及的周长与等边的周长与等边的周长的周长 l 的关系的关系amnabc 如图如图，当点，当点 m，n 在边在边 ab，ac 上，且上，且 dm=dn 时，时，bm，nc，

25、mn 之间的数量关系式之间的数量关系式 _；此时；此时=_ q l 如图如图，当点，当点 m，n 在边在边 ab，ac 上，且上，且时，猜想时，猜想( (1) )问的两个结论还成立吗？写出问的两个结论还成立吗？写出dndm 你的猜想并加以证明；你的猜想并加以证明； 如图如图，当点，当点 m，n 分别在边分别在边 ab，ca 的延长线上时，若的延长线上时，若 an=x，则，则 q=_( (用用 x，l 表示表示) ) 12 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 12 of 37 【解析】bm+nc=mn; 2 3 q l (2)猜想：仍然成立 证明：如图，延长 ac 至

26、e，使 ce=bm，连接 de ,120bdcdbdc且， 30dbcdcb 由是等边三角形，abc90mbdncd ()mbdecd sas ，,dmdebdmcde 60ednbdcmdn 在与中mdnedn dmde mdnedn dndn ()mdnedn sas mnnencbm 的周长=amnqamanmn()()ambmannc2abacab 而等边的周长abc3lab 2 3 q l (3) 2 2 3 xl 【补充补充】( (1) )如图，在四边形如图，在四边形 abcd 中，中，abad，bd，e、f 分别是边分别是边 bc、cd 上的点，且上的点，且90 eaf=bad求

27、证：求证：efbefd; 1 2 f e d cb a ( (2) ) 如图如图，在四边形在四边形 abcd 中，中，abad，b+d，e、f 分别是边分别是边 bc、cd 上的点，且上的点，且180 eaf=bad， ( (1) )中的结论是否仍然成立？不用证明中的结论是否仍然成立？不用证明 1 2 13 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 13 of 37 f e d c b a 【解析】证明：延长 eb 到 g，使 bg=df，联结 ag abgabc=d， abad，90 abgadf agaf， 12 1 1323 2 eafbad gae=eaf 又aea

28、e， aegaef egef eg=be+bg ef= befd (2) (1)中的结论仍然成立 efbefd 【例例 17】平面上三个正三角形平面上三个正三角形，两两共只有一个顶点，求证：两两共只有一个顶点，求证：与与平分平分acfabdbceefcd f e d b c a 【解析解析】连接与dedf ，dbaebc badcaf ，dbeabc bacdaf 在与中dbeabc 14 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 14 of 37 dbab dbeabc bebc (sas)dbeabc decafc 在与中dfabca daba dafbac afac

29、(sas)dfabca dfbcec 为平行四边形，decf ，互相平分efcd 【例例 18】已知：如图，已知：如图，、都是等边三角形，且都是等边三角形，且、共线，共线，求求abccdeehkadkaddk 证：证：也是等边三角形也是等边三角形hbd e k h c d b a m a b d c h k e 【解析】连结，ebcecdceeabead 所以，并且与的夹角为，beadbead60 延长交于，ebakm 则360300ebhbhdhdebedhdmmdemeddmmdemedhdmhdk 又因为，hkadbebhhd 所以behdkh 所以，hkhe

30、ehdehddhkbhe 【例例 19】( (1997 年安徽省竞赛题年安徽省竞赛题) )如图，在如图，在外面作正方形外面作正方形与与，为为的的abcabefacghadabc 高，其反向延长线交高，其反向延长线交于于，求证：，求证：( (1) );(;(2) )fhmcfbh mhmf 15 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 15 of 37 g h f m e d cb a 【解析】证明;(2)作，先证，abhafcfpmdp于hqmdq于afpbadacd ，再证haqfpmhqm 【补充补充】以以abc 的两边的两边 ab、ac 为边向外作正方形为边向外作正

31、方形 abde、acfg，求证：，求证：ce=bg，且，且 cebg o g f e d cb a 【解析】易证，故，又，故aecabgaceagb acagaogboc cebg 【例例 20】( (北京市初二数学竞赛试题北京市初二数学竞赛试题) ) 如图所示，在五边形如图所示，在五边形中，中，abcde90be ，求此五边形的面积，求此五边形的面积abcdae1bcde e d c b a f e d c b a 【解析】我们马上就会想到连接、，因为其中有两个直角三角形，但又发现直接求各三角形的面积acad 并不容易，至此思路中断 我们回到已知条件中去，注意到，这一条件应当如何利用？联想到

