小学数学结构教学

1、小学数学结构教学的思考与实践转化 顾 问：陈春圣 沈重予主 编：王冬娟副主编：马美南 孙 敏 周志华编 委：郑学琴 孙保华 张晓锋 高可飞 陈 洁 刘竹君 王小霞 吕玉艳 蒋 沂 刘伟芬郭新华 陈美华 陈 彦 姚灵娣 吴红琴数学，蕴含着更高层次的诗意之美。理性，是人生不可或缺的精神享受。教育者，用理性的诗意仰望星空的璀璨！ 序 数学教育：演绎理性的诗意我和数学学习：那段刻骨铭心的记忆我出生在常州，1970年三八妇女节那天，11岁的我随父母下放到高淳，头顶着反革命子女的帽子、依仗着出色的学业成绩在同伴中一路领先，赢得老师的偏爱并作为“每班一个”的推荐对象走进了桠溪中学校办厂，成为农村稀罕的“领工

2、资”族。可就在高中毕业那年，高考制度恢复了。为了能在最短的时间里补上两年的高中课程，我规定自己把数学作为主攻科目每天至少完成十道几何题。在备考的日子里，我白天在高温车间生产玻璃制品，下班后步行十里地回家复习。为了逃避那成群结队的蚊子，我把双腿伸进水桶、身子坐在蚊帐里复习。那段日子，每天往返二十里地成为我最活跃的数学思考之旅。每每脑中闪出一条辅助线，我便以大地为纸、以树枝为笔就地作图在那充斥着泥土气息的世界里，思路被打开、智慧在徜徉不觉中，思考的快乐替代了备考的煎熬，理性的诗意滋养了内心的坚强。终于，我如愿以偿、名列榜首，被录取在志愿之外的丹阳师范数理班（后来才知道那时中学教师紧缺，高分的考生不

3、论志愿基本都被录取在师范类院校）。从此，那段经历成为我内心深处最柔软、最富诗意的回忆进入师范不久，新的问题出现了。考前两个月的恶补与应届毕业生两年的学习积淀形成了明显的落差。为了扫除这只“拦路虎”，我购买了整套高中数学课本，每晚借着手电筒微弱的光亮开始了被窝里的查漏补缺在那静悄悄的世界里，我再次品尝着数学理性的诗意并开始对数学产生了新的向往和期待2年后，我满载着憧憬走上了三尺讲台，渐渐熟识的课堂再次激起我学习的愿望。于是，我以全县第二名的成绩考入江苏省数学大专函授班。而恰在这年，我被调回常州。因为是师范生只能进小学任教，于是我被安排在常州市实验小学任教。尽管如此，我依然没有放弃大专数学函授的机

4、会。当我第一次走进函授班时，班主任打量着我说：“你就是那个被高淳培训学校老师称作数学高材生的王冬娟？”1985年12月，我以出色成绩毕业并被评为“优秀学员”。此时的我，对数学一往情深并期待有可能参加数学本科进修，可当时本科自学考试不向小学教师开放。直到1995年，自考本科的大门首次向小学教师打开，我欣喜若狂，迫不及待地准备报名参加数学本科自学考试。一天中午，常州教育学院的院长（也是我班的一位家长）特地赶到学校找我，告诉我自学考试和函授不一样，前者易进难出、后者难进易出。即便在中学数学教师的队伍中，数学自考的通过率也极低，很多老师最后选择了放弃，或弃“理”投“文”，或弃“理”投“管”（管理），更

5、不用说小学教师了。校长暗示我可以想办法帮我报考“管理”（“管理”专业只有中层以上的教师才能报考，后来才知道当时学校已准备提拔我担任教导主任）。也许是一种固执吧，但更多的是对数学的情有独钟，在众多不解的目光中我毅然报考了江苏教育学院数学本科自学考试，并以优异的成绩通过入学考试。从此，我把自己安顿在数学的世界里，繁忙工作之余、夜深人静之时、周末假日之际我把所有的业余时间心甘情愿地交给了那充满思维磨砺和智慧挑战的解题之旅令我欣喜的是，在通过率极低的情况下，作为独一无二的小学教师，我每次考试成绩都名列前茅。三年后，我成为常州市小学教师中自学数学本科毕业第一人。如今想来，正是那样一段魔鬼式的自学经历，修

6、炼了我知难而上、滴水穿石的生活态度和品质。也正是那样一种“躲进小楼成一统、管他冬夏与春秋”的数学生活，孕育了我对数学理性诗意的个性体悟。我和数学教学：那段上下求索的日子1980年，刚刚毕业的我独自来到高淳凤山中学任教初中数学。农村父母望子成龙的渴求与质朴在我心里烙下了深深的痕迹，我在心里告诉自己：我就是在这样的环境下走出去的，我也要让更多的孩子走进大学的校门。在为中考而战的校园里，我和那些质朴而刻苦的学生整天泡在代数运算和几何证明中，在数学高度抽象性和严密逻辑性的滋养中品尝着数学的理性之美、简洁之美和对称之美。默默耕耘带来的首战告捷（5位学生考上师范学校）在当地传为佳音。初涉讲台的青涩烙上了理

7、性的诗意1982年，我调入常州市实验小学。记得第一次单元测试，原本成绩一直在年级垫底的我班居然考得特别好，同年级的老师觉得很诧异，翻开考卷才发现原来每份数与份数颠倒的我都没有批错（当时每份数与份数不能颠倒，而我全然不知）。经历“降级”失意的我主动向校长提出听课的要求，老师们的教学给我极大的震撼：原来小学数学应该这样教，课堂可以这般灵动！从那以后，我对自己的数学课堂定下基调，要让学生尽情享受数学理性的诗意，并全身心投入到数学教学研究中。1983年十月，我第一次在全市范围内执教三角形的内角和公开课，那是一个很大的会场，听课老师济济一堂，甚至有人趴在窗户上听课。记得当时的教具是用几块泡沫纸做的，为了

