矩阵可逆的若干判别方法

1、山西师范大学本科毕业论文 矩阵可逆的若干判别方法 姓 名郭晓平院 系数学与计算机科学学院专 业数学与应用数学班 级0701班学 号指导教师 宋蔷薇答辩日期成 绩矩阵可逆的若干判别方法内容摘要 对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。鉴于可逆矩阵具有

2、重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。【关键词】 矩阵 逆矩阵 初等变换 伴随矩阵 线性方程组 Some Methods for Judging Invertible MatrixAbstract The matrix is a main rese

3、arch subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replace

4、d. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper

5、mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite

6、necessary.Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations

7、method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.【Key Words】matrix inverse matrix elementary t

8、ransformation adjoin matrixLinear equations 目 录一、引言(01)二、预备知识(01)（一）基本概念(01)（二）可逆矩阵的性质(01)三、矩阵可逆的若干判别方法(02)（一）定义判别法(02)（二）行列式判别法(02)（三）秩判别法(02) （四）伴随矩阵判别法(02) （五）初等变换判别法(02)（六）初等矩阵判别法(02)（七）矩阵向量组的秩判别法法(03)（八）线性方程组判别法(03) （九）标准形判别法(04) （十）多项式判别法(04)（十一）特征值判别法(05)四、十种常见矩阵的可逆性(05)五、矩阵可逆判别方法的实例(07)六、小结(

9、11)参考文献(11)致谢(12) 矩阵可逆的若干判别方法 学生姓名：郭晓平 指导老师：宋蔷薇一、引言在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。矩阵对解决数学中诸多理论问题都有重要意义。在矩阵理论中可逆矩阵有如此重要的地位作用，所以学习、研究可逆矩阵的判别方法，有助于进一步完善矩阵理论体系，也是相当有必要的。解决实际问题（如国民经济中的调运方案等问题），第一步往往是建立合适的数学模型，然后化为线性代数和代数学等的问题。很多有关代数学方面的研究多数会情况下转化为有关矩阵的研究，特别是可逆矩阵的研究。矩阵可应用于物理、数学、经济等方面。可逆矩阵在矩阵中

10、有着重要地位，可见研究可逆矩阵的判定也有着重要的实践意义。本文系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法。 二、预备知识（一）基本概念 定义1【1】 设数域上,阶方阵，如果存在阶方阵满足条件且,就称可逆,并且称是的逆,记.定义2 记中的为，令,我们称矩阵为的伴随矩阵。定义31 矩阵的称为的秩，记作.定义42 矩阵的三类初等行变换：(1)互换某两行的位置；(2)用中某个非零数乘某行；(3)将某行的另一行上。初等列变换与初等行变换完全类似，只需将行换成列即可。定义5 初等矩阵，是对单位矩阵施行一次初等变换得到的矩阵。定义6 对施加一系列,它变为,则称与等价。（二） 矩阵可逆的性质性质1 ;性质

11、2 ;性质3 ;性质4 ;性质5 矩阵与它的具有相同的可逆性，即可逆,且 性质62 设,分别是阶和阶可逆方阵，.且 三、矩阵可逆的若干判别方法（一）定义1判别法设对于阶方阵，如果存在阶方阵满足条件且,就称可逆,并且称是的逆,记.注：这种方法实际上是通过直接找到矩阵的逆，进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵可逆的，所以它多适用于简单矩阵和非具体矩阵。 （二）矩阵行列式判别法定理2：可逆是方阵且（非退化）。（三）秩判别法阶矩阵可逆.证明:由可逆，知,再由矩阵秩的定义，可得.所以由可逆可推得.反过来，必要性也显然成立。（4） 伴随矩阵判别法 可逆存在,使得. 证明：若可逆，则显然,且. 反过来，如果有

12、, 则 . (1)注：公式(1)便是求逆矩阵的公式。但是根据这个公式来求逆矩阵，矩阵阶数较大时计算量往往是相当大的且繁琐，因此该方法适合阶数较小的矩阵。（五）初等变换判别法对矩阵施行初等行（或者列）变换得到的矩阵,则可逆可逆。证明：设用初等行或列变换，将变为,因为初等变换是等价变换，从而并不改变的秩，所以与秩相等，故与有相同的可逆性，从而可逆可逆。命题得证。（6） 初等矩阵判别法 定理1：方阵可逆可表成一些初等矩阵的乘积： .证明：充分性,由题知， ,则有 ,故可逆。必要性的详细证明见于参考文献1第191页。证毕。定理1：方阵可逆可以经过初等行变换化为单位矩阵。证明：必要性，由矩阵可逆，知它可

