电路分析基础第六章

1、第二篇第二篇 动态电路的时域分析动态电路的时域分析 第五章第五章 电容元件与电感元件电容元件与电感元件 第六章第六章 一阶电路一阶电路 第七章第七章 二阶电路二阶电路 第六章第六章 一阶电路一阶电路 6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用 6.2 6.2 零状态响应零状态响应 6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应 6.4 6.4 零输入响应零输入响应 6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理 6.6 6.6 三要素法三要素法 6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态 6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程

2、和稳态 无论是电阻电路还是动态电路，电路中各支无论是电阻电路还是动态电路，电路中各支 路电流和电压仍然满足路电流和电压仍然满足KCLKCL和和KVLKVL，与电阻电路的差，与电阻电路的差 别仅仅是别仅仅是动态元件的电流与电压约束关系是微分与动态元件的电流与电压约束关系是微分与 积分关系积分关系( (见第五章见第五章) )。 因此，根据因此，根据KCLKCL、KVLKVL和元件的和元件的VCRVCR所建立的所建立的动动 态电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微态电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微 分分积分方程积分方程。 如果电路中的无源元件都是线性时不变的，那如果电路中的无源元件都是

3、线性时不变的，那 么，动态电路方程是么，动态电路方程是线性常系数微分方程线性常系数微分方程。 如果电路中只有一个动态元件，如果电路中只有一个动态元件，相应的电路相应的电路 称为称为一阶电路一阶电路，而而所得到的方程则是一阶微分方程所得到的方程则是一阶微分方程。 一般而言，如果电路中含有一般而言，如果电路中含有n n个独立的动态元件，个独立的动态元件， 那么，描述该电路的就是那么，描述该电路的就是n n阶微分方程阶微分方程， 相应的电相应的电 路也称为路也称为n n阶电路阶电路。 一阶电路的定义：一阶电路的定义： 分解方法在这里的运用：分解方法在这里的运用： （1）将一阶电路分为电阻网络）将一阶

4、电路分为电阻网络 N1 和动态元件和动态元件N2两两 部分。部分。 （2）将）将 N1 用戴维南定理或诺顿定理等效化简，得用戴维南定理或诺顿定理等效化简，得 简单一阶电路。简单一阶电路。 （3）求解简单一阶电路，得到）求解简单一阶电路，得到 uc(t) 或或 iL(t) 。 （4）回到原电路，将电容用一电压源（其值为）回到原电路，将电容用一电压源（其值为 uc(t)） 置换，或将电感用一电流源（其值为置换，或将电感用一电流源（其值为 iL (t)）置换，再）置换，再 求出电路中其余变量。求出电路中其余变量。 根据图根据图(b)(b)，由，由KVLKVL可得：可得： 而由元件的而由元件的VCRV

5、CR可得：可得： 第二式带入第一式并整理可得：第二式带入第一式并整理可得： ) t (u) t (u) t (u OCCR0 dt ) t (du C) t ( i),t ( iR) t (u C 0R0 ) t (u) t (u dt ) t (du CR OCC C 0 类似地，根据图类似地，根据图(c)(c)， 由由KCLKCL和元件的和元件的VCRVCR可得：可得： 如果给定初始条件如果给定初始条件u uC C(t(t0 0) )以及以及tttt0 0时的时的u uOC OC(t) (t) 或或i iSC SC(t) (t)，便可由上述两式解得，便可由上述两式解得tttt0 0时的时的

6、u uC C(t)(t)。 而对含电感而对含电感L L的一阶电路，同样可以得到：的一阶电路，同样可以得到： ) t (i) t (i dt ) t (di LG SCL L 0 ) t (i) t (uG dt ) t (du C SCC0 C ) t (u) t (iR dt ) t (di L OCL0 L 如果给定初始条件如果给定初始条件i iL L(t(t0 0) )以及以及tttt0 0时的时的i iSC SC(t) (t) 或或u uOC OC(t) (t)，同样可解得，同样可解得tttt0 0时的时的i iL L(t)(t)。 因此，从分解方法观点看，处理一阶电路最因此，从分解方