8、展示在黑板上，我在反面固定了吸铁石，让学生清楚地看到三角形三内角“拼”成一个平角的过程，这在当时已经是一个很不错的教具了，加上教学过程目标清晰、组织有效，效果十分显著，赢得了广泛的赞誉，奠定了我职业生涯的高起点。打那以后，我成为学校对外公开教学展示频率最高的老师。常常在下班时接到通知，第二天为来校参观的领导老师开课在持续几年的打磨中，我的教学开始走向成熟、走向精致、走向生动！我先后获得常州市数学教师评优课一、二等奖，并代表常州市参加江苏省优秀数学课选拔赛。与此同时，我渐渐养成了自觉反思并写作的习惯，1993年，我有幸走上“教海探航”一等奖的领奖台，那份教海中的新生让我尽情享受着职业的幸福200

9、0年10月，我有幸参加了国家级骨干教师培训。长达三个月的集中培训，是对储存了20年之久的大脑一次革命性的“换血”那时的我，虽然已经从开课骨干转入学校领导，但对数学教育依然痴心不改。回到学校，做的第一件事就是购买电脑记录自己研究的轨迹。2002年5月，我在上班途中不幸摔成粉碎性骨折，在伤筋动骨100天的恢复中，为了不影响毕业班教学，我在轮椅上备好了一学期数学课的ppt，以确保自己能坐着上课。独特的创意、精彩的设计信息技术与课程整合的设想在轮椅上创生。每当自己的得意之作在课堂上得到成功时，我便在第一时间与老师们分享，被老师们移植。与此同时，我自备“随堂观测本”，课上见缝插针拷贝师生对话，课后对比反

10、思剖析学生特点，晚上及时记录自己的所思所感当课改的浪潮来临时，我率先尝试用活老教材、落实新理念，倡导将“差异”当作“亟待开发的教学资源”和精心预设，动态生成充满创造的实践，激活了做几何：架起内动与外动桥梁”的灵感，孕育了探究发现，美在直线的激情，成就了我“生动而扎实、灵活而有序、开放而严谨”的教学风格。在那上下求索的日子里，我和孩子们共同创造和品尝理性的诗意，由衷地感叹老师，请仰视你的学生！我和数学团队：那段激情燃烧的岁月1996年，我出任实验小学副校长。已有十年教研组长经历的我，在轰轰烈烈的课程改革中找到了一份理智和淡定，“让课题研究解决课程改革中的问题、让课程改革促进课题研究的深入”成为学

11、校教科研工作的主旋律。在那段激情燃烧的岁月里，我和数学组的老师们一起，为了一份设计反复试验，为了一个课件整夜不眠，为了一段录像穿梭街头，为了一个诗意的结尾配音乐、写旁白曾经创下常州市数学教师素质大赛“五连冠”的佳绩。教研组就像一个强大的磁场，吸引着每一位教师。谁外出参赛，都会收到来自各方的关爱：“祝你成功”“别紧张，重在参与”“我们等着你的好消息”，而选手则认为：“自己失败不要紧，关键要对得起学校。”参赛成功，整个教研组都会把它当作一件喜事奔走相告，你无法确认谁是获奖者；而一旦失败，谁都觉得自己有一份责任。记得有一次，一位青年教师参加全市评优课，明天就要出赛，可今天试教却很不理想。于是，教研组

12、老师自觉挑灯夜战，个个出谋划策，有的出点子，有的上网查资料，有的做学具第二天，这位教师表现出色，再次荣获一等奖！一位专家由衷感叹：这就是实小数学组实力的象征！2005年9月，我调任常州市第二实验小学校长，并有幸成为常州市首届名教师工作室领衔人，这使暂时离开数学讲台的我又拥有了一个新的研究团队由10位小学数学骨干教师组成的工作室。首届工作室直面课改难题迎难而上，以课题“小学数学教材研读与教学策略研究”为主攻方向，通过“选定课题、独立研读（个体行动）网上对话、互动完善（群体研讨）现场研讨、重建生成（智慧提升）创新移植、辐射引领（转化超越）”的研究轨迹，实现了从“点”的突破（典型案例突破）、“线”的

13、延伸（知识系列研究）和“面”的拓展（实践与综合应用）。在工作室接受教育局总结评估的日子里，聚焦实践走向理性（东北师范大学出版社）、实践孕育智慧（江苏教育出版社）承载着工作室成员火热的思考和充满创造的实践相继与一线数学教师见面。与此同时，我作为叶澜教授领衔的“新基础教育”基地学校的第一责任人，在与二实小数学教研组一起跟随华师大吴亚萍教授进行数学研究性变革实践的过程中，一方面真切感受“结构”在转变师生思维方式、促进学生主动建构中的价值，另一方面在践行 “教结构用结构”教学策略的过程中自觉反思工作室“线”研究的缺失，由此产生了以“结构”的思想进一步完善“线”研究的冲动于是，2009年2月21日，首届