13、以表示成一些初等矩阵的乘积，即,从而,也就是说，可以经过初等行变换化为单位矩阵。充分性，若可经过初等行变换化为单位矩阵，则存在一些初等矩阵,使得 ,从,故 ,因此可逆。 证毕。 注：施加一系列，可逆矩阵可化为单位矩阵，那么类似地施加一系列可逆矩阵也可化为单位矩阵。具体方法：用一系列进行以下过程 ,则矩阵里右面的块即为的逆矩阵。同理,作列变换时，则相应地进行这一过程，矩阵里下面的块即为的逆矩阵。 （七）矩阵的向量组的秩判别法 1.定理2：阶方阵可逆的各列（行）线性无关。 2.阶方阵可逆的列（行）向量组的秩等于. 证明：可逆等价于,从而,从而的各列（行）线性无关，从而的列（行）向量组的秩等于.将上

14、述论述反过来说也是完全成立的。命题得证。 （八）线性方程组判别法1. 即（为该齐次方程组的系数矩阵）只有零解可逆。证明：用分别代表系数矩阵各列，则齐次方程组变为,方程组只有零解，即,从而线性无关，而线性无关的充要条件为可逆。故命题得证。2. 即（为该方程组的系数矩阵）有唯一解可逆。证明：用分别代表系数矩阵各列，即,则方程组可以写成向量形式 ,由,知成的一组基，故每个向量都可以写成的线性组合的形式， 即 ,且系数由唯一决定。换句话说，命题中的方程组有唯一解。 反过来，若方程组有唯一解，则必然有,否则，方程组无解或有无穷多解。 （九）标准形判别法引理1：任何一个矩阵都与一个形式为 的矩阵，该矩阵称

15、为的标准形，且.其中为,为零矩阵。阶方阵可逆矩阵的是.证明：根据引理可知，任何一个矩阵都可经过行或列变换化成引理中的标准对角阵。如果可逆，那么的秩只能是,等于矩阵的阶数，从而其只能是单位矩阵。反过来，如果标准型是阶单位矩阵，由引理，知的秩为,故可逆。注：该判别法大多用于非具体矩阵的理论性证明。（十）多项式判别法的矩阵可逆有多项式,满足,且常数项不为零。证明：必要性，设，是的矩阵的，则 .由可逆,知,从而,即多项式的常数项不为零。又根据哈密定理，知 ,故的为题中所求。充分性，设有一常数项不为零的多项式,则有 ,即， 所以 ， 从而 , 即 ，故可逆。（十一）特征值判别法的矩阵可逆矩阵的特征值全都

16、不是零。证明：必要性，假设的矩阵的为，则 ,根据根与系数的关系，可知所有特征值之积等于,又由可逆，知,故所有特征值全不为零。充分性，因为所有特征值全不为零，而所有特征值之积等于,故,从而可逆，从而命题得证。 四、十种常见矩阵的可逆性 （1） 单位矩阵是的。 证明：显然成立，根据的定义，可得可逆。而且知道，故也是可逆的。（二）数量矩阵可逆。 证明：显然而单位矩阵是可逆的，再由矩阵可逆的性质4知， ，故可逆。（三）令 如果它的的元均不为零，则是可逆。 证明：记 ,显然,根据矩阵可逆的定义，故是的。（四）分块矩阵1.设矩阵与矩阵,都是的,则(1)准对角矩阵可逆，且;(2)可逆，且.证明：(1)因为可

17、逆，因而存在，又因为 ，故可逆，且,类似地，我们可以证明可逆，且.2.设且可逆，则(1)分块矩阵与可逆，且;(2)分块矩阵可逆，并且.证明：(1)因为对任意,我们有成立，特别地，若令，我们可以得到：同理，我们可得到： .(2) 因为 , 进而有 所以 =.（五）正交矩阵是可逆的。 证明：设是正交矩阵，根据正交矩阵的定义,可以得到,故是可逆的。（六）当()时，有,矩阵称为矩阵，可逆矩阵的逆仍是矩阵。这个结论对下三角形矩阵也是成立的。证明:令,设是的逆，即,比较和的第一列元素： 因为，故,因而.同理可以比较其它列，得时,所以是上三角形矩阵，故可逆的逆仍是上三角形矩阵。 同理，结论对下三角形矩阵也是

