专题6.12 与三角尺有关的角（提高篇）-2020-2021学年七年级数学上册基础知识专项讲练

1、专题6.12 与三角尺有关的角（提高篇）（专项练习）一、单选题1如图，一个含有30角的直角三角形的30角的顶点和直角顶点放在一个矩形的对边上，若1117，则2的度数为（）A27B37C53D632如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在在桌面上，下列各组角一定能互补的是（ ） ABCD和ACFBACD和ACFCACB和DCBDBCF和ACF二、解答题3如图，将一幅直角三角板的直角顶点C叠放在一起若，则_；若，则_猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由如图，若是两个同样的直角三角板锐角的顶点A重合在一起，则与的数量关系为_4如图，将直角三角板的60角的顶点在点处，均在的内部（1）如图，若，求的度数；

2、（2）如图，若平分，试找出图中与相等的角，并说明理由（3）如图，在的内部，当平分时，请探究是否一定平分，并说明理由5如图1，点为直线上一点，过点作射线，使将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方（1）将图1中的三角形板绕点按照顺时针方向旋转至图2的位置，使得落在射线上，此时旋转的角度是_；（2）继续将图2中的三角板绕点按顺时针方向旋转至图3的位置，使得在的内部，则_；（3）在上述直角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点按每秒钟的速度旋转，当恰好为的平分线时，此时，三角板绕点运动时间为_秒，并说明理由6如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起，（1）若

3、，则_；若，则_；（2）猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；应用：当的余角的4倍等于时，则是_度（3） 拓展：如图（2），若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的大小又有何关系，直接写出结论不必证明7将一副三角板的两个直角顶点重合在一起放置. （1）如图1，若，则 ，若为的角平分线，则 .（2）如图2，与相等吗？和有何数量关系？（请选择一个图形说明理由）8如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角项点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方.如图2,将图1中的三角板绕点逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分.此时_ 度;如图3,继续将图2中的三角板绕点按逆时针方

4、向旋转，使得在的内部.试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由;将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第秒时，三条射线恰好构成相等的角，则的值为_ (直接写出结果).9如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起（1）若DCE35，ACB ；若ACB140，则DCE ；（2）猜想ACB与DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度BCD设BCD（090）ACB能否是DCE的4倍？若能求出的值；若不能说明理由三角尺ACD转动中，BCD每秒转动3，当DCE

5、21时，转动了多少秒？10某数学活动小组在做角的拓展图形练习时，经历了如下过程： （1）操作发现：点为直线上一点，过点作射线，使将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，如图：将图1中的三角板绕点旋转，当直角三角板的边在的内部，且恰好平分时，如图2则下列结论正确的是 （填序号即可）.平分的平分线在直线上（2）数学思考：同学们在操作中发现，当三角板绕点旋转时，如果直角三角板的边在的内部且另一边在直线AB的下方，那么与的差不变，请你说明理由；如果直角三角板的、边都在的内部，那么与的和不变，请直接写出与的和，不要求说明理由（3）类比探索：三角板绕点继续旋转，当直角三角板的边

6、在的内部时，如图3，求与相差多少度？为什么？11 如图1,O为直线AB上一点,过点O在直线AB的上方作射线OC,AOC=30,将一个含30(M=30)的直角三角板的直角顶点放在点O处,边ON在射线OA上,另一边OM在直线AB的上方.(1)将图1中的三角板绕点O以每秒2的速度沿顺时针方向转动一周的过程中.如图2,经过t秒后,OM恰好平分BOC求t的值.(2)在(1)问的条件下,若三角板在转动的同时射线OC也绕O点以每秒5的速度沿顺动一周的过程中,如图3,那么经过多长时间直线OC平分MON？请直接写出结果.12综合与探究问题背景数学活动课上，老师将一副三角尺按图（1）所示位置摆放，分别作出AOC，

7、BOD的平分线OM、ON，然后提出如下问题：求出MON的度数特例探究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，OM和ON仍然是AOC和BOD的角平分线其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON、OD、OB在同一直线上按图3方式摆放时，AOC和BOD相等（1）请你帮助“兴趣小组”进行计算：图2中MON的度数为 图3中MON的度数为 发现感悟解决完图2，图3所示问题后，“兴趣小组”又对图1所示问题进行了讨论：小明：由于图1中AOC和BOD的和为90，所以我们容易得到MOC和NOD的和，这样就能求出MON的度数小华：设BOD为x，我们就能用含x的式子