14、工作室在获得“网上最受欢迎的名教师工作室”和“优秀名教师工作室”的殊荣后，我和首届工作室成员商定，要将“学科育人：基于学科性的数学结构教学研究”作为第二届工作室的研究课题，让更多的数学教师了解、理解并自觉践行结构教学，进而发挥工作室在面上的辐射和引领作用。因此，小学数学结构教学的思考与实践转化作为第二届工作室三年的研究成果之一，承载着两届工作室成员共同的愿景与希翼。事实上，工作室成员中有七位老师来自“新基础教育”联系学校，在日常的教学中经常得到吴亚萍教授的直接指导，这为工作室的课题研究起到了积极的推动作用。在此，我们要衷心感谢吴亚萍教授给予我们的专业指导。在与工作室成员激情燃烧的岁月里，我们请

15、来省、市数学教研专家王林、盛宝良老师，特级教师、课程专家沈重予、陈春生、汪履平老师等现场指导，为我们的研究导航引路，我们请音乐、科学、体育等学科带头人走进工作室共同研讨数学实践活动工作室的研究足迹走遍省市近30所学校，成员们深邃、柔韧、豪放、灵动、逸趣的个性特点水乳交融，成就了工作室独特的“水”文化。江苏教育电视台、常州电视台以及小学数学教学常州教育等多家媒体先后报道了工作室的研究成果。如今，工作室的“水”文化已经在第二届工作室得以传承。工作室以“真水无香”表达着对教育本质的理解，用“积水为海”书写着对职业素养的追求，用“上善若水”演绎着对数学理性诗意的美好享受，更用“水天一色”诠释着追寻教育

16、理想的共同守望数学教育，因凝聚这群痴迷的守望者而富有诗意；数学教育，因拥有这群执着的坚守者而充满希翼！目 录第一章 结构教学的内涵诠释第1节 结构教学的内涵特质 1第2节 结构教学的现场解剖 3第3节 结构教学的研究价值 8第二章 结构教学的策略研究第1节 结构教学与教材研读方法变革 10第2节 结构教学与学生年段特点分析 17第3节 结构教学与数学教学策略优化 20第三章 结构教学的实践转化1.“认数”教学 262.“认识分数”教学 433“认识小数”教学594.“倍数和因数”教学785.“20以内进位加法”教学986.“异分母分数加、减法”教学 1137.“运算律”教学 1278.“克、千

17、克和吨”教学 1469.“用字母表示数”教学16210.“解决问题的策略”教学17811.“认识角”教学19312.“长度、面积、体积概念及度量”教学20513.“长度单位”教学22614.“面积和体积的复习”教学24315.“平移和旋转”教学26416.“确定位置（一）”教学 28217.“确定位置（二）”教学 30218.“条形统计图”教学322后 记342第一章 结构教学的内涵诠释第1节 结构教学的内涵特质结构主义教育是现代西方教育思想流派之一。代表人物为瑞士心理学家皮亚杰和美国心理学家布鲁纳。结构主义认为，儿童认知和知识具有内在结构，据此提出：教育和教学的任务在于依据儿童的发展规律，促

18、进其智能发展；注重向学生教授各门学科的基本结构，即构成学科的基本概念和原理，并使学生掌握学科特有的研究方法；重视儿童早期学习，使之尽早学习和掌握学科的基本结构；教学中倡导发现学习法，而教师则为结构教学中的主要辅导者。“结构”是系统内各组成要素之间相互联系、相互作用的方式，是系统具有整体性、层次性和功能性的基础和前提。在教学活动中有三种结构：一是知识结构，即知识本身的逻辑体系。一门学科的概念、原理和规律是有内在联系的，这种内在的本质联系构成了这门学科的知识结构。布鲁纳强调对学科基本结构的掌握，“无论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构”。二是认识结构，即学生在认识活动中的心理过程（感

19、觉、知觉、想象、记忆、注意、思维等）。三是认知结构，它是学生头脑里的知识结构。钟启泉说：“良好的认知结构构成一种简约化的知识力量，再产生新的论断力量，使知识体系形成愈益严密的体系力量知识系统。”承载着常州市名教师工作室六年的实践探索，我们经历了纵向深化、横向拓展和纵横融通的研究历程，形成了工作室对“结构教学”过程的室本诠释。所谓“结构教学”，就是要构建合理的“知识结构”以促进学生形成良好的“认知结构”。认知心理学家奥苏伯尔指出，学生的认知结构是从知识结构转化而来的，是学习者将学科知识结构在头脑中内化和重组的产物。数学认知结构是学生在数学学习过程中，数学知识结构与认识结构相互作用，按照自己的感知

20、、记忆、表象、思维等认知操作进而在头脑中获得的具有个性化理解的数学知识结构，其内容包括数学知识和这些数学知识在头脑里的组织方式与特征。“结构教学”要求教师从数学知识体系高度“结构化”的特点和学生认知结构的形成、发展规律出发，对教材的表层结构和深层结构进行提炼和组织，进而形成一定的层次结构，这些结构在后续的学习中作为工具再一次被提炼和组织，形成新的结构，成为新的学习工具以此不断上升，在学生大脑中形成更加完善的认知结构，进而更好地实现数学学科独特的育人价值。为此，教师需要确立学生立场，更好地研究和把握中观层面的三种结构。一是知识的展开结构。在教材中，不同单元内部或单元之间存在着类同的知识展开过程，

21、我们称之为知识的展开结构。例如，“数与代数”领域“整数、小数、分数”的教学，在整数中按照“整数的意义”“四则运算”以及“四则运算的规律”展开，这样的展开逻辑在小数、分数教学中也同样遵循，这就是它们类同的知识展开结构。如果在整数教学中帮助学生初步建立这样的结构，在小数教学中又不断进行类同关系的比较，帮助学生进一步清晰知识的展开结构，那么到分数教学中学生就能根据这一结构主动思考和学习，学生因此而获得一个整体认知结构。同样，如果我们进入更具体的“数概念”教学，你也会发现虽然它们被安排在不同年级的不同单元，但从一年级学习“10以内数的认识”“20以内的数的认识”和“百以内数的认识”，到二年级学习“千以

