轴对称图形与等腰三角形(博雅图教育)

1、博雅博雅图教育：江雨图教育：江雨 本章目录 16.4 16.4 角的平分线角的平分线 16.3 16.3 等腰三角形等腰三角形 16.2 16.2 线段的垂直平分线线段的垂直平分线 16.1 16.1 轴对称图形轴对称图形 对于这部分的处理我借助了多媒体。我对于这部分的处理我借助了多媒体。我 把它把它定位五个定位五个部分部分 ： 1、赏轴对称赏轴对称 2、识轴对称识轴对称 3、辨轴对称辨轴对称 4、做轴对称做轴对称 5、解 解轴对称轴对称 1 1、轴对称图形、轴对称图形 北京天坛祈年殿 中外建筑中外建筑 北京故宫 美国白宫 欧洲风情 艾菲尔铁塔 剪纸艺术剪纸艺术 车标设计车标设计 交通标志交通

2、标志 这些图形有什么共同特征？这些图形有什么共同特征？ （1 1）它们都是对称的。）它们都是对称的。 （2 2）它们沿着某条直线折叠后，）它们沿着某条直线折叠后， 直线两旁的部分能完全重合。直线两旁的部分能完全重合。 如果如果一个图形一个图形沿着一条直线折沿着一条直线折 叠，直线两旁的部分能够完全重叠，直线两旁的部分能够完全重 合，那么这个图形叫做合，那么这个图形叫做轴对称图轴对称图 形。形。 这条直线叫这个图形这条直线叫这个图形的的 对称轴对称轴。 轴对称图形：轴对称图形： 动动手，动动手，试一试试一试 1、取一张纸；、取一张纸； 2、在纸的一侧上滴一滴墨水，将纸迅在纸的一侧上滴一滴墨水，将

3、纸迅 速对折、压平；速对折、压平； 3、将纸打开铺平、将纸打开铺平,观察所得到的图案观察所得到的图案,位位 于折痕两侧的墨迹图案彼此有什么联系于折痕两侧的墨迹图案彼此有什么联系? 互相重合互相重合 对称对称 观察下图中的每组图案，你发现了什么？观察下图中的每组图案，你发现了什么？ 想一想想一想 像上述这样，把一个图形沿着像上述这样，把一个图形沿着 某一条直线折叠，如果它能够与另某一条直线折叠，如果它能够与另 一个图形重合，那么称这两个图形一个图形重合，那么称这两个图形 成成轴对称轴对称。这条直线就是。这条直线就是对称轴对称轴。 折叠后重合的点叫做折叠后重合的点叫做对称点对称点。 2 2、轴对称

4、、轴对称 轴对称是两个图形轴对称是两个图形 之间的关系。之间的关系。 轴对 称图形 轴对 称 轴对称图形是轴对称图形是 一个图形。一个图形。 想一想：想一想：我们所学过的哪些几何图形是轴对称我们所学过的哪些几何图形是轴对称 图形？图形？ 线段、角、等腰三角形线段、角、等腰三角形 、长方形、正方形、菱、长方形、正方形、菱 形、圆、椭圆等形、圆、椭圆等 想一想想一想：圆有几条对称轴圆有几条对称轴? 圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴!对称轴是经过圆心的直线对称轴是经过圆心的直线 啊啊!无数条无数条! 下面的图形是轴对称图形吗？如果下面的图形是轴对称图形吗？如果 是，有几条对称轴？是，有几条对称轴？

5、6条条12条条 2条条1条条 有的图形的对称轴这么多哇！有的图形的对称轴这么多哇！ 以后找对称轴我可得以后找对称轴我可得好好好好想想呀想想呀！ 找一找：找一找： 想一想想一想：0-90-9十个数字中，哪十个数字中，哪 些是轴对称图形些是轴对称图形？ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 你能找出图你能找出图1中各图形的对称轴吗？如果中各图形的对称轴吗？如果 能，请在图上画出来。是否有些图形的对称能，请在图上画出来。是否有些图形的对称 轴轴不止一条不止一条呢？呢？ 图9.1.1 有的图形的对称轴这么多哇！有的图形的对称轴这么多哇！ 以后找对称轴我可得以后找对称轴我可得好好好好想想呀想想呀！ 想

6、一想：下列英文字母中，下列英文字母中， 哪些是轴对称图形？哪些是轴对称图形？ A C D E F G H I A C D E F G H I J L M N O P Q R J L M N O P Q R S T U V W X Y ZS T U V W X Y Z 你知道吗？中国的汉字也 十分注重对称美。 中中 目目 王 申 木 呈 土 美 乌拉圭乌拉圭 美国美国 澳大利亚澳大利亚 3.国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗 哪些是轴对称图形？找出它们的对称轴。哪些是轴对称图形？找出它们的对称轴。 加拿大加拿大 瑞典瑞典 挪威挪威 英国英国 以色列以色列 3