32、在证明线段相等时1bcde 我们常用的“截长补短法” ，那么可否把拼接到的一端且使呢(如图所示)？据此，bcdeefbc 连接，则发现，且，是底、高各为 的三afabcaef1fd afacaeabadf1 角形，其面积为，而与全等，从而可知此五边形的面积为 1 2 acdafd1 16 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 16 of 37 【例例 21】( (希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) ) 在在五边形五边形中，已知中，已知，abcdeabae ，连接，连接求证：求证：平分平分bcdecd180abcaed adadcde

33、e dc b a f e dc b a 【解析】连接由于，acabae180abcaed 我们以为中心，将逆时针旋转到的位置因，所以点与点重合，而aabcaefabaebe ，180aefaedabcaed 所以、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，且，defcfafacefbc 所以dfdeefdebccd 在与中，acdafd 因为，acafcdfdadad 故，acdafd 因此，即平分adcadf adcde 家庭作业 【习题习题 1】如图，已知如图，已知和和都是等边三角形，都是等边三角形，、在一条直线上，试说明在一条直线上，试说明与与abcadebcdce 相等的理由相等的理由acc

34、d e d c b a 【解析解析】，acabcaebad aead aecadb cebd 又bdbccdaccd ceaccd 【习题习题 2】( (湖北省黄冈市湖北省黄冈市 2008 年初中毕业生升学考试年初中毕业生升学考试) )已知：如图，点已知：如图，点是正方形是正方形的边的边上任意一上任意一eabcdab 17 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 17 of 37 点，过点点，过点作作交交的延长线于点的延长线于点求证：求证：ddfdebcfdedf f e d c b a 【解析解析】adcedf adecdf 在和中adecdf daedcf adcd

35、adecdf adecdf dedf 【习题习题 3】( (2008 山东山东) )在梯形在梯形中，中，是是中点，中点，abcdabcd90a 2ab 3bc 1cd ead 试判断试判断与与的位置关系，并写出推理过程的位置关系，并写出推理过程eceb ab c d e f e d c ba 【解析】延长交延长线于点becdf 是中点，eaddeae ，abcd90a 90edfeab abedfe 在和中，aebfed abedfe eabedf aede ，aebfedfebe 又，2,3,1abbccdcfbc 在和中，fcebce fcbc cece febe ，fcebceceeb

36、18 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 18 of 37 【习题习题 4】已知：如图，点已知：如图，点为线段为线段上一点，上一点，、是等边三角形是等边三角形、分别是分别是、cabacmcbncgchacn 的高求证：的高求证：mcbcgch h g n m cba 【解析解析】由，利用进而再证，可得到acnmcbaasbchncdcgch 月测备选 【备选备选 1】在等腰直角在等腰直角中，中，是是的中点，点的中点，点从从出发向出发向运动，运动，abc90acb acbcmabpbc 交交于点于点，试说明，试说明的形状和面积将如何变化的形状和面积将如何变化mqmpac

37、qmpq a p m c q b a p m c q b 【解析】连接因为且，所以cmacbc90acb 45b 因为是的中点，所以，且，则mab90amcbmc 45acm cmbmacmb 因为，所以，所以，mqmp90qmccmppmb qcmpbm 所以因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变qmpmmpqp 的面积与边的大小有关当点从出发到中点时，面积由大变小；mpqmppbbc 当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大pbcpc 【备选备选 2】如图，正方形如图，正方形中，中，求证：求证：abcdfadfae bedfae f e d cb a f e d

38、mcb a 【解析】延长至，使得，连接cbmbmdfam 易证得：，从而可得：abmadf 19 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 19 of 37 ，afdbafeafbaebambaeeam ，故ambeam aeembebmbedf 【备选备选 3】等边等边和等边和等边的边长均为的边长均为 1，是是上异于上异于的任意一点，的任意一点，是是上一点，上一点，abdcbdebeadad、fcd 满足满足，当，当移动时，试判断移动时，试判断的形状的形状1aecfef、bef d f e c b a 【解析】由条件，且，得1aecf1dfcfaedf 因为，所以，abd