22、内数的认识”、三年级学习“万以内数的认识”不同年级数概念教学都有着相同的展开逻辑：即数的意义数的组成数位读写数的大小比较。教学中，我们可以在数概念学习的起始课上让学生从整体上感悟数概念学习的五个方面，在今后数概念的学习中逐步引导学生自觉地按这五个方面展开学习。随着数范围的多次拓展，这些“知识结构”将会逐步转变为学生个体的“认知结构”。二是教学的过程结构。同一类知识的教学有着类似的推进过程，我们称之为教学的过程结构。例如，小学数学教学中的各种“规律探究”，其教学一般都按“发现猜想验证猜想归纳概括反思拓展”的过程推进；“数概念”教学一般按照“材料感知分类提炼生成新数感知新数”这一过程推进；“数运算

23、”教学则一般按照“提出问题理解算理归纳法则算法选择”这一过程展开，等等，就是这些知识教学的过程结构。认识到这种过程性结构的存在，老师就可以从起始的内容开始，努力引导学生了解和把握过程结构，使得在后续的学习中，学生能主动迁移结构开展学习研究活动。三是学习的方法结构。学生在获取数学知识的过程中经常采用相同的学习方法，我们称之为学习的方法结构。如学习整数加减乘除四则运算时，通常都采用“数的对位运算顺序结果定位”的思维策略；学习三角形、平行四边形、梯形的面积计算时，通常采用“想特征找联系试转化”的方法结构。只有当学生明晰了具体的方法结构，自主学习才会有“拐杖”，才能富有成效地参与到类同的学习过程中。总

24、之，只有当教师首先意识到多种结构的存在并形成结构化的认识，才有可能形成结构化的思维品质和教学策略，也才能帮助学生建构结构化的知识大厦和认知方式。第2节 结构教学的现场剖析“结构教学”如何实施，能产生怎样的效应呢？我们不妨以“多边形的面积计算”的教学为例进行现场剖析。“平行四边形的面积”“教结构” 开放的导入：怎样求平行四边形的面积？ 第一次“放”：教师提问：可以转化成什么图形？怎样转化呢？学生活动并感悟：可以把平行四边形沿高剪开拼成长方形进行研究。教师追问：为什么要沿高剪开呢？不沿高剪，行吗？学生交流体悟：平行四边形与长方形的区别在于，长方形的四个角都是直角，要想拼成一个长方形，必须产生直角，

25、沿高剪就能产生直角。小结：怎样才能实现转化，我们要思考转化前后图形的特征，找到它们之间的联系，来思考怎样转化。（板书：想特征、找联系、试转化）教师提问：转化前后的图形之间有什么联系呢？能从中找到计算平行四边形面积的方法吗？学生寻找联系在交流中推导出计算公式。归纳提问：刚才我们是怎样找到方法的？小结感悟：用旧知识解决新问题，在数学上是一种重要的思想方法转化。 转化经历的研究步骤：想转化找关系推公式 第二次“放”：教师提问：是不是只能沿这一条高剪？沿其他的高剪行吗？如果转化成功，也找一找关系，写出推导的过程。教师在学生活动过程中推进：是不是只有这两条边上有高？（交流转化的过程与体验）学生活动并感悟

26、：在平行四边形的一组对边之间有无数条高，沿其中的任何一条剪开都可以拼成一个长方形；在平行四边形中，有两组不同的对边，不同的对边对应不同的高，也可以沿着另外一组对边的任意一条高剪开，同样可以拼成一个长方形。 第三次“放”：教师提问：要拼成长方形一定要沿高剪吗？学生讨论并感悟：拼成长方形的前提是产生直角，并不是沿高剪才能产生直角，从一条边作相邻边的垂线，同样可以产生直角。学生在活动的过程中，教师打开思路：有的同学从一条边画了相邻边的垂线，产生了直角，怎样才能转化成长方形呢？旋转以后不能拼成长方形，怎样解决这个问题呢？学生活动中呈现出两种情况：情况一：通过两次平移拼成长方形。情况二：从中点作相邻边的

27、垂直线段，旋转拼成长方形。 小结感悟：图形中特殊的点“中点”，也能帮助我们实现转化。 拓展延伸：今天我们转化前后两个图形之间的面积是相等的，如果不相等，是加倍或减半的情况，可以转化成功吗？ “三角形的面积”“用结构” 开放的导入：回顾过程结构与方法结构：我们是怎样发现平行四边形的面积的计算方法的？提出问题：三角形的面积怎样计算？能不能也用“想转化找关系推公式”步骤研究三角形的面积计算问题呢？三角形可以转化成什么图形？怎样转化呢？ 一放 ：学生运用“想转化找关系推公式”的步骤进行自主研究学生活动过程中教师不断打开：有的同学想把它转化成长方形，怎样才能转化成长方形呢？平行四边形是怎样转化成长方形的

