大学物理刚体习题

1、上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 刚体的转动刚体的转动 习题课习题课 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 本章提要本章提要 1、描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式、描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式 角速度角速度 dt d 角加速度角加速度 dt d 距转轴距转轴r处质元的线量和角量的关系处质元的线量和角量的关系 2 rararv n 匀角加速转动公式匀角加速转动公式 2 2 0 22 00 2 2 1 ttt 2、转动定律、转动定律 J dt d JM 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下

2、页下页 返回返回 退出退出 值得注意的是：值得注意的是：J和和M必须是一个刚体对同一转轴必须是一个刚体对同一转轴 的转动惯量的转动惯量J和力矩和力矩M。若同时存在几个刚体，原。若同时存在几个刚体，原 则上应对每个刚体列出则上应对每个刚体列出 iii JM 3、转动惯量、转动惯量 )( 2 离离散散 i iir mJ )( 2 连连续续 dmrJ 刚体的转动惯量与刚体的质量、形状以及转轴的刚体的转动惯量与刚体的质量、形状以及转轴的 位置有关。位置有关。 计算转动惯量的方法：计算转动惯量的方法： (1)已知质量分布，由定义式求转动惯量已知质量分布，由定义式求转动惯量 (2)已知两轴间距离，用平行轴

3、定理求解已知两轴间距离，用平行轴定理求解 2 mdJJ c 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 (3)已知刚体系中各个刚体对同一转轴的转动惯量，已知刚体系中各个刚体对同一转轴的转动惯量， 由叠加法求解。由叠加法求解。 i i JJ 4、刚体力学中的功和能、刚体力学中的功和能 (1)力矩的功力矩的功 2 1 AMd (2)刚体转动动能定理刚体转动动能定理 22 0 11 22 AMdJJ (3)刚体机械能守恒定律刚体机械能守恒定律 只有保守力的力矩作功时，刚体的转动动能与只有保守力的力矩作功时，刚体的转动动能与 势能之和为常量。势能之和为常量。 常常量量

4、 c mghJ 2 2 1 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 5、刚体角动量和角动量守恒定律、刚体角动量和角动量守恒定律 (1)角动量角动量同同向向与与 JL (2)角动量定理角动量定理 1122 )( JJdtM dt Jd dt Ld M 或或 (3)角动量守恒定律角动量守恒定律 当刚体当刚体(系统系统)所受外力矩为零时，则刚体所受外力矩为零时，则刚体(系统系统) 对此轴的总角动量为恒量。对此轴的总角动量为恒量。 恒恒量量 ii JM 0 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 例题例题1 1一轻绳跨过一定滑

5、轮，滑轮视为圆盘，绳的两端一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端 分别悬有质量为分别悬有质量为m1和和m2的物体的物体1 1和和2 2，m1m1，物体物体1 1向上运动，物体向上运动，物体2 2向下运动，滑轮以顺向下运动，滑轮以顺 时针方向旋转时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方程的指向如图所示。可列出下列方程 JMrTrT amTG amGT 12 222 111 式中式中 是滑轮的角加速度是滑轮的角加速度， a是物体的加速度。滑轮边是物体的加速度。滑轮边 缘上的切向加速度和物体的缘上的切向加速度和物体的 加速度相等，即加速度相等，即 从以上各式即可解得从以上各式即可解得 ra

6、 m 1 m2 T2 T1 T1 T 2 G2 G1 a a a m 1 m 2 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 mmm rMgmm r J mm rMgmm a r 2 1 / 12 12 212 12 mmm rMgmmm agmT 2 1 / 2 1 2 12 12 12 mmm rMgmmm agmT 2 1 / 2 1 2 12 21 11 而而 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 rmmm rMgmm r a 2 1 / 12 12 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m

7、=0=0、M =0=0时，有时，有 g mm mm TT 12 21 21 2 g mm mm a 12 12 上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测 量重力加速度量重力加速度g g的简单装置。因为在已知的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和和J的情况下，能通过实验测出物体的情况下，能通过实验测出物体1 1和和2 2的加速度的加速度a， 再通过加速度把再通过加速度把g g算出来。在实验中可使两物体的算出来。在实验中可使两物体的m1 和和m2相近，从而使它们的加速度相近，从而使它们的加速度a和速度和速度v都较小，都较小， 这样就能角精确地测出这样就

8、能角精确地测出a来来。 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 例题例题2 2 一半径为一半径为R，质量为质量为m匀质圆盘，平放在粗糙匀质圆盘，平放在粗糙 的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令圆令圆 盘最初以角速度盘最初以角速度 0 0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转绕通过中心且垂直盘面的轴旋转 ，问它经过多少时间才停止转动？，问它经过多少时间才停止转动？ r R dr d e 解：解：由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分整个圆盘

9、与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量的质量dm= rd dre，所受到的阻力矩是所受到的阻力矩是r dmg 。 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 此处此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是 2 2 00 3 ddd dd 2 3 R Mrmggrrer gerr geR 因因m= e R2，代入得代入得mgRM 3 2 根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度获得负的角加速

10、度. . 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 2 21d 32d mgRJmR t 设圆盘经过时间设圆盘经过时间t t停止转动，则有停止转动，则有 0 0 0 21 dd 32 t gtR 由此求得由此求得0 4 3 g R t 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 3 3 、 、 已知：均匀直杆已知：均匀直杆 m，长为，长为 l，初始水平静止，轴光滑，初始水平静止，轴光滑， AO l 4 。 求求 : 杆下摆杆下摆 角后，角速度角后，角速度 ? 轴对杆作用力轴对杆作用力 N ? 解：杆解：杆 地球系统，地球系统

11、， 只有重力作功，只有重力作功，E 守恒。守恒。 初始：初始：，E k1 0 令令 E P1 0 末态：末态： EJ k o 2 2 1 2 , Emg l P2 4 sin 则：则： 1 24 0 2 Jmg l o sin (1) 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 由平行轴定理由平行轴定理 JJmd oc 2 1 124 7 48 22 2 mlm l ml ( ) (2) 由由(1)、(2)得：得： 2 6 7 g l sin 应用质心运动定理：应用质心运动定理： N mgmac $ $ sinlmgNma lcl 方向：方向： (3) $ $

12、costmgNma tct 方向：方向： (4) 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 a l g cl 4 6 7 2 sin (5) a ll mg J ct l o 44 4 cos 3 7 g cos (6) 由由(3)(4)(5)(6) 可解得：可解得：Nmg l 13 7 sin, Nmg t 4 7 cos Nmglmgt 13 7 4 7 sin $ $ cos$ $ N mg 7 15316 2 sin tg N N tgctg t l 11 4 13 | () 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退

13、出 解一：解一： =W0 1 2 J 2 = L g sin3 =（ ） 4、一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时 处于水平位置，然后让它自由下落。求：处于水平位置，然后让它自由下落。求： ） L L 2 2 mg 0 1 cos 2 1 sin 2 AMd mgLd mgL 1 cos 2 MmgL 2 1 0 2 3 sin AJ g L 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 ） L L 2 2 mg 解二：解二： 2 1 cos 3 cos 2 1 2 3 MJ mgL Mg JL mL 000 3 cos 2 dd

14、dd dtddtd g ddd L 3 sing L 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 5、一质量为一质量为M长度为长度为L的均质细杆可绕一水平的均质细杆可绕一水平 轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有 一质量为一质量为m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全和杆子发生完全 非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。 试求：试求： 1. 碰撞后系统的角速度；碰撞后系统的角速度； 2. 碰撞后杆子能上摆的最碰撞后杆子能上摆的最 大角度。大角度。 ） L v 4 m M 3L 上页上页 下页下页 返回返回 退出退出上页上页 下页下页 返回返回 退出退出 碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒,得：得： mv mM 3 4 JJL = )(+ 3 M M JL 2 = 1 m m 3 4 JL 2 = )( mv 4 99 1616 L L L 22 = +