7、法观点看，处理一阶电路最 关键的步骤是先求得关键的步骤是先求得u uC C(t)(t)或或i iL L(t)(t)。 第六章第六章 一阶电路一阶电路 6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用 6.2 6.2 零状态响应零状态响应 6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应 6.4 6.4 零输入响应零输入响应 6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理 6.6 6.6 三要素法三要素法 6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态 6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 再看如图所示电路。再看如图所示电路。 如果

8、电容具有初始电压如果电容具有初始电压uC(t0)，则在，则在tt0时，这时，这 种电路相当于有两个独立电压源。因此，根据叠种电路相当于有两个独立电压源。因此，根据叠 加原理，该电路中任一电压、电流加原理，该电路中任一电压、电流(当然也包括电当然也包括电 容的电压容的电压)是两个电源单独作用时结果的叠加，其是两个电源单独作用时结果的叠加，其 分解电路如下图所示。分解电路如下图所示。 图中，由独立源在图中，由独立源在tt0时产生的响应为时产生的响应为uC(t)，此，此 时，电容的初始电压为零，该响应仅仅是由电路的输入时，电容的初始电压为零，该响应仅仅是由电路的输入 引起，一般称为引起，一般称为零状

9、态响应零状态响应。 所谓零状态响应是指电路原始状态为零，仅仅由激所谓零状态响应是指电路原始状态为零，仅仅由激 励源在电路中产生的响应，励源在电路中产生的响应， 而仅仅是由电容的初始状态而仅仅是由电容的初始状态uC(t0)所引起的响应所引起的响应 uC(t)称为称为零输入响应零输入响应。 两种响应之和就是两种响应之和就是总响应总响应或称之为或称之为全响应全响应， 它是由输入和非零初始状态共同作用的响应。它是由输入和非零初始状态共同作用的响应。 本节先讨论由恒定电源输入产生的一阶电路的本节先讨论由恒定电源输入产生的一阶电路的 零状态响应。零状态响应。 仍以上述仍以上述RC串联电路为例，设串联电路为

10、例，设t0=0，t0时输时输 入阶跃波，其值为入阶跃波，其值为US，它相当于在，它相当于在t=0时通过开关时通过开关 使使RC电路与直流电压源电路与直流电压源US接通，如图所示。接通，如图所示。 根据第一节根据第一节RC电路的公式并结合上图电路可得电路的公式并结合上图电路可得 t0时的电路方程为：时的电路方程为： 初始条件：初始条件：uC(0)=0。解此方程即可得到。解此方程即可得到uC(t)。 有关微分方程的解法，在高等数学中已经学过，有关微分方程的解法，在高等数学中已经学过， 这里再简单回顾一下。这里再简单回顾一下。 SC C U) t (u dt ) t (du RC 一阶微分方程的求解

11、一阶微分方程的求解 一阶齐次方程的求解一阶齐次方程的求解 )1(0 Ax dt dx )2()( 00 Xtx 这里，这里，x(t) 为待求变量，为待求变量，A 及及X0 均为常数。均为常数。 齐次方程和初始条件齐次方程和初始条件 假设假设 )3()( ts eKtx 则有则有 )4( )( ts esK dt txd 将（将（3 3）和（）和（4 4）代入（）代入（1 1）式，可得）式，可得 )5(0)( AseK ts )6(0 As （6 6）式称为微分方程的）式称为微分方程的特征方程特征方程，其根称为微分方程的其根称为微分方程的 特征根特征根或或固有频率固有频率。因而可求得：。因而可求

12、得： )7()(, tA eKtxAs 先求通解（满足（先求通解（满足（1 1）式且含有一个待定常数的解。）式且含有一个待定常数的解。） 再确定待定常数再确定待定常数K K 将初始条件（将初始条件（2 2）式代入通解（）式代入通解（3 3）式，可得：）式，可得： 00 0 )(XeKtx ts 即即 0 0 ts eXK 例：例：求解方程求解方程,05x dt dx 2)0(x 解：解： 特征方程特征方程05 s 特征根特征根 5s 通解通解 t eKtx 5 )( 代入初始条件，得代入初始条件，得 2K 原问题的解为原问题的解为 t etx 5 2)( )12(fBxA dt dx )22(