28、？三角形除了能转化成长方形，转化成我们刚学过的平行四边形行吗？转化成功以后，你能像平行四边形的面积一样，找到联系，推出计算公式吗？学生在老师的启发下想到了很多方法：方法一：用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形（图1）。方法二：找到斜边中点的平行线（中位线），旋转成一个平行四边形（图2）。方法三：找两条斜边的中点，从中点作底边的垂直线段，分别旋转拼成长方形（图3）。方法四：从三角形的高出发，同时找到中位线，分别旋转拼成长方形（图4）。方法五：将三角形折成一个长方形（图5）。 图1 图2 图3 图4 图5 从案例中我们发现，结构教学是一个系统的教学行为，它摆脱和超越了以往具体的每一节课的限制，

29、在把握某一知识整体结构特有育人价值的基础上，改变了原来“匀速运动”的教学方式，把每一单元的教学分为两段“教学结构”（后文简称“教结构”）阶段和“运用结构”（后文简称“用结构”）阶段。在整个“多边形的面积”单元教学中，“平行四边形的面积”为“教结构”阶段，“三角形的面积”和“梯形的面积”为“用结构”阶段。“教结构”阶段“慢速运动”，主要是让学生形成知识结构、学习方法结构及发现形成结构的方法，拥有主动学习的工具和能力；“用结构”阶段不断地“加速运动”，主要是让学生运用结构进行主动的学习，提升灵活使用结构的能力。那么，在“多边形的面积”单元的教学中，教什么结构？用什么结构？给我们的学生带来了什么呢？

30、让我们首先来关注“三角形的面积”教学中学生的学习状态。在以往的课堂上，绝大多数的学生拿着一个三角形不知道怎样转化，学生没有思考的方向和路径，当教师提供了两个完全相同的三角形以后，学生才能在尝试的过程中将两个完全相同的三角形拼成平行四边形来推导公式。然而从上面的片断中，我们已经能够感受到学生思维的灵动与火花，课堂上学生多样化的转化方法、追根究底的思维品质在三角形面积的学习、乃至梯形面积的学习中得到了淋漓尽致的发挥。后续课堂焕发出的生命活力不是偶然，它源于教学设计的精心，源于第一课时“平行四边形面积”“教结构”的细腻。首先，“想转化找关系推公式”为学生有序开展探究活动提供了研究步骤的结构支撑。以往

31、的教学过程中同样也会让学生经历这样的探索过程：动手操作将平行四边形转化成长方形引导学生寻找平行四边形与长方形之间的联系推导出平行四边形的面积计算公式进行系列的变式练习（使学生明确底与高之间的对应关系，并在生活实际中运用，使学生能熟练地运用公式解决问题）。上述案例“第一放”的教学与以往的不同在于，以往的教学教师关注的重点是结论的得出，现在的课堂教师让学生用心体悟经历每一个过程，并有意识地通过小结归纳提炼出研究的基本步骤“想转化找关系推公式”，而在“用结构”的课堂中，注重回顾研究步骤，有意识地引领学生依据提炼的步骤主动进行探索。其次，“想特征找联系试转化”为学生实现转化提供了思考方向的结构支撑。在

32、“平行四边形面积”的教学中，怎样把平行四边形转化为长方形，整个过程教师处理细腻。当学生把平行四边形转化成长方形以后，教师并没有急于“找关系、推公式”，而是进行了追问：为什么要沿高剪开呢？不沿高剪行吗？这是一个“画龙点睛”的核心问题。初次的转化成功对于部分学生来说可能是一种巧合或偶然，学生开始的动手操作可能比较茫然，没有目的性，但是教师没有满足于剪拼方法的出现，而是引导学生思考为什么可以这样剪拼的道理，学生的思维真正“动”起来了。“直角”的存在是长方形区别于平行四边形的基本特征，要转化成功必须产生“直角”，由此学生深刻地明确了转化成功的方向，同时体验了平面图形之间的内在联系，以及转化中理性的思考

33、与科学的研究态度。正因为有着这样的深究与及时的提炼，学生明白了一个道理，转化可以从图形的特征入手思考。在研究三角形面积的过程中，学生主动迁移、探索的过程不再盲目，学生明确了思考的方向：“把三角形转化成长方形，就要想办法产生直角”“把三角形转化成平行四边形,可以从平行的对边入手”。正因为有了这样的思维突破口才打开了学生的思路，“把未知转化为已知”不再只是一句口号。最后，“图形中的特殊点（中点）、特殊线（高）能够帮助我们实现转化”为学生提供了思维路径的结构支撑。“平行四边形的面积”教学推进到“第二放学生能够成功地从不同的高实现转化”时，学生的思维已经相当深入，似乎可以留出时间进行拓展练习，有的老师

34、也许会认为，用那么多的时间进行“第三放引导学生从边的中点出发思考转化”的教学有些多余。可是第二节课中学生的状态很好地回应了这个问题，“平行四边形的面积”中习得的这一具体的解决问题的方法和路径，为学生进行类比迁移，产生多样化的转化方法提供了最有力的方法结构的支撑。平行四边形面积的“教结构”，不仅可以让学生掌握平行四边形面积的计算方法，为学生后续的主动学习提供多样化的结构支撑，更能使学生进一步把握平面图形的特征以及平面图形之间的内在联系，发展了学生类比思考的能力。从上述案例中，我们不仅能够感受结构教学的实施过程，同时也能实现对结构类型的多样化理解。结构教学的积极探索，不仅有利于教师形成整体综合的思

35、维方式，更有利于学生对知识形成结构化的认识。学生的学习因有了结构的支撑而显得更加主动、更加有效。事实上，在具体的教学实践中，不仅三种结构经常同时有机交融，还会出现“大”结构中的“小”结构。例如，上述案例中既有平面图形面积计算公式推导的过程结构“想转化找关系推公式”，又有学生学习方法结构“想特征找联系试转化”的体现。而对于“教结构用结构”而言，既可以在不同单元、不同课时之间安排“教”与“用”，还可以在一节课中不同环节之间安排“教”与“用”。本书稿第三章18个案例中都有充分的体现。 第3节 结构教学的研究价值工作室前期的调查发现，虽然课改中的一线教师正在努力改变着学生的学习方式，积极倡导让学生积极