7、、轴对称、轴对称图形与轴对称的图形与轴对称的区别区别与与联系：联系： 轴对称图形轴对称图形轴对称轴对称 区别区别 联系联系 图形图形 (1)(1)轴对称图形是指轴对称图形是指( )( ) 具具 有特殊形状的图形有特殊形状的图形, , 只对只对( )( ) 图形图形而言而言 (2)(2)对称轴对称轴( ( ) ) 只有只有 一条一条 (1)(1)轴对称是指轴对称是指( ( ) )图形图形 的位置关系的位置关系, ,必须涉及必须涉及 ( )( )图形图形; ; (2)(2)只有只有( ( ) )对称轴对称轴. . 如果把轴对称图形沿对称轴如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分分成两部分, ,那么这两

8、个图形那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称就关于这条直线成轴对称. . 如果把两个成轴对称的图形如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体拼在一起看成一个整体, ,那那 么它就是一个轴对称图形么它就是一个轴对称图形. . B C A C B A A B C 一个一个 一个一个 不一定不一定 两个两个 两个两个 一一条条 4 4、轴对称的性质：、轴对称的性质： 如果两个图形关于某条直线如果两个图形关于某条直线 对称，那么对称轴是任何一对对对称，那么对称轴是任何一对对 称点所连线段的垂直平分线。称点所连线段的垂直平分线。 如果两个图形的对应点连线如果两个图形的对应点连线 被同条直线垂直平分，

9、那么这两被同条直线垂直平分，那么这两 个图形关于这条直线对称。个图形关于这条直线对称。 ： ： 想一想想一想： ABCABC与与DEFDEF关于直线关于直线L L成轴对称，成轴对称， 则则C C是多少度？是多少度？ 65 40 F E D C B A L 650 750 5 5、做已知图形的轴对称图形、做已知图形的轴对称图形 已知对称轴已知对称轴 l 和一个点和一个点A A， 如何画出点如何画出点A关于关于 l 的对称的对称 点点A ? ? A A O l 尝试探究尝试探究 作法作法: 过点过点A作直线作直线l的垂线在垂线的垂线在垂线 上截取上截取OA=OA,垂足为点垂足为点O， 点点A就是点

10、就是点A关于直线关于直线l的对的对 称点称点. 如何画线段如何画线段AB关于直线关于直线l 的对称线段的对称线段AB? l A B A B 作法：作法： 1、过点、过点A作直线作直线l的垂线，垂的垂线，垂 足为点足为点O，在垂线上截，在垂线上截 OA=OA，点，点A就是点就是点A关于关于 直线直线l的对称点；的对称点； 2、类似地，作出点、类似地，作出点B关于直线关于直线 l的对称点的对称点B； 3、连接、连接AB. 线段线段AB即为所求。即为所求。 1、过点、过点A作直线作直线l的垂线，的垂线， 垂足为点垂足为点O，在在垂线垂线的延长的延长 线线上上截取截取OA=OA，点点A就就 是点是点A

11、关于直线关于直线l的对称点的对称点； 例例1 1：如图，已知：如图，已知ABCABC和直线和直线l l，作出与，作出与 ABCABC关于直线关于直线l l对称的图形。对称的图形。 B A C 分析：分析：ABC可以由三可以由三 个顶点的位置确定，只要个顶点的位置确定，只要 能分别作出这三个顶点关能分别作出这三个顶点关 于直线于直线l的对称点，连接这的对称点，连接这 些对称点，就能得到要作些对称点，就能得到要作 的图形。的图形。 l 作法：作法： 2、类似地，分别作出点、类似地，分别作出点B、 C关于直线关于直线l的对称点的对称点B、C； 3、连接、连接AB、BC、CA。 ABC即为所求。即为所

12、求。 A B C O 作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步聚: : 1 1、找点、找点 2 2、画点、画点 3 3、连线、连线 （确定图形中的一些特殊点）；（确定图形中的一些特殊点）； （画出特殊点关于已知直线的对称点）；（画出特殊点关于已知直线的对称点）； （连接对称点）。（连接对称点）。 B A C A B l 在平面直角坐标系中，关于在平面直角坐标系中，关于x x轴轴 对称的点横坐标相等对称的点横坐标相等, ,纵坐标互纵坐标互 为相反数为相反数. .关于关于y y轴对称的点横轴对称的点横 坐标互为相反数坐标互为相反数, ,纵坐标相等纵坐标相等