18、成立的。（7） 如果矩阵是奇数阶的，也是反对称的，则它是不可逆的。证明：若对矩阵有,则.当为奇数时,所以,故矩阵不可逆。 （八）线性空间中，一组基到另外一组基的是可逆的。 （九）线性空间中，任意一组基对应的是可逆的。 （十）矩阵矩阵可逆的概念1：设数域上是阶的矩阵，如果存在数域上阶的矩阵,使得,则称是可逆的，而称是的逆矩阵，并且矩阵的逆矩阵是唯一的，记为. 阶的矩阵可逆是一个非零的数。注1：当可逆时，其逆矩阵,其中是的伴随矩阵。注2：在中,阶矩阵可逆（或矩阵是的）。当阶的矩阵可逆时，则必有,即是满秩的。但是，满秩的矩阵不一定是可逆的，因为满秩的矩阵的行列式可以是不恒为零的多项式，而且只有当它的

19、行列式为非零的常数（即零次多项式）时,才是可逆的。此外求可逆矩阵的逆矩阵的方法和中逆矩阵的求法是一致的。五、矩阵可逆判断的实例例1 阶方阵是否。解：记阶方阵则,由,根据矩阵可逆的定义， 知是可逆的，且.注：该题运用定义法解答，此题关键在于它的技巧。例2 阶方阵是否。解:经计算可得,显然,故是可逆的。注：该题运用行列式判别法。显然用定义法判断不太容易，此法比较合适。例3 向量组是不是的，并且求出秩。解：令,显然分别是矩阵的各列,又,故的列秩为4,从而各列,所以，且该向量组的秩为4.注：运用矩阵可逆的秩的判别法解题较为简单。例4 令,且求的值.解：因为所以,而或.当时，显然有（舍弃）。当时,，可见

20、,符合题意，所以.例5 已知方阵,其中,那么该矩阵是可逆的还是不可逆的？若可逆，试求它的逆。解：因为,所以矩阵可逆，且.例6 令,满足条件,求.解: 根据,我们有,所以，同样地，因为,故 . 注：该题运用的是。当矩阵的阶数较小时，用解题也是比较简单的。例7 判断矩阵是的还是不的，并求出它的秩。解：我们对进行初等行变换,则与 等价,而显然的秩为,且小于矩阵的阶数，从而不可逆，故不可逆，且.注：该题是用初等变换判别矩阵可逆的，当矩阵的阶数较大或元素复杂时，不妨使用该方法。例8 设是一个矩阵，且,证明:存在一个的可逆矩阵,使的后行全为零。证明：存在可逆矩阵使,并设,故 ,其右边的后行全都是0,从而得

21、证。注：该题为多角矩阵判别可逆的典型应用。例9 二阶矩阵是不是能够表示成形式为与的矩阵的乘积？解：可以，令,显然,所以可以设 .对进行第三种初等变换： 从而 故 例10 当满足什么条件时，齐次线性方程组 只有零解？解：根据矩阵可逆的线性方程组判别法，如果方程组只有零解，则必有该方程组的系数矩阵可逆，从而该系数矩阵的行列式,所以 且.例11已知齐次线性方程组，将其系数矩阵记为,若存在三阶矩阵使得,则（ ） 且;且;且;且.解：选.根据题目中,显然得知方程组是存在非零解的，于是便有 , 即 ,所以,而,又由知,可见方程组存在零解（存在非零列）,于是，故选.例12 设,其中(),试求.解：,其中,因为，所以 ,故.例13 ,判断矩阵是可逆的还是不可逆的。如果可逆，求出它的逆矩阵。解：因为, 但的二阶子式,所以,从而是不满秩的，故不可逆。注：对于可逆的矩阵，如同数字矩阵一样，也可以采用公式法（即伴随矩阵法）、初等变换法和分块矩阵的有关结果来求逆矩阵。 六、小结判断矩阵可逆不只上述的十一种方法，根据这些判别方法，我们可以快速有效地解决许多