36、主动地构建，但因教师长期将思维局限在“知识点”的教学中，缺乏对学科独特教育价值的清晰认识与对学生“具体个人”发展可能的准确定位，我们看到的依然是“点状教学”的现实状态。数学教学到底应给予学生怎样独特的发展意义，需要我们正确认识“结构教学”的价值所在。清晰数学教学的价值追求。结构教学的实践探索，打开了我们的视角，让我们重建课堂教学价值观，引领我们实现了“从单一地传递教科书上呈现的现成知识”，向“培养能在当代社会中实现主动、健康发展的一代新人”价值追求的转变。数学学科独特的育人价值与单元内容、课时内容的育人价值成为教师日常工作的自觉思考，数学教学对于学生的发展价值日益提升：“除了提供数学知识本身以

37、外，还使学生通过数学知识的发现，了解知识与生活、知识与知识间来龙去脉的关系，了解发现的视角和形成猜想的意识；通过数学问题的解决，了解形成知识的过程，产生丰富的体验和有意义的认识；通过数学独特的符号语言表达的实践，学会抽象地思考和形成准确、严谨的表达能力；通过数学内在的结构关系和规律的揭示，产生主动探究的欲望和形成学习数学的内驱力；通过发现事物数量、数形关系及转换的不同路径和思维策略的选择，感悟渗透其中的数学方法与思想，建立判断与选择的自觉意识，形成基本的数学素养。概括地说，数学教学对于学生发展的独特价值，不仅仅是数学知识本身的掌握，更为重要的是，既要帮助学生提升思维品质和数学素养，又要帮助学生

38、学会抽象的符号表达和提高数学语言表达的水平；既要帮助学生建立猜想发现和判断选择的自觉意识，更要帮助学生形成主动学习和研究的心态，建构起一种唯有在数学学科学习中才有可能经历、体验和形成的思维方式，从而实现数学教学与学生生命成长的双向转化和双向建构。”有了认识，才有可能获得。数学知识结构的内涵是丰富的，它不仅包括以书本为载体呈现的知识内容，更包括数学的精神、思想和方法，而这些恰恰是数学知识的“灵魂”所在。它承载于数学知识的结构中，活跃于教师的思维中，生长在数学教学的过程中。促进关系思维的不断形成。教师、学生和教材是构成课堂教学的三个主要因素。教材作为知识的载体，表达学科的知识结构、学习者的认知水平

39、和特点以及时代对教育的要求。教学以“课时”为单位，将学科领域内的知识整体分割成段，遵循由易到难的原则将知识以“点”为单位编排到各册、各单元，并以“例题与习题”的形式加以呈现，因而教师从教材中直观看到的仅仅是显性的知识“点”，长期围绕和关注“点”来思考问题，带来的将是教师点状的思维方式。结构教学要求教师从学科知识的整体结构出发，透过表面“知识点”寻找知识间内在的、纵横交错的本质联系和展开逻辑，发现内容编排的思维内核以及内蕴的育人价值，对教材的文本资源进行整体开发和结构加工，形成结构化的长程设计，进而将散点的知识结构化地呈现在学生面前，引导学生将所学的知识按照知识结构的形式建构认知结构。在“梳理知

40、识寻找联系挖掘价值结构加工”的思维历练中，师生逐步走出点状割裂的线性思维，不断提升整体的、综合的、关系式的立体思维品质。促进数学素养的综合提升。第一，结构化地呈现知识内容的框架性结构，促进学生从整体上把握数学知识、方法和观念，改变肢解数学知识和方法的现象，增强学生学习数学的整体意识和结构意识，提高学习效益。第二，结构教学可以教会学生学习的结构和掌握、运用结构的方法。学生获得了开展主动、独立学习的有效路径，便能投入积极主动的学习过程，成为知识、能力和方法的主动建构者和创造者。第三，结构教学能克服只注意知识增长、把解题步骤和程序作为学习重点的倾向，在结构学习的过程中，学生获得思维方式与行为方式的智

41、力支撑。这种支撑不仅让学生具备了解决新领域新问题的能力，更有价值的是，它使学生把业已掌握的知识自觉地提炼成简洁的原理性结构，使学生拥有了向未知新领域、新事物洞察和迁移的能力，这将大大激活学生对数学知识的自我再生潜能。116第二章 结构教学的实践轨迹怎样将结构教学的理想蓝图付诸实践，并通过日常的践行提升数学学科独特的育人价值呢？实践证明，基于结构的教学实践，不仅需要理论的有力支撑，更需要实践的有机转化。为此，我们将教材研读方法、学生年段特点和教学策略优化作为实践变革的展开逻辑。第1节 结构教学与教材研读方法变革教材是学科育人的重要资源，也是教师教学的主要依据。当我们理解了不同领域、不同内容教材独

42、特的育人价值后，就需要对知识的展开结构、教学的过程结构以及与此相匹配的学习的方法结构进行深入的解读和内化。只有真正读懂了教材的知识编排线索、活动线索和思维线索，才能在教学目标实现与学生真实状态之间进行创造性设计与转换，进而使教学呈现出整体结构化推进的状态，课堂的组织才能有条理、有层次、有生长感。一、为何读结构信息时代资源的丰富与庞大，既为教师提供了多元的学习渠道，也给我们带来了新的能力恐慌。面对信手拈来的教学设计，有些教师忽视了教材的前后联系，忽视了对其逻辑结构展开的深入研读，独立设计的意识和能力逐渐弱化。现实中我们不难发现这样的两种倾向：倾向一：视教材为“至高无上”的权威，不敢“越雷池”半步