13、X)t (x 00 其中其中 x(t) 为待求变量，为待求变量，f(t) 为输入函数，为输入函数，A、B 及及X0 均为常数。均为常数。 非齐次方程和初始条件非齐次方程和初始条件 解的结构解的结构: : （2 21 1）式的通解由两部分组成）式的通解由两部分组成 )32()t (x)t (x)t (x ph 其中其中 xh(t) 为（为（21）式所对应齐次方程的通解，）式所对应齐次方程的通解， xp(t) 为（为（21）式的一个特解。）式的一个特解。 一阶非齐次方程的求解一阶非齐次方程的求解 先求先求 x xh h( (t t) ) 前已求得前已求得 ts h eKtx)( 再求再求 x xp

14、 p( (t t) ) 特解特解 x xp p( (t t) ) 的的 形式与输入函数形式与输入函数 f f( (t t) ) 的形式有关：的形式有关： 确定待定常数确定待定常数K K 求得求得 x xh h( (t t) ) 和和 x xp p( (t t) ) 后，将初始条件代入通解式，可后，将初始条件代入通解式，可 确定待定常数确定待定常数K K，从而得到原问题的解。，从而得到原问题的解。 ,18122x dt dx 例：例：求解方程求解方程 8)0(x 解：解：特征方程特征方程0122s 特征根特征根 6s t h eKtx 6 )( 设设 Qtx p )( 求得求得 5.11218Q

15、 通解通解5.1)( 6 t eKtx 代入初始条件，得代入初始条件，得5.65.18K 原问题的解为原问题的解为5.15.6)( 6 t etx 根据以上分析，对于方程：根据以上分析，对于方程： 非齐次方程特解非齐次方程特解 齐次齐次 方程方程 通解通解 非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程 ( ) (0)0 c cs c du RCutU dt u 其解的形式：其解的形式：( ) ccpch utuu 它与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。它与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解。 t RC ch uAe 其变化规律由电路参数和结构决定。其变化规律由电路参数和结构决定。 的通解

16、的通解 C C d 0 d u RCu t Scp uU 通解通解 ch u 特解特解 cp u C CS d d u RCuU t 的特解的特解 全解全解 uC (0)=A+US= 0 A= -US 因此：因此： 由初始条件由初始条件 uC (0)=0 确定积分常数确定积分常数 A CS ( ) t RC cpch utuuUAe ) 0( )1 ( S SSC teUeUUu RC t RC t 从以上式子可以得出：从以上式子可以得出： CS d d t RC uU iCe tR -US uch ucp US t i S U R 0 t uC 0 由所得结果可见，电压、电流是随时间按同一由

17、所得结果可见，电压、电流是随时间按同一 指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成：指数规律变化的函数；电容电压由两部分构成： 连连 续续 函函 数数 跃变跃变 稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暂态分量（自由分量）暂态分量（自由分量） 说明 + RC 库安秒 欧法欧欧秒 伏伏 指数函数指数函数 ，随时间，随时间t t安指数规律衰减，其衰减安指数规律衰减，其衰减 快慢与快慢与RC有关；令有关；令 =RC , ,它称为一阶电路的时间它称为一阶电路的时间 常数，因为：常数，因为： 时间常数时间常数 是一阶电路非常重要的参数，因为它是一阶电路非常重要的参数，因为它 的大小反映了电路暂态或过渡过程

18、时间的长短。的大小反映了电路暂态或过渡过程时间的长短。 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短 t RC e 是电容电压衰减到原来电压是电容电压衰减到原来电压36.8%所需的所需的 时间。因此，工程上一般认为时间。因此，工程上一般认为, 经过经过 (3 5) , 电电 路的过渡过程基本结束。路的过渡过程基本结束。 U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0 t 0 2 3 5 0 t c uU e U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 由此可见： 同样，对于如图所示的同样，对于如图所示的RLRL电路，其电流的零