8、分别表示出NOD和MOC度数，这样也能求出MON的度数（2）请你根据他们的谈话内容，求出图1中MON的度数类比拓展受到“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出AOC、BOD的平分线OM、ON，他们认为也能求出MON的度数（3） 你同意“智慧小组”的看法吗？若同意，求出MON的度数；若不同意，请说明理由13借助一副三角板，可以得到一些平面图形（1）如图1，AOC 度由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是多少度？（2）如图2，1的度数比2度数的3倍还多30，求2的度数；（3）利用图3，反向延长射线OA到M，OE平分BOM，OF平分COM，请按题意补全图（3），并

9、求出EOF的度数14将一副三角板如图摆放，现将绕点以的速度逆时针旋转，旋转时间为.（1）为多少时，恰好平分？请在图中自己画图，并说明理由；（2）当6t8时，平分ACE，平分，求，在图中中完成；（3）当8t12时，（2）中的结论是否发生变化？请在图中完成.15如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，A =30，C =45COD固定不动，AOB绕着O点逆时针旋转（0 180 ）（1）若AOB绕着O点旋转图2的位置，若BOD=60，则AOC = _；（2）若0 90，在旋转的过程中BOD+AOC的值会发生变化吗?若不变化，请求出这个定值；（3）若90 180，问题（2）中的结论还成立吗?并说明理由；

10、16已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON的直角顶点放在点O处，并在MON内部作射线OC（1）如图1，三角板的一边ON与射线OB重合，且AOC150若以点O为观察中心，射线OM表示正北方向，求射线OC表示的方向；（2）如图2，将三角板放置到如图位置，使OC恰好平分MOB，且BON2NOC，求AOM的度数；（3）若仍将三角板按照如图2的方式放置，仅满足OC平分MOB，试猜想AOM与NOC之间的数量关系，并说明理由17如图1，点O在直线AB上，AOC30，将一直角三角板的直角边OM与OA重合，ON在COB内部现将三角板绕O沿顺时针方向以每秒2的速度旋转，当ON与OB重合时停止转动设运动时间为

11、t(s)(1)若直角边ON将COB分成CON：BON3：2，求t的值；(2)如图2，OG为三角板MON内部的射线，在旋转的过程中，OG始终平分MOB，请问AOM与NOG是否存在一定的数量关系？若存在，求出改数量关系；若不存在，请说明理由18如图1，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在处，一直角边在射线上，另一直角边在直线的下方.（1）将图1中的三角形绕点逆时针旋转至图2，使边在的内部，且恰好平分，问：此时直线是否平分？计算出图中相关角的度数说明你的观点；（2）将图1中的三角板以每秒10的速度绕点逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，第秒时，直线恰好平分，则的值为_（直接写出

12、答案）；（3）将图1中三角板绕点旋转至图3，使在的内部时，求与的数量关系，并说明理由19（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？在，中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是_；（填序号）（2） 在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角（）的顶点与角（）的顶点互相重合，且边、都在直线上.固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，当边与射线第一次重合时停止.当平分时，求旋转角度；是否存在？若存在，求旋转角度；若不存在，请说明理由.20问题情境:以直线AB上一点O为端点作射线OM、ON，将一个直角三

13、角形的直角顶点放在O处(COD=90).(1)如图1，直角三角板COD的边OD放在射线OB上，OM平分AOC，ON和OB重合，则MON=_；(2)直角三角板COD绕点O旋转到如图2的位置，OM平分AOC，ON平分BOD，求MON的度数。(3)直角三角板COD绕点O旋转到如图3的位置，OM平分 AOC ，ON平分BOD，猜想MON的度数，并说明理由。21如图所示，将一副直角三角板的顶点叠合在一起，记为点O（C=30，A=45）（1）当AOC=45时，求DOB的度数；（2）请探究AOC和DOB之间满足的数量关系，并说明理由22分类讨论是一种非常重要的数学方法，如果一道题提供的已知条件中包含几种情况