43、。这样的教材观所反映的教育理念就是“数学知识和方法相对每一个学生来说都是同样的，数学教学的最终目的就是向学生传授这些客观的数学知识和方法”。这样的教材研读必然带来两个问题，一是教学直接指向“结果”，而弱化对过程的体验、方法的习得和能力的培养；二是机械割裂教材的设计意图，使学生的认知结构和思维发展呈现出点状无序的状态，从而失去数学学习最根本的价值。倾向二：无视教材的知识结构和展开逻辑，随意“加工”教材。这样的教材观缺乏对知识、对教材理性的尊重，往往设计中加入许多“非数学”的因素，以为热闹、新奇就是创造，推翻教材就是创新。这样的教材使用当然不能捕捉到教材中蕴含的内在知识结构，更不能将知识递进、能力

44、攀升的螺旋结构在整体教学的视野中有机地转化为学生的数学素养。事实上，只有当教材研读的视角从“点”拓展到“线”“面”，也只有当教材研读的触角从“知识结构”延伸到教学的“过程结构”“方法结构”，才能站在数学“学科育人”的高度，审视不同领域、不同类型知识独特的育人价值，从本质上体悟教材的编写意图、目的、意义，进而从编者的意图、学生的特点以及自我的解读等方面形成对教材内容客观、立体的认识，并对教材内容进行相应的分类和结构化处理，使其更好地贴近并引领学生的发展需求。这，才是对教材真正的尊重。二、何处读结构1.读课标，把握递进目标。课程标准指出，数学教学的根本目标在于：获得适应未来社会生活和进一步发展所必

45、需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。教材是根据课程标准编写的，是对课程标准的具体化。小学数学教材采用螺旋式编排，针对学生的接受能力，一般把同一知识结构系列中的内容划分为几个阶段，每一阶段的内容螺旋上升，逐级提高。因此，教师研读教材首先要认真学习课程标准，深入领会课程标准的实质，再通读小学数学全套教材，掌握某一知识结构中的内容分布在哪些年级、各年级内容之间的内在联系，清晰总目标与递进目标，把知识的连续性与教学的阶段性统一起来。在此基础上再了解全册各部分之间的内在联系，了解这一册中基础知识和基本技能的具体要求，即教学目标。这样，从宏观上了解教材，可有效避免教学中的盲目处理和点状随意

46、。如数学课程标准中对数概念的教学，仅从两个学段进行了概要的描述：第一学段第二学段课程标准1.能认、读、写万以内的数，会用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。2.认识符号、=、的含义，能够用符号和词语来描述万以内数的大小。3.能说出各数位的名称，识别各数位上数字的意义。4.结合现实素材感受大数的意义，并能进行估计。5.能结合具体情境初步理解分数的意义，能认、读、写小数和简单的分数。6.能运用数表示日常生活中的一些事物，并进行交流。1.在具体情境中，认、读、写亿以内的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数。2.进一步认识小数和分数，认识百分数；探索小数、分数、百分数之间的关系，并会进行转化

47、。（不包括将循环小数化为分数）3.会比较小数、分数、百分数的大小。4.在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的问题。5.结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计。6.进一步体会数在日常生活中的作用，会运用数表示事物，并能进行交流。7.在1-100的自然数中，能找出10以内某个自然数的所有倍数，并指导2、3、5的倍数的特征，能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。8.在1-100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数，能找出两个自然数的公因数和最大公因数。9.知道整数、奇数、偶数、质数、合数。这样的表述还只能让教师明白这一领域学段目标的整体架构，但如何在不同年级的相

48、关教学内容中具体落实，还缺乏细化要求和针对性建议。于是我们对1-6年级的教材进行分年段、分内容的系统梳理，形成学习递进目标。以下是我们对“数概念”教学递进目标的整体梳理：教学单元认识内容递进目标一年级百以内数的认识认识个位、十位、百位，理解末尾0占位且不读，初步认识十进制进率感受数认识的框架结构；认识数字符号所表示的意义；知道个、十、百位的数位概念，掌握数位顺序表；认识数末尾0占位的必要性，掌握百以内数的读写；知道数认识的方法结构。二下三上万以内数的认识认识千位、万位，理解中间0占位知道从数认识的框架结构出发认识数；能利用数认识的方法结构主动认识万以内的数；认识数中间0占位的必要性，掌握万以内

49、数的构造结构，并运用这个结构生成新的数。四上多位数的认识认识个级、万级，整体构建整数的结构体系，理解近似数能利用数认识的框架结构尝试认识多位数；掌握多位数的构造结构；在估数的过程中发现和把握四舍五入的规律。三下五上小数的认识认识到小数的结构和整数结构的统一从数认识的框架结构出发认识小数，知道小数与整数和分数的内在关系；了解小数结构与整数结构的内在一致性；掌握小数的构造结构，并运用这个结构生成新的小数。三下五下分数的认识理解整体与部分的具体关系，感悟整体与部分的抽象关系发现和认识整体与部分的实体关系，认识几分之一的丰富内涵；从数认识的框架结构出发认识分数，能结合具体情境来理解整体与部分的抽象关系