13、. . 6 6、平面直角坐标系中的对称、平面直角坐标系中的对称 P(a, b) 关于x轴对称P(a, -b) 关于y轴对称P(-a, b) 1 1、完成下表、完成下表. . 已知点已知点 (2,-3)(-1,2) (-6,-5) (0,-1.6)(4,0) 关于关于x轴的对轴的对 称点称点 关于关于y轴的对轴的对 称点称点 (-2, -3) (2, 3)(-1,-2) (1, 2)(6, -5) (-6, 5) (0, -1.6) (0,1.6) (-4,0) (4,0) 2 2、已知点、已知点P(2a+b,-3a)P(2a+b,-3a)与点与点P P(8,b+2)(8,b+2) 若点若点p与

14、点与点p关于关于x轴对称，则轴对称，则a=_ b=_. 若点若点p与点与点p关于关于y轴对称，则轴对称，则a=_ b=_. 24 6 -20 3 3、已知点已知点P(x+1,2x-1)P(x+1,2x-1)关于关于x x轴的对称轴的对称 点在第一象限，是化简点在第一象限，是化简|x+2|-|1-x|x+2|-|1-x| x+10 2x-10 分析：分析： -1x1/2 原式原式=x+2-(1-x)=2x+1 垂直平分线：垂直平分线：经过某一条线段的中点，经过某一条线段的中点， 并且垂直于这条线段的直线，叫做这条并且垂直于这条线段的直线，叫做这条 线段的线段的垂直平分线，简称垂直平分线，简称“中

15、垂线中垂线”。 如果两个图形关于某直线对称，如果两个图形关于某直线对称， 那么对称轴是对应点连线的垂那么对称轴是对应点连线的垂 直平分线直平分线 1 1、作已知线段的垂直平分线、作已知线段的垂直平分线 、折纸法：、折纸法：将画有线段的纸对折，使线将画有线段的纸对折，使线 段两端点重合，则折痕所在段两端点重合，则折痕所在 的直线即为其的直线即为其 垂直平分线。垂直平分线。 、刻度尺法：、刻度尺法：用刻度尺量出线段的中用刻度尺量出线段的中 点，用三点，用三角尺过线段角尺过线段 的中点做出线段的垂线，的中点做出线段的垂线， 即为线段的垂直平分线。即为线段的垂直平分线。 、尺规作图法：、尺规作图法：

16、下面介绍用尺规作图，下面介绍用尺规作图， 作出线段作出线段AB的垂直平分线：的垂直平分线： 做法：做法： 1、分别以点、分别以点A、B为圆为圆 心，大于心，大于 AB长为长为 半径（为什么？）半径（为什么？） 画画 弧交于点弧交于点E、F。 2、过点、过点E、F做直线。做直线。 则直线则直线EF就是线段就是线段AB 的垂直平分线。的垂直平分线。 2 1 操作操作： 1、请用圆规丈量，比、请用圆规丈量，比 较较EA与与EB的大小，的大小， FA与与FB的大小。的大小。 2、在直线、在直线EF上再任取上再任取 两点两点M、N，MA与与 MB、NA与与NB的大的大 小呢？小呢？ 例1:如图，点A和点

17、B关于某条直线成轴对称， 你能作出这条直线吗？ A B 作法：作法： （3）作直线）作直线CD CD即为所求的直线。即为所求的直线。 （1）连接）连接AB 这个作法实际上就是这个作法实际上就是 线段垂直平分线的尺线段垂直平分线的尺 规作图。我们也可以规作图。我们也可以 用此法确定线段中点。用此法确定线段中点。 （2）分别以点）分别以点A、B为圆心，以为圆心，以 大于大于 AB的长为半径作弧，两的长为半径作弧，两 弧相交于弧相交于C、D两点；两点； 1 2 A B C A B C M N ABC与与ABC关于某条直线对称，请你作出它关于某条直线对称，请你作出它 的对称轴。的对称轴。 MN就是它们

18、的对称轴。就是它们的对称轴。 线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点 和这条线段两个端点的和这条线段两个端点的 距离距离相等相等。 2 2、线段垂直平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质定理 如图：在如图：在ABCABC中，中，DEDE是是ACAC 的垂直平分线，的垂直平分线，AC=5AC=5厘米，厘米， ABDABD的周长等于的周长等于1313厘米，厘米， 则则ABCABC的周长的周长 是是 。 A B D E C 18厘米厘米 已知： 直线MNAB，垂足是C，且 AC=CB。点P在MN上。 求证：PA=PB AB C N M P 证明:MNAB（已知） PCA=PCB(垂直的定义) 在P