19、状电路，其电流的零状 态响应也可作类似分析。态响应也可作类似分析。 LS( )L Riuu t S d ( ) d L L i RiLu t t 应用应用KVL和电感的和电感的VCR可得：可得： L d d L i uL t (t 0) + uLUs R iL + - - ( )(1)( )(1), tt S LL UL i teie t0 RR t L LS di uLU e dt 连续连续 不连续不连续 S L (1) R t L U ie R t iL S U R 0 L LS d d R t L i uLU e t uL US t 0 以上讨论了在直流电源或阶跃波作用下电路以上讨论了在

20、直流电源或阶跃波作用下电路 在在t0t0时的零状态响应。这时，电路内的物理过时的零状态响应。这时，电路内的物理过 程，实质上是动态元件的储能从无到有逐渐增长程，实质上是动态元件的储能从无到有逐渐增长 的过程。因此：的过程。因此： 电容电压或电感电流都是从它的零值开始按指数电容电压或电感电流都是从它的零值开始按指数 规律上升到达它的稳态值，时间常数规律上升到达它的稳态值，时间常数分别为分别为RCRC 或或L/RL/R。 当电路到达稳态时，电容相当于开路，电感相当当电路到达稳态时，电容相当于开路，电感相当 于短路，由此可确定电容电压或电感电流的稳态于短路，由此可确定电容电压或电感电流的稳态 值。值

21、。 零状态响应是由电容或电感的稳态值和时间常数零状态响应是由电容或电感的稳态值和时间常数 所确定的，只要掌握了它们按指数规律增长的所确定的，只要掌握了它们按指数规律增长的 特点，求解时可不必每次再求解微分方程，即可特点，求解时可不必每次再求解微分方程，即可 直接写出直接写出u uC C(t)(t)、i iL L(t(t）。而掌握了）。而掌握了u uC C(t)(t)和和i iL L(t(t） 后，根据置换定理就可求出其它各支路电压和电后，根据置换定理就可求出其它各支路电压和电 流。流。 此外，若激励增大此外，若激励增大m m倍，则零状态响应也相应增大倍，则零状态响应也相应增大 m m倍，这称为

22、零状态响应的比例性。倍，这称为零状态响应的比例性。 若有多个激励，还具有零状态响应的叠加性。因若有多个激励，还具有零状态响应的叠加性。因 此，此，零状态响应是输入的线性函数零状态响应是输入的线性函数。 电容的能量关系电容的能量关系 2 S 1 2 CU电容储存的能量：电容储存的能量： 电源提供的能量：电源提供的能量： 2 SSS 0 dU i tU qCU 2 S 1 2 CU电阻消耗的能量：电阻消耗的能量： 2 S 00 2 d()d RC t U i R tR t R e 这表明，这表明，电源提供的能量一半消耗在电阻上，只电源提供的能量一半消耗在电阻上，只 有一半转换成电场能量储存在电容中

23、。有一半转换成电场能量储存在电容中。 例例1：t t=0 =0时时, ,开关开关S S闭合，已知闭合，已知 u uC C(0)=0(0)=0，求求：(1)(1)电容电压和电容电压和 电流电流,(2) ,(2) u uC C80V80V时的充电时间时的充电时间t t 。 解解: (1)(1)这是一个这是一个RCRC电路零状态电路零状态 响应问题，则有：响应问题，则有： 200 CS(1 ) 100(1)V (0) t -t RC uUe-et 53 500 105 10 sRC 200 CS 0.2A d t t RC uU iCee tR d (2)(2)设经过设经过t1秒，秒，uC80V，则

24、有：，则有： 1 200 1 80100(1)8 045 s -t -et. m 500 10F + - 100V S + uC i 例例2： t=0时时, ,开关开关S打开，求打开，求t 0后后iL、uL的变化规律。的变化规律。 解解:这是这是RL电路零状态响应问题。先化简成如图所示电路，有：电路零状态响应问题。先化简成如图所示电路，有： eq 80200/ /300200R eq /2/ 2000.01sL R t 0 L ( )10Ai 100 L( ) 10(1)A t ite 100100 Leq ( )102000V tt utR ee iL S + uL2H R80 10A 20