50、；会用多种方法表示分数的基本单位，理解并掌握分数的基本性质。五上正负数的认识理解负数的意义从数认识的框架结构出发认识正负数，能结合现实生活理解负数的意义。五下倍数和因数理解倍数、因数的意义和相关规律理解倍数和因数之间的关系，从关系的角度进行研究；以归纳探究的方式研究两个数的倍数、因数的特征，并进行命名六下百分数的认识认识百分数，沟通百分数与分数、小数的关系理解百分数的意义，能在恰当的情境中运用百分数；理解百分数与分数、小数的关系，能正确转换显然，这样的梳理不只是将目标定位于当前的知识和能力，而是更多地指向知识内在的结构关联以及学生学科学习能力的发展，不仅有利于实现数学学科独特的育人价值，更有利

51、于教师个人学科素养以及学生整体结构思维能力的提升。2.读教材，把握展开逻辑。研读教材，不能够停留于走马观花。教师不仅要掌握小学数学教材的整体内容结构和编排体系，还要深入研读某个知识结构中各部分知识（大到一个知识领域如“数与代数”，小到一个知识系列如“数概念”、“确定位置”等）在整套教材中的前后联系、展开逻辑和递进要求，并特别关注“节点”（册与册的“衔接点”、单元与单元的“提升点”、例题与例题的“生长点”等）处教材的编排特点，以及内蕴的数学思想方法，进而形成一个个具有结构意义的学习单元。同时，教师还应适当了解该知识与本学科其他领域知识、以及其他学科之间的关联性，更好地发掘其育人价值，把教材读丰厚

52、。3.读单元，清晰课时分割。数学学科的整体教学目标需要一课时一课时地去达成，如何以整体的视野合理分割教学内容，从单元目标中分割出课时教学目标？我们需要了解整个单元的框架结构，找出内在规律。一是可以依据原有单元，凭借例题之间的递进关系和难易程度，分析单元内容所包含的知识点，进而分割课时，确定课时教学要求；二是可以依据知识结构的展开顺序或学习过程的体验顺序，设计由慢到快、由扶到放的学习过程，进行课时的合理分割，制定出每一节课具体的递进式的教学要求，也就是课时教学目标。4.读习题，搭建提升层次。习题是教材重要的组成部分，按照与例题的匹配程度，大致可以分为以下几个层次：基本题，起到巩固新知识的作用；变

53、式题，起到加深理解新知识的作用；综合题，起到灵活应用和提高的作用。研读每道习题设计的目的和要求，明确例题与习题的对应关系，再把它们分配到相应的课时里。一方面可以安排专门的练习课，设计层次清晰的练习和提升，另一方面可以将例题与习题有机融合，将相关练习融合到知识的探索、验证、拓展过程中，融练习于新授之中。三、怎样读结构1.着眼变革。我们对教材研读的视角和方式都要与时俱进，制定目标要与时代对人才的需求相吻合。在某种意义上来说，教材本身没有好坏之分，关键在于读者的理解和运用。一方面我们要站在历史的长河中理解和把握在历次课程改革中教材修订的理念、目标与设计意图；另一方面，我们还要跳出教材，站在学科育人的

54、高度，审视和发掘教材中不同领域、不同内容以及不同学习过程所赋予的育人价值，并将其理解转化为自己的教育实践。2.关注整体。一是关注学校课程整体，明晰学生作为一个学习个体“人”所拥有的上位知识结构，并由此更好地把握数学学科所承载的育人使命。二是关注教材自身的整体性。十二册教学内容是一个大的整体，它对四大领域进行整体策划，合理分配到不同年段和不同单元，由此确立了每一个知识目标的阶段性和连续性，这是学生认知结构中的横轴。三是关注知识体系的整体性。无论是数与代数还是空间与图形等不同的领域，纵向都形成了一个层层递进的阶梯，由易到难，由简单到复杂，这是学生认知结构中的纵轴。在每一个学习的节点上，又会形成一个

55、个完整的回路。如千以内的数、万以内的数、多位数的认识具有类同的过程结构，线、面、体的认识具有相似的方法结构，这都是一个个小的结构整体，构成了学生认知结构图中一个个浓墨重彩的原点，勾联着过去与未来。四是关注学生学习体验的整体性。人的生命是整体的，在不同学科、不同领域以及不同环境中的知识学习、方法习得和能力提高，都将整体地、相互渗透地作用于学生的生命成长，教师只有拥有了生命的整体意识，才能以学科教学为载体，更好地促进学生既全面又个性化地发展。 3.做好衔接。基于结构的教材研读，特别注重结构内外教材内容之间的衔接。一是同一领域年段之间的衔接。同一领域中知识的起点是什么，要为后续的哪些学习服务，这是教

56、材研读需要关注的基本点。二是同一年段不同领域的衔接。虽然数与形不在同一领域，但其中知识结构的构建方式、思维方式等都会有许多值得类比迁移的地方，需要在学习过程中互相渗透和有机融合，这是教师触类旁通的智慧。三是适当关注中小衔接，在九年义务教育中不论是教材内容，还是教学方法，前者是后续学习的基础，后者是前期学习的发展。因此，一个优秀的教师要善于关注中、小学教学内容以及教学方法之间的发展与衔接，并在小学教学中适当渗透，这是作为一个教育者而不仅仅是一个数学教师或几年级数学教师的境界和情怀。4.有效对比。一是新旧对比，把新教材和老教材进行比较，在比较中进一步理解新教材编写的指导思想和编写特点，也可将老教材中值得借鉴的内容和方法进行有机的传承。二是不同版本的对比，国家课程标准指导下的教材版本多