39、b60abdf abedbf 因此，bebfabedbf 因为，60ebfebddbfebdabeabd 所以为等边三角形bef 20 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 20 of 37 第五讲第五讲 轴对称和等腰轴对称和等腰 三角形三角形 中考要求 考试要求考试要求 板块板块 a a 级要求级要求b b 级要求级要求c c 级要求级要求 等腰三角形等腰三角形 了解等腰三角形、等 边三角形、直角三角 形的概念，会识别这 三种图形；理解等腰 三角形、等边三角形、 直角三角形的性质和 判定 能用等腰三角形、等边三角形、直角 三角形的性质和判定解决简单问题 会运用等腰三角

40、形、等 边三角形、直角三角形 的知识解决有关问题 知识点睛 等腰三角形等腰三角形 1 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2 等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形 3 等腰三角形的性质： (1)两腰相等 (2)两底角相等 (3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 (4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴 线段的垂直平分线： 性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， 线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合 4 等腰三角形的判

41、定： (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形 (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形 21 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 21 of 37 5 等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60 6 等边三角形的判定： (1)三条边都相等的三角形是等边三角形 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形 (3)有一个角是的等腰三角形是等边三角形60 7 等腰直角三角形的性质：顶角等于，底角等于，两直角边相等9045 等腰直角三角形的判定： (1)顶角为的等腰三角形90 (2)底角为的等腰三角形45 轴对称图形：轴对称图形： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线

42、两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形这条直线就是 它的对称轴这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称 如下图，是轴对称图形abc 两个图形轴对称：两个图形轴对称： 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称， 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 如下图，与关于直线 对称， 叫做对称轴和，和，和是对称点abca b cllaabbcc 轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系： 对称轴的性质：对称轴的性质： 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段即：如

43、果两个图形关于某条直线对称， 那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所 连线段的垂直平分线 线段的垂直平分线：线段的垂直平分线： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 如图，直线 经过线段的中点，并且垂直于线段，则直线 就是线段的垂直平分线laboablab 轴对称图形两个图形轴对称 图形的个数1 个图形2 个图形区 别对称轴的条 数 一条或多条只有 1 条 联系二者都的关于对称轴对称的 22 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 22 of 37 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：

44、 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 如图，点是线段垂直平分线上的点，则pabpapb 线段垂直平分线的判定：线段垂直平分线的判定： 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 成轴对称的两个图形的对称轴的画法：成轴对称的两个图形的对称轴的画法： 如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线因此，我们只要找到一对对 应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴 成轴对称的两个图形的主要性质：成轴对称的两个图形的主要性质： 成轴对称的两个图形全等 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点连线的垂直平分线 轴

45、对称变换的方法应用：轴对称变换的方法应用： 轴对称变换是通过作图形关于一直线的对称图形的手段，把图形中的某一图形对称地移动到一个新的位置上， 使图形中的分散条件和结论有机地联系起来常用的辅助线有角平分线条件时的各种辅助线，本质上都是对 称变换的思想 轴对称变换应用时有下面两种情况：轴对称变换应用时有下面两种情况： 图形中有轴对称图形条件时，可考虑用此变换； 图形中有垂线条件时，可考虑用此变换 重、难点 重点：重点：探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，这两个性质对于 平面几何中的计算，以及以后的证明都有很大的帮助 难点：难点：等腰三角形关于底和腰，底角和顶角的计算问题，由于等腰三角

46、形底和腰， 底角和顶角性质性质特点很容易混淆，而且他们在用法和讨论上很有考究， 只能在练习中加以训练。运用轴对称变换来解决实际题目，以及轴对称的 生活中的实际运用 23 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 23 of 37 例题精讲 板块一、等腰三角形及轴对称的认识 【例例 1】 下列两个命题：下列两个命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；如果一个等腰三角形有一个内角是如果一个等腰三角形有一个内角是 ，那么这个等腰三角形一定是等边三角形则以下结论正确的是，那么这个等腰三角形一定是等边三角形则以下结论正确的是( ( ) )60