25、0 300 iL + uL2H 10A Req 例例3：t=0时开关开关k打开，求打开，求t 0后后iL、uL及电流源的电压。及电流源的电压。 解解:这是这是RL电路零状态响应问题，先化简电路如图所示，有：电路零状态响应问题，先化简电路如图所示，有： eq 101020R 0 2 1020VU eq /2/ 200.1sL R iL + uL 2H Uo Req+ t 0 0eq ( )/1A L iUR 10 ( )(1)A t L i te 1010 0 ( )20V tt L utU ee 10 S 510(2010)V t LL uIiue iL K + uL 2H 10 2A 10

26、5 u 作业：作业： P233: 6-1、6-4 P234: 6-6、6-8 第六章第六章 一阶电路一阶电路 6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用 6.2 6.2 零状态响应零状态响应 6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应 6.4 6.4 零输入响应零输入响应 6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理 6.6 6.6 三要素法三要素法 6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态 6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 对于前述电路，分析时是在输入端加一个阶对于前述电路，分析时是在输入端加一个阶 跃波

27、跃波U US S或或I IS S。那么，它们能否用数学进行描述？。那么，它们能否用数学进行描述？ 为此，引入单位阶跃函数。为此，引入单位阶跃函数。 1 1、单位阶跃、单位阶跃(unit-step)(unit-step)函数：函数： 0t 0t 0 1 ) t （ 2 2、延时、延时(delayed)(delayed)单位阶跃函数：单位阶跃函数： 0 0 0 tt tt 0 1 )tt （ 1 0t0 (tt0) 1 0 (t) t t = 0 = 0 开关闭开关闭合合, ,i(t) = Is)t ( 在电路中可模拟开关的动作。在电路中可模拟开关的动作。如：如：t = 0 时开关闭合时开关闭合)

28、(t 引入单位阶跃函数的作用：引入单位阶跃函数的作用： S USu(t)S ( )Ut u(t) Is ( )i t k( ) S It u(t) 起始一个函数起始一个函数 t f (t) 0 00 sin() ()tttt t0 延迟一个函数延迟一个函数 t f(t) 0t0 )()sin(tt 0 sin( ) ()ttt 任意信号任意信号f f( (t t) )的截取：的截取： t f(t) 0t0 01 sin( ) ()()ttttt t1 用单位阶跃函数表示分段常量信号用单位阶跃函数表示分段常量信号 0 ( )( )()f tttt (t) t f(t) 1 0 1 t0t f(t

29、) 0 t0 - (t-t0) 0 0 tt0 tt01 0t0 ) t (f ( )2 (1)(3)(4)f tttt 1 t 1 f(t) 0 2 43 4t0 4t31 3t12 1t0 ) t (f ( ) ( )(1)(1)f ttttt 1t 1 f(t) 0 ( )(1) (1)tttt (1) (1)tt ( )tt ( )( )(1) (3)(4) f ttt tt 1 t 1 f(t) 0 2 43 (1) ( ) ( )u tt t 1 0 2 已知电压已知电压u(t)的波形如图所示，的波形如图所示， 试画出下列电压的波形。试画出下列电压的波形。 (4) (2) (1)u

30、 tt (3) (1) (1)u tt (2) (1) ( )u tt t 1 u(t) 0 22 t 1 011 t 1 01 t 1 021 3 3、阶跃、阶跃(unit-step)(unit-step)信号：信号： 0t 0t , 0 ,A ) t （ 4 4、延时、延时(delayed)(delayed)阶跃信号：阶跃信号： 0 0 0 tt tt , 0 ,A )tt （ 0 A A (t) A A (t) 0 A A (t+t0) -t0 1.1. 单位阶跃响应：单位阶跃响应：是指线性时不变电路在是指线性时不变电路在单位阶单位阶 跃电压跃电压 (t)(t)作用下的作用下的零状态响应