19、CA和PCB中, AC=CB(已知), PCA=PCB(已证) PC=PC(公共边) PCA PCB(SAS) PA=PB(全等三角形的对应边相等) ABC M N P 3 3、线段垂直平分线的性质定理逆、线段垂直平分线的性质定理逆 定理定理 和一条线段两个端和一条线段两个端 点距离相等的点点距离相等的点,在在 这条线段的垂直平这条线段的垂直平 分线分线上。上。 AB C M N 和线段两个端点距离相等和线段两个端点距离相等 的所有点的的所有点的集合集合. 线段的垂直平分线可以看作是线段的垂直平分线可以看作是 例 已知:如图ABC中,边AB、BC的垂直 平分线相交于点P. 求证:PA=PB=P

20、C. PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离 相等) 证明: 点A在线段AB的垂直平分线 上(已知) 同理 PB=PC PA=PB=PC. A C B M P N M/ N/ 4 4、三角形三边垂直平分线的性质、三角形三边垂直平分线的性质 如图，ABC中，边AB、BC的垂直平 分线交于点P。 （1）求证：PA=PB=PC。 （2）点P是否也在边AC的垂直平分线 上呢？由此你能得出什么结论？ A P C B 结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一 点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。 问题问题:如图如图

21、,A、B、C三个村庄合建三个村庄合建 一所学校一所学校,要求校址要求校址P点距离三个村点距离三个村 庄都相等庄都相等.请你帮助确定校址请你帮助确定校址. A B C P 点点P为校址为校址 如如图图,CD、EF分别是分别是AB、BC的垂直平的垂直平 分线分线.请你指出图中相等的线段有哪些请你指出图中相等的线段有哪些? AD =BD CF = BF AC = BC CE = BE 1 2 3 CF =DF 即:BF=CF=DF 某区政府为了方便居民的生某区政府为了方便居民的生 活，计划在三个住宅小区活，计划在三个住宅小区A A、B B、 C C之间修建一个购物中心，试问，之间修建一个购物中心，试

22、问， 该购物中心应建于何处，才能该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。使得它到三个小区的距离相等。 A B C 思考：生活中的数学思考：生活中的数学 证明题证明题: : 2.2.已知已知: :如图如图, ,线段线段CDCD垂直平分垂直平分AB,ABAB,AB平分平分 CAD. CAD. 求证求证:ADBC.:ADBC. A AB B C C DD OO 1 1 2 2 3 3 证明证明: : 线段线段CDCD垂直平分垂直平分AB(AB(已知已知) ) CA=CB( CA=CB(线段垂直平分线的线段垂直平分线的 性质定理性质定理) ) 1 1= = 3 3( (等边对等角等边对

23、等角) ) 又又 ABAB平分平分CAD(CAD(已知已知) ) 1 1= = 2 2( (角平分线的定义角平分线的定义) ) 2=2= 3 3( (等量代换等量代换) ) AD BC( AD BC(内错角相等内错角相等, ,两直线平行两直线平行) ) 2012年年7月月27日日 再见再见 操作操作： （1）请你通过折叠的方）请你通过折叠的方 法找出一个锐角三法找出一个锐角三 角形纸片每条边的角形纸片每条边的 垂直平分线，观察垂直平分线，观察 这三条垂直平分线，这三条垂直平分线， 你发现了什么？你发现了什么？ （2）请你用尺规做出钝）请你用尺规做出钝 角三角形、直角三角三角形、直角三 角形的三

24、边的垂直角形的三边的垂直 平分线，再观察是平分线，再观察是 否交于一点。否交于一点。 首先，我从性质首先，我从性质1 1出发。出发。 性质性质1 1：等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等。 这一定理可以简单叙述为：等边对等角等边对等角。 已知：如图，在ABC中，ABAC。 求证：BC 证明： （1）取BC的中点D，连接AD。 ABAC，BDCD，ADAD， ABCACD (SSS) B=C (全等三角形的对应边角相等) 交流交流：你有其他证法吗？学生通过探索会发现，：你有其他证法吗？学生通过探索会发现， （2）做BAC的平分线，交BC边于D； （3）过点A做ADBC。 思考思考：在前面的证明过程中线段在前面的证明过程中线段ADAD具有哪些的性质和特征具有哪些的性质和特征 ？ 性质性质2 2： 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边。等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边。 D A B C 1 引导探索引导探索：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和高线 具有上述的性质，那么，两底角的平分线、两腰上的中线和高 线又具有怎样的性质呢？ （提出问题，激发学生探究的欲望。学生猜想） 2、 探究中发现探究中发现：在等腰三角形中做出两底角的平分线，你 会发现图中有那些相等的线段？你能用文字叙述你的结论吗？