14、，我们可以分情况讨论来求解.例如：若，求的值.情况若x=3，y=2时，=5情况若x=3，y=-2时，=1情况若x=-3，y=2时，=-1情况若x=-3，y=-2时，=-5所以，的值为1，-1，5，-5.几何的学习过程中也有类似的情况:如图，点O是直线AB上的一点，将一直角三角板如图摆放，过点O作射线OE平分当直角三角板绕点O继续顺时针旋转一周回到图1的位置时，在旋转过程中你发现与DOE（，）之间有怎样的数量关系？情况（1）如图1，当时，若，则DOE度数是 情况（2）如图2，当AOC是钝角时，使得直角边OC在直线AB的上方，若AOC=160，其他条件不变，则DOE的度数是 情况（3）若，在旋转过

15、程中你发现与DOE之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示DOE的度数；23已知：A、O、B三点在同一条直线上，过O点作射线OC，使AOC：BOC1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为 度；（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在AOC的内部试探究AOM与NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按5每秒的速度沿逆时针方向旋转一周的过程中，当直角三角板的直角边OM所在直线恰好

16、平分BOC时，时间t的值为 （直接写结果）24如图，已知点O在直线AB上，将一副直角三角板的直角顶点放在点O处，其中OCD=60，OEF=45边OC、OE在直线AB上（1）如图（1），若CD和EF相交于点G，则DGF的度数是_；（2）将图（1）中的三角板OCD绕点O顺时针旋转30至图（2）位置若将三角板OEF绕点O顺时针旋转180，在此过程中，当COE=EOD=DOF时，求AOE的度数；若将三角板OEF绕点O以每秒4的速度顺时针旋转180，与此同时，将三角板OCD绕点O以每秒1的速度顺时针旋转，当三角板OEF旋转到终点位置时，三角板OCD也停止旋转设旋转时间为t秒，当ODEF时，求t的值参考答

17、案1A【分析】利用矩形的性质，直角三角形的性质即可解决问题【详解】解：如图，四边形ABCD是矩形，ABCD，1BEF117，FEG90，21179027，故选A【点睛】本题考查矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识2A【解析】【分析】因为是直角三角板，所以ACB和DCF都等于90，所以利用角的和差把选项中的角能转化成ACB+DCF即为正确答案.【详解】BCD+ACF=BCD+ACD+DCF=ACB+DCF=90+90=180,选A【点睛】本题中出现一副三角板，我们需注意到三角板中的直角，又提出问题为互补，所以我们应将相应的角，利用角的和差等量变化成直角，

18、若能即为正确答案.3（1）57；42；（2）ACB+DCE=180，理由见解析；（3）【分析】根据角的和差定义计算即可；利用角的和差定义计算即可；利用特殊三角板的性质，角的和差定义即可解决问题.【详解】解：（1），.故答案为：57，42；（2）猜想得：或与互补.理由：，；（3）结论：理由如下：，.故答案为：.【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.4（1）BOE=45；（2）；理由见解析；（3）一定平分；理由见解析【分析】（1）利用AOB=BOE+EOD+AOD计算出BOD； （2）通过计算，找到与BOE相等的COD； （

19、3）通过利用已有的角平分线与角的和差证明，得到结论【详解】解：（1）因为，所以（2）理由：因为平分，所以因为，所以（3）一定平分理由：因为平分，所以因为，所以所以一定平分【点睛】本题考查了角的和差关系、角的计算，积角平分线的性质会读图，通过计算或发现图形中角与角之间的关系是解决本题的关键5（1）；（2）；（3）【分析】(1)根据旋转的性质可知,旋转角为MON;(2)如图3,利用平角的定义,结合已知条件:AOC:BOC=1：2,求得AOC=60,然后由直角的性质、图中角与角的数量关系推知AOM-NOC=30;(3)需要分类讨论:当OM平分BOC时,旋转角是60;当ON平分AOC时,旋转角为240

20、【详解】解:（1）根据旋转的性质可知: 旋转角为MON=90, 故答案为90（2）如图3,AOM-NOC=30,理由如下: AOC+BOC=180,AOC:BOC=1:2, AOC+2AOC=180, AOC=60，AON+CON=60, MON=90, AOM+AON=90, -,得AOM-CON=30（3）理由:如图,因点为直线上一点,所以,当恰好为的平分线时,如图所示:,因为旋转的角度,所以此时三角板绕点运动的时间为,所以当恰好的平分线时,三角板绕点的运动时间为16秒【点睛】本题主要考查了旋转的性质和角的计算,解决本题的关键是运用分类讨论思想,以防漏解6（1），；（2）猜想得（或与互补）

21、，理由见解析；30；（3）【分析】（1）本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出ACB，DCE的度数；（2）根据前两个小问题的结论猜想ACB与DCE的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明；根据中的关系式以及的余角的4倍等于列出关于DCE的方程，求出DCE的度数，最后得出BCD的度数即可；（3）根据（1）（2）解决思路确定DAB与CAE的大小并证明【详解】解：（1）ECB=90，DCE=35DCB=90-35=55ACD=90，ACB=ACD+DCB=145ACB=140， DCB=ACB-ACD=140-90=50DCE=ECB-DCB=90-50=40

22、，故答案为：145，40（2）猜想得ACB+DCE=180（或ACB与DCE互补）理由：ECB=90，ACD=90ACB=ACD+DCB=90+DCBDCE=ECB-DCB=90-DCBACB+DCE=180根据题意得，4（90-DCE）=ACB，又由得，ACB=180-DCE，4（90-DCE）=180-DCE，解得DCE=60BCD=90-DCE=30故答案为：30；（3）DAB+CAE=120理由如下：由于DAB=DAE+CAE+CAB，故DAB+CAE=DAE+CAE+CAB+CAE=DAC+BAE=120【点睛】此题考查了余角和补角、角的计算问题，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图

23、形得出各角之间的关系，难度一般7(1)140；135(2)相等；AOD+BOC=180.【分析】(1)因题目中给出的是一副直角三角板，AOB=COD=90，已知BOC=40，则分别求出AOC和BOD，即可求出AOD，已知为的角平分线，则COB=BOD=45，再求出AOC=45就能求出AOD的度数.(2)相等，AOC=AOB+BOC，BOD=DOC+BOC，因AOB=DOC，BOC是公共角，所以与相等.因AOD、BOC、AOB、DOC形成的是一个周角，AOB、DOC是两个直角，所以AOD+BOC=180.【详解】解：(1)若BOC=40由题知：AOB=COD=90，AOC=90-40=50BOD

24、=90-40=50AOD=AOC+COB+BOD=50+50+40=140.若为的角平分线由题知：COB=BOD=45AOC=90-45=45AOD=AOC+COB+BOD=45+45+45=135.(2)相等；AOD+BOC=180由图知：AOC=AOB+BOCBOD=BOC+CODBOC为公共角AOC=BODAOB=COD=90AOD+BOC+AOB+DOC=360AOD+BOC=180【点睛】本题主要考查的是三角形的综合应用，根据已知条件结合图形找出题目中隐藏的条件，是解本题的关键.8（1）25；（2）AOM-NOC=40，理由详见解析；（3）t的值为13，34，49或64.【分析】（1

25、）由平角的定义先求出BOC的度数，然后由角平分线的定义求出BOM的度数，再根据BON=MON-BOM可以求出结果；（2）根据题意得出AOM+AON=90，AON+NOC=50，利用-可以得出结果；（3）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的角度为5t，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论，即可求出t的值.【详解】解：（1）AOC=50，BOC=180-AOC=130，OM平分BOC，BOM=BOC=55，BON=90-BOM=25.故答案为：25；（2）AOM与NOC之间满足等量关系为：AOM-NOC=40，理由如下：MON=90，AOC=50，AOM+AON=90，

26、AON+NOC=50，-得，AOM-NOC=40. （3）三角板绕点O按每秒5的速度沿逆时针方向旋转，第t秒时，三角板转过的角度为5t，当三角板转到如图所示时，AON=CON.AON=90+5t，CON=BOC+BON=130+90-5t=220-5t，90+5t=220-5t，即t=13；当三角板转到如图所示时，AOC=CON=50，CON=BOC-BON=130-（5t-90）=220-5t，220-5t=50，即t=34；当三角板转到如图所示时，AON=CON=AOC=25，CON=BON-BOC=（5t-90）-130=5t-220，5t-220=25，即t=49；当三角板转到如图所示

27、时，AON=AOC=50，AON=5t-180-90=5t-270，5t-270=50，即t=64故t的值为13，34，49或64.【点睛】本题主要考查角的和、差关系，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量9（1）ACB145；DCE40；（2）ACB+DCE180或互补，理由见解析；（3）能；理由见解析，54；23秒【分析】（1）由题意可得，重叠的部分就比90+90减少的部分，即当DCE35时，ACB=18035145，当ACB140时，DCE=18014040（2）由于ACDECB90，则重叠的度数就是ECD的度数，所以

28、ACB+DCE180（3）当ACB是DCE的4倍，设ACB4x，DCEx，利用ACB与DCE互补列方程解答即可；设当DCE21时，转动了t秒，根据BCD+DCE90，列方程解答即可【详解】解：（1）ACDECB90，DCE35，ACB18035145ACDECB90，ACB140，DCE18014040故答案为：145，40；（2）ACB+DCE180或互补，理由：ACE+ECD+DCB+ECD180ACE+ECD+DCBACB，ACB+DCE180，即ACB与DCE互补（3）当ACB是DCE的4倍，设ACB4x，DCEx，ACB+DCE180，4x+x180解得：x36，903654；设当D

29、CE21时，转动了t秒，BCD+DCE90，3t+2190，t23，答：当DCE21时，转动了23秒【点睛】本题考查了互补、互余的定义以及角的重叠等知识点，解决本题的关键是确定重叠部分的大小.10（1）；（2）如果直角三角板的边在的内部且另一边在直线AB的下方，那么与的差不变，理由见解析；如果直角三角板的、边都在的内部，那么与的和不变，+=30;30.【分析】（1）利用角平分线的定义结合直角三角板的内角度数即可分别判断得出答案；（2）当直角三角板的边在的内部且另一边在直线AB的下方时根据COM=120-BOM，BON=90-BOM，可得出结果；当直角三角板的、边都在的内部时，COM+BON=B

30、OC-MON，可得出结果；（3）因为MON=90，AOC=60，所以AOM=90-AON，NOC=60-AON，然后作差即可【详解】解：（1），平分，故正确；，故正确；，不平分，故错误；，的平分线在直线上，故正确；故答案为：.（2）与的差不变.理由如下：当直角三角板的边在的内部且另一边在直线AB的下方时，COM=BOC-COM=120-BOM，BON=MON-BOM=90-BOM，COM-BON=120-90=30；与的和不变，其和为30.理由如下：当直角三角板的、边都在的内部时，COM+BON=BOC-MON=120-90=30.（3），【点睛】此题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观

31、察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键11(1）7.5秒；（2）5秒.【分析】(1）根据AOC=30，OM恰好平分BOC可知BOM=75，进而可知旋转的度数，结合旋转速度可得时间t；(2）由题意分别根据转动速度关系和OC平分MON进行分析【详解】解：(1）AON十BOM=90，COM=MOB，AOC=30， BOC=2COM=150，COM=75，CON=15，AON=AOC-CON=30-15=15，解得：t=152=7.5秒.（2）5秒时OC平分MON，理由如下：AONBOM=90，CON=COM，MON=90，CON=COM=45，三角板绕点O以每秒2的速度，射线OC也绕O点以每秒5

32、的速度顺时针旋转，设AON为2t，AOC为30+5t，AOC-AON=45，可得：30+5t-2t=45，解得：t=5秒.【点睛】本题考查角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键12（1）135，135；（2）MON135；（3）同意，MON（90x）+x+（45x）135.【分析】（1）由题意可得，MON90+90，MONAOC+BOD+COD，即可得出答案；（2）根据“OM和ON是AOC和BOD的角平分线”可求出MOC+NOD，又MON（MOC+NOD）+COD，即可得出答案；（3）设BOCx，则AOC180x，BOD90x，进而求出MOC和