31、零状态响应，我们用，我们用s(t)s(t)或或 g(t)g(t)表示。响应可以是电压，也可以是电流。表示。响应可以是电压，也可以是电流。 2. 2. 单位阶跃响应的线性时不变性：单位阶跃响应的线性时不变性： 若若 (t)s(t) ，则，则 A (t)As(t) A (t-t0)As(t-t0) f(t)A (t)+B (t-t0)y(t)As(t)+Bs(t-t0) 阶跃响应阶跃响应 时延不变性：时延不变性：若激励若激励f f(t)(t)延迟延迟t t0 0接入，其零状态接入，其零状态 响应也延迟响应也延迟t t0 0时间，且波形保持不变，如图所示。时间，且波形保持不变，如图所示。 ( ) t

32、 RC iet 和和 0 t RC iet 的区别的区别 注意 ( ) t RC iet 0 t RC iet t 0 1 i t 0 1 i t iC 0 激励在激励在 t = t0 时加入，时加入， 则响应也从则响应也从t =t0开始。开始。 t- t0 1 RC C ie R ( t - t0 ) 0 1 () RC ett R - t 不要写为：不要写为： iC (t -t0)C + uC R 1 R t0 注意 3. 3. 阶跃响应的求法：阶跃响应的求法： 由于单位阶跃函数作用于电路时，相当于由于单位阶跃函数作用于电路时，相当于 单位直流源接入电路。所以，求阶跃响应就是单位直流源接入

33、电路。所以，求阶跃响应就是 求单位直流源求单位直流源(1V(1V或或1A)1A)作为激励接入电路时的作为激励接入电路时的 零状态响应。零状态响应。 例例 下下图图(a)(a)所示电路，若以电流所示电路，若以电流i iL L为输出，求其阶为输出，求其阶 跃响应跃响应s s( (t t) )。 解解 根据阶跃响应的定义，令根据阶跃响应的定义，令u us s= =( (t t) )，它相当于，它相当于1V1V 电压源在电压源在t t=0=0时接入电路，如图时接入电路，如图( (b b) )所示，而且电路所示，而且电路 的初始状态的初始状态i iL L(0(0+ +)=)=i iL L(0(0- -)

34、=0)=0。 由图由图( (b b) )可知，可知，i iL L的稳态值和该电路的时间常的稳态值和该电路的时间常 数分别为：数分别为： A) t ()e1( 2 1 ) t (i) t ( s s 2 1 1 5 . 0 R L A 2 1 R U )(i t2 L 1 s L 4. 4. 分段常量信号响应的求法：分段常量信号响应的求法： 时延不变性：时延不变性：将分段常量信号用阶跃函数将分段常量信号用阶跃函数 表示，求出阶跃响应后，根据线性电路的线性性表示，求出阶跃响应后，根据线性电路的线性性 质和时不变电路的时延不变性，就可以得到相应质和时不变电路的时延不变性，就可以得到相应 分段常量信号

35、激励作用下电路的零状态响应。分段常量信号激励作用下电路的零状态响应。 f(t)A (t)+B (t-t0) y(t)As(t)+Bs(t-t0) 例例 图图( (a a) )所示电路，其激励所示电路，其激励i is s的波形如图的波形如图( (b b) )所示。所示。 若以若以u uC C为输出，求其零状态响应。为输出，求其零状态响应。 解解 激励激励i is s可表示为可表示为 A)2t (2) t (2) t (is 根据电路的线性和时延不变性，其对应的零状根据电路的线性和时延不变性，其对应的零状 态响应为：态响应为： V)2t ( s2) t ( s2) t (u zsC s22 .01

36、0RC V616)(u C V) t ()e1(6) t ( s t 2 1 阶跃响应为：阶跃响应为： 零状态响应为：零状态响应为： )2t ()e1(12) t ()e1(12) t (u 2 2t 2 t zsC )2t ( s2) t ( s2) t (u zsC 10 ( ) 10 (0.5) S utt 求图示电路中电流求图示电路中电流 iC(t）例例 10k 10k us + - ic 100F uC(0-)=00.5 10 t(s) us(V) 0 5k 0.5us + - ic 100F uC(0-)=0 等效等效 )5 . 0(10)(10ttuS应用叠加定理应用叠加定理 5

37、 ( ) t 5k+ - ic 100F 5 (0.5)t 5k+ - ic 100F ( ) t 5k+ - ic 100F 63 100 105 100.5sRC 2 C d1 ( ) mA d5 t C u iCet t 2t ