初中数学-沪科版-初一下-乘法公式(基础)知识讲解

1、2 2乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】【高清课堂 396590 乘法公式 知识要点】要点一、平方差公式平方差公式：( a +b )( a -b ) =a2 -b 2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里， a , b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征： 既有相

2、同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变 式有以下类型：（1）位置变化：如( a +b )( -b +a )利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2） 系数变化：如（3） 指数变化：如（4） 符号变化：如（5） 增项变化：如(3 x +5 y)(3 x -5 y )( m 3 +n 2 )( m 3 -n 2 )( -a -b )( a -b)( m +n +p )( m -n +p)（6）增因式变化：如( a -b )( a +b )( a2 +b 2 )( a 4 +b 4)要点二、完全平方公式完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab +b 2( a -

3、b )2=a2-2 ab +b2两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两 数的平方和加（或减）这两数之积的 2 倍.以下是常见的变形：a2+b2=(a+b)-2ab =(a-b)+2ab(a+b)2=(a-b)2+4ab要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，22222 22 括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查 添括号是否正确.要点四、补充公式( x +p )( x +

4、q ) =x 2 +( p +q ) x +pq；( a b )( a 2 m ab +b 2 ) =a 3 b 3；( a b )3 =a 3 3a 2 b +3ab 2 b 3 ； ( a +b +c ) 2 =a 2 +b 2 +c 2+2 ab +2 ac +2bc.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的， 写出计算结果(1)(2a-3b )(3b-2a)； (2)(-2a+3b)(2a+3b)；(3)(-2a-3b)(-2a+3b)； (4)(2a+3b )(2a-3b)；(5)(-2a-3b)(2a-3b)；

5、(6)(2a+3b)(-2a-3b)【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算(2)(-2a+3b)(2a+3b)(3b)(2a)29b2 -4 a2(3)(-2a-3b)(-2a+3b)(-2a)2(3b)4 a 2 -9b2(4)(2a+3b)(2a-3b)(2a)2(3b)4 a 2 -9b 2(5)(-2a-3b)(2a-3b)(-3b)(2a)29b2 -4 a 2【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相

6、反 数的同类项）举一反三：【变式】计算：（1）x 3+2 2x 3y -2 2y； （2）( -2 +x )(-2-x )；（3）( -3x -2 y )(2 y -3 x)【答案】解：（1）原式=x 3 x 9 - y = - y2 2 4 4222 222222 22 22 222222 2 2 24 42 2（2）原式=( -2)2 -x 2 =4 -x 2（3）原式=-(3 x +2 y )(2 y -3 x ) =(3 x +2 y )(3 x -2 y ) =9 x2 -4 y 22、计算：(1)59.960.1； (2)10298【答案与解析】解：(1)59.960.1(600.

7、1)(600.1)60 2 -0.1236000.013599.99(2)10298(1002)(1002) 100 2 -2 2 1000049996【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可 利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式这样 可顺利地利用平方差公式来计算举一反三：【变式】（2015 春莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1） 123 124122（2） （2a+b）（4a +b ）（2ab）【答案】解：（1）123 124122=123 （123+1）（1231）=123 （123 1）=123 123

8、+1=1；（2）（2a+b）（4a +b ）（2ab）=（2a+b）（2ab）（4a +b ）=（4a b）（4a +b）=（4a ） （b ）=16a b 类型二、完全平方公式的应用 3、计算：(1)(3a+b)； (2) (-3+2a)； (3)(x -2 y)2； (4)(-2x-3y)2【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方 公式.【答案与解析】解：(1)(3a+b)2=(3a)2+23ab+b2 =9a 2 +6ab +b 2(2)(-3+2a)2=(2a-3)2=(2a)2-22a3+32=4a2-12 a +9(3)(x -2 y )2=

9、x2 -2 x2y +(2y)2=x2-4xy +4 y 222222222(4)(-2x-3y)2=(2x+3y)2=(2x)2+22x3y+(3y)2=4x2+12 xy +9 y2【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时， 结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负(2)注意(-a-b)2=(a+b)2之间的转化4、（2015 春吉安校级期中）图 a 是由 4 个长为 m，宽为 n 的长方形拼成的，图 b 是 由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形（1） 用 m、n 表示图 b 中小

10、正方形的边长为 （2） 用两种不同方法表示出图 b 中阴影部分的面积；（3） 观察图 b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2，（mn） ，mn；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知 a+b=7，ab=5，求（ab） 的值【答案与解析】解：（1）图 b 中小正方形的边长为 mn故答案为 mn；（2）方法：（mn）（mn）=（mn） ；方法：（m+n） 4mn；（3） 因为图中阴影部分的面积不变，所以（mn） =（m+n） 4mn；（4） 由（3）得：（ab） =（a+b） 4ab， a+b=7，ab=5， （ab）2=7245=4920=29【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代 数式表示其他相关的量5、已知a +b =7 ， ab 12求下列各式的值：(1)a2 -ab +b 2；(2)( a -b )2【答案与解析】解：(1)a2 -ab +b 2 a 2 +b 2 ab (a+b)23ab 7 2 31213(2)(a-b)2(a+b)24ab 72 4121.【总结升华】由乘方公式常见的变形：(a+b)2(a-b)24ab；a 2 +b 2(a+b)22 ab (a-b)22ab 解答本题关键是不求出a, b 的值，主要利用完全平方公式的整体 变换