33、BON，又MONMOC+BOC+BON，即可得出答案.【详解】解：（1）图2中MON90+90135；图3中MONAOC+BOD+COD（AOC+BOD）+9090+90135；故答案为：135，135；（2）COD90，AOC+BOD180COD90，OM和ON是AOC和BOD的角平分线，MOC+NODAOC+BOD（AOC+BOD）45，MON（MOC+NOD）+COD45+90135；（3）同意，设BOCx，则AOC180x，BOD90x，OM和ON是AOC和BOD的角平分线，MOCAOC（180x）90x，BONBOD（90x）45x，MONMOC+BOC+BON（90x）+x+（45

34、x）135【点睛】本题考查的是对角度关系及运算的灵活运用和掌握，此类问题的练习有利于学生更好的对角进行理解.13（1）75，150；（2）15；（3）15.【分析】（1）根据三角板的特殊性角的度数，求出AOC即可,把AOC、BOC、AOB相加即可求出射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和；（2）依题意设2x，列等式，解方程求出即可；（3）依据题意求出BOM,COM,再根据角平分线的性质得出MOE，MOF，即可求出EOF.【详解】解：（1）BOC30，AOB45，AOC75，AOC+BOC+AOB150；答：由射线OA，OB，OC组成的所有小于平角的和是150；故答案为：75；（2）设2x，

35、则13x+30，1+290，x+3x+3090，x15，215，答：2的度数是15；（3）如图所示，BOM18045135，COM18015165，OE为BOM的平分线，OF为COM的平分线，MOFCOM82.5，MOEMOB67.5，EOFMOFMOE15【点睛】本题主要考查了三角板各角的度数、角平分线的性质及列方程解方程在几何中的应用，熟记概念是解题的关键.14（1）；（2）；（3）不变，.【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质，求出BCD=DCE=30，则DCA=60，进而得出t的值，（2）当时，在内部，再利用角平分线，分别表示出ACM和DCN，进而表示出MCN，化简即可，（3）同（2

36、）.【详解】解： （1）当平分时，BCD=DCE=30，DCA=60，（s）,（2）当时，在内部，且，CM平分ACE，平分，.（3）不变，理由如下，当8t12时，CE在CB的左侧，且，CM平分ACE，平分，.【点睛】本题考查了角的运算，综合性较强，能用时间t正确表示ACE和BCD是解题关键.15（1）120 ;（2）BOD+AOC=180，理由略.【解析】【分析】（1）由BOD=60，DOC=AOB=90推出AOD=BOC=30，推出AOC=AOD+DOC=30+90=120即可；（2）结论：即在旋转的过程中BOD+AOC=180，不发生变化如图2中，若090，由AOD=，推出AOC=AOD+

37、DOC=90+，BOD=DOC-AOD=90-，推出BOD+AOC=90+90-=180即可证明；（3）结论仍然成立如图3中，由AOB=COD=90，又BOD+AOC+AOB+COD=360，即可推出BOD+AOC=360-AOB-COD=360-90-90=180.【详解】解：（1）如图2中，BOD=60，DOC=AOB=90，AOD=BOC=30，AOC=AOD+DOC=30+90=120，故答案为120（2）结论：即在旋转的过程中BOD+AOC=180，不发生变化理由：如图2中，若090，AOD=，AOC=AOD+DOC=90+，BOD=DOC-AOD=90-，BOD+AOC=90+90

38、-=180，即在旋转的过程中BOD+AOC=180，不发生变化（3）结论仍然成立理由：如图3中，AOB=COD=90，又BOD+AOC+AOB+COD=360，BOD+AOC=360-AOB-COD=360-90-90=180【点睛】本题考查旋转变换、直角三角形的性质、周角、两直线垂直等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.16（1）射线OC表示的方向为北偏东60；（2）45；（3）AOM2NOC.【解析】【分析】（1）根据MOCAOCAOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（3）令NOC为，AOM为，MOC90，根据AOM+MOC+BO

39、C180即可得到AOM与NOC满足的数量关系【详解】（1）MOCAOCAOM1509060，射线OC表示的方向为北偏东60；（2）BON2NOC，OC平分MOB，MOCBOC3NOC，MOC+NOCMON90，3NOC+NOC90，4NOC90，BON2NOC45，AOM180MONBON180904545；（3）AOM2NOC令NOC为，AOM为，MOC90，AOM+MOC+BOC180，+90+90180，20，即2，AOM2NOC【点睛】此题考查了角的计算，余角和补角，本题难度较大，关键是熟练掌握角的和差倍分关系17(1)15；(2)AOM2NOG，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据

40、补角的定义可得COB=150，根据角平分线的定义可得CON=90，所以AOM=30，据此即可求出t的值；(2)令NOG为，AOM为，MOG=90，根据AOM+MOG+BOG=180即可得到AOM与NOG满足的数量关系【详解】(1)根据题意得COB=180AOC=18030=150，当CON=COB=90时，直角边ON将COB分成CON：BON=3：2，AOM=30，2t=30，解得t=15；(2)AOM=2NOG，令NOG为，AOM为，MOG=90，AOM+MOG+BOG=180，+90+90=180，2=0，即=2，AOM=2NOG【点睛】本题考查了角的计算，余角和补角，难度较大，解题的关键

41、是熟练掌握角的和差倍分关系18（1）见详解；（2）6或24；（3）.【解析】【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；（2）由BOC=120可得AOC=60，则BON=30，即旋转60或240时ON平分AOC，据此求解；（3）因为MON=90，AOC=60，所以AOM=90-AON、NOC=60-AON，然后作差即可【详解】解：（1）直线ON平分AOC理由：设ON的反向延长线为OD，OM平分BOC，MOC=MOB，又OMON，MOD=MON=90，COD=BON，又AOD=BON（对顶角相等），COD=AOD，OD平分AOC，即直线ON平分AOC；（2）BOC=120AOC=60，

42、BON=COD=30，即旋转60时ON平分AOC，由题意得，10n=60或240，n=6或24；（3）MON=90，AOC=60，AOM=90-AON、NOC=60-AON，AOM-NOC=（90-AON）-（60-AON）=30【点睛】本题考查了角平分线的定义，难度较大,应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系是解题的关键19（1）；（2）；当，时，存在.【解析】【分析】（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15的倍数的角都可以画出来；（2）根据已知条件得到EOD=180-COD=180-60=120，根据角平分线的定义得到EOB=EOD=120=60，于是得到

43、结论；当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，根据角的和差列方程即可得到结论【详解】解：（1）135=90+45，120=90+30，75=30+45，只有25不能写成90、60、45、30的和或差，故画不出；故选；（2）因为，所以.因为平分，所以.因为，所以.当在左侧时，则，.因为，所以.解得.当在右侧时，则，.因为，所以.解得.综合知，当，时，存在.【点睛】本题考查角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意并分类讨论是解题关键20（1）135；（2）MON=135（3）猜想MON=135，证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出COM=45，再利用MON=COM+CON即可求出；（2）先

44、求出AOC+BOD=90，再根据OM平分AOC，ON平分BOD，可知COM+DON=45，再利用MON=COM+DON+COD即可求出；（3）如图延长NO至Q、DO至H，则DOH为平角，COH=90，根据对顶角相等，知BOD=AOH，NOD=QOH，再根据COH=AOC-AOH=90，又OM平分AOC，ON平分BOD，得COM-QOH=45，则MON=COD-NOD+COM=COD+COM-QOH=90+45=135.【详解】（1）AOC=90，OM平分AOC，COM=45，MON=COM+CON=45+90=135；（2）COD=90，AOC+BOD=90，OM平分AOC，ON平分BOD，C

45、OM+DON=12（AOC+BOD）=45，MON=COM+DON+COD=45+90=135；（3）猜想MON=135，证明如下：如图延长NO至Q、DO至H，则DOH为平角，COH=90，COH=AOC-AOH=90，又BOD=AOH，NOD=QOH，OM平分AOC，ON平分BOD，COM-QOH=45，则MON=COD-NOD+COM=COD+COM-QOH=90+45=135.【点睛】此题主要考察角度的和差关系，熟练使用角平行线、对顶角相等及平角的定义是解题的关键21（1）DOB=75（2）DOBAOC=30，理由见解析.【分析】（1）根据三角板的各角度数,明确COD=60，AOC=45,表示出DOB= AOBAOD即可解题；（2）由AOB永远比COD大30可知,当两个角减掉相同角度后,关系仍成立即可解题.【详解】解：（1）解： 因为COD=60，AOC=45所以AOD= CODAOC=