47、 a只有命题只有命题正确正确 b只有命题只有命题正确正确 c命题命题、都正确都正确 d命题命题、都不正确都不正确 【解析】c 【例例 2】 如图，在如图，在 中，中，于于请你再添加一个条件，就可以确定请你再添加一个条件，就可以确定是等腰三角形你是等腰三角形你abcadbcdabc 添加的条件是添加的条件是 d cb a 【解析】或平分或bddcadbacbc 【例例 3】 ( (2006 年扬州中考年扬州中考) )如图，在如图，在中，中，、分别是分别是、上的点，上的点，与与交于点交于点，给，给abcdeacabbdceo 出下列四个条件：出下列四个条件：；( (1) )上述四上述四ebodoc

48、 beocdo becdoboc 个条件中，哪两个条件可判定个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形是等腰三角形( (用序号写出所有情况用序号写出所有情况) )；( (2) )选择第选择第小题中的小题中的abc 一种情形，证明一种情形，证明是等腰三角形是等腰三角形abc o ed cb a 【解析】(1)，四种情况可判定是等腰三角形abc (2)下面以两个条件证明是等腰三角形abc ，ebodoc becdbeocdo ，eobdoc ，oboc obcocb ，ebcdcb 24 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 24 of 37 是等腰三角形abc 【例例 4】

49、如图如图，分别平分分别平分，问：问：abacbdcdabcacb 图中有几个等腰三角形？图中有几个等腰三角形？ 过过点作点作，如图，如图，交，交于于，交，交于于，图中又增加了几个等腰三角形？，图中又增加了几个等腰三角形？defbcabeacf 如图如图，若将题中的，若将题中的改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？线段abc 与与、有什么关系？有什么关系？efbecf 如图如图，平分平分，平分外角平分外角交交于于，交，交于于线段线段 bdabccdacgdebcabeacfef 与与、有什么关系？有什么关系？becf 如图

50、如图，、为外角为外角、的平分线，的平分线，交交延长线于延长线于，交，交 延延bdcdcbmbcndebcabeac 长线于长线于，线段，线段与与、有什么关系？有什么关系？ fefbecf (1) c d b a (5)(4)(3)(2)(1) m d d d dc cc c b bb b a a a 1 2 3 a a bc d e e e e f f ff g m n n 【解析】图中有两个等腰三角形：、abcbcd 图中又增加了三个等腰三角形：、aefbedcfd 图中有两个等腰三角形：、，bedcfd 由于，故edbedfcfefedfdbecfefbecf 图所示中仍有两个等腰三角形、

51、bedcdf 从而，又，故debecfdfefeddfbecfefbecf 如图所示与类似，efbecf 【例例 5】 ( (08 年广东省年广东省) )下列图形中是轴对称图形的是下列图形中是轴对称图形的是 ( ( ) ) 【解析】c 25 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 25 of 37 【例例 6】 (09 湖南株洲湖南株洲)下列四个图形中，不是轴对称图形的是下列四个图形中，不是轴对称图形的是( ) a b c d 【解析】 【例例 7】 ( (2004 泸州泸州) )下列各种图形不是轴对称图形的是下列各种图形不是轴对称图形的是( ( ) ) 【解析】c 【补

52、充补充】如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称如图，它们都是对称图形，请观察并指出哪些是轴对称图形，哪些图形成轴对称 【解析】轴对称图形：1，3，4，6，8，10 成轴对称的图形有：2，5，7，9 【例例 8】 ( (上海上海) )正六边形是轴对称图形，它有正六边形是轴对称图形，它有 条对称轴条对称轴 【解析】点拨：可以画出例图进行分析，明确正边形有条对称轴6nn 板块二、板块二、等腰三角形的性质 【例例 9】 ( (2008 乌鲁木齐乌鲁木齐) )某等腰三角形的两条边长分别为某等腰三角形的两条边长分别为和和，则它的周长为，则它的周长为( ( ) )3cm6cm

53、 a或或9cm12cm15cm12cm15cm 26 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 26 of 37 【解析】 【补充补充】已知等腰三角形的周长为已知等腰三角形的周长为，一腰长是底边长的，一腰长是底边长的倍，则腰长是倍，则腰长是( ( ) )24cm2 a b c d4.8cm9.6cm2.4cm1.2cm 【解析】b 【例例 10】( (2008 沈阳沈阳) )若等腰三角形中有一个角等于若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为，则这个等腰三角形的顶角的度数为( () )50 a或或或或508065505080 【解析】 【补充补充】(】(20

54、07 重庆中考重庆中考) )已知一个等腰三角形两内角的度数之比为已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为，则这个等腰三角形顶角的度数为( ( ) )1:4 a b c或或 d201202012036 【解析】当等腰三角形的顶角为钝角时，内角的度数之比为 ，此时顶角为；1:4:420 当顶角为钝角时，内角的度数之比为 ，此时顶角为故选1:1:4120c 【例例 11】( (2007 四川自贡中考四川自贡中考) )若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为，则该三角形的一个底角，则该三角形的一个底角25 为为( ( ) ) a b c或或

55、 d或或32.557.56557.532.557.5 【解析】c 【补充补充】(】(2006 自贡自贡) )从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线，与两腰所围成的平行四边形的周 长等于三角形的长等于三角形的( ( ) ) a两腰长的和两腰长的和周长一半周长一半 周长周长 一腰长与底边长的和一腰长与底边长的和 【解析】a 【补充补充】(】(2000 年常州市中考题年常州市中考题) )已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为 9 和和 12 两部分，求腰长和两部分，求腰长和

56、底长底长 【解析】设这个三角形的腰长为，底长为，则，解得，或，解得，xy 12 2 9 2 x x x y 8 5 x y 9 2 12 2 x x x y 6 9 x y 而 8，8，5 和 6，6，9 均能组成等腰三角形注意等腰三角形中的分类讨论 【例例 12】( (05 年青岛中考题年青岛中考题) )已知等腰三角形的周长为已知等腰三角形的周长为 12，腰长为，腰长为，求，求的取值范围的取值范围xx 【解析】，且，解得122xxx1220 x36x 【补充补充】已知等腰三角形的周长为已知等腰三角形的周长为 20，三边长为整数，求底边长，三边长为整数，求底边长 27 2010 年暑假短期班

57、全等秘诀班第 4 讲教师版 page 27 of 37 【解析】设腰长为，且，解得，则腰长为 6、7、8、9，对应的底边x202xxx2020 x510 x 长为 8、6、4、2 【例例 13】已知已知是等腰是等腰一腰上的高，且一腰上的高，且，求，求三个内角的度数三个内角的度数bdabc50abdabc 【解析】若为钝角三角形时，为顶角时，三内角大小为 140，20，20；abca 若为钝角三角形时，为底角时，三内角大小为 100，40，40；abca 若为锐角三角形时，为顶角，三内角大小为 40，70，70abca 【例例 14】在在中，中，求求abcabacbcbdedeaa e d cb

58、 a 【解析】设，则，ax2bedx3bdcx32dbcxxx 在中，可得，bdc33180 xxx 180 () 7 x 【补充补充】在在中，中，求求abcabacbcbdadedeba e d cb a 【解析】设，则，ax1802adex 1 2 edbx ， 13 180(1802 ) 22 bdcxxx 1801 90 22 x acbx 在中，解得dbc 31 90 22 xx45x 【例例 15】的两边的两边和和的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交于于、，若，若，求，求abcabacbcde150bacdae bac 28 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 pa

59、ge 28 of 37 edcb a 【解析】根据题意可得：，bbad ccae 则bacbadcaedaebcdae 即，解得180150bacbacbac 110bac 【例例 16】如图，点如图，点是等边是等边内一点，内一点，将将绕点绕点按顺时针按顺时针oaoad110aob bocbocc 方向旋转方向旋转得得，连接，连接，则，则是等边三角形；当是等边三角形；当为多少度时，为多少度时，19060adcodcod 是等腰三角形？是等腰三角形？aod o d cb a 【解析】分三种情况讨论：要使，需aoadaodado ，190aod60ado 19060 125 要使，需oaodoad

60、ado ，180()50oadaodado 6050 110 要使，需odadoadaod 19050 140 综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形125110140abc 【例例 17】( (河南省数学竞赛河南省数学竞赛) )如图，在如图，在中，中，在在上，上，在，在上取一点上取一点abcbc dbc50bad ac ，使得，使得，求，求的度数的度数eadeaed edc a bcd e 【解析】由题设，及三角形外角定理，bc adeaed 即，edccaed 29 2010 年暑假短期班 全等秘诀班第 4 讲教师版 page 29 of 37 有1802daeaed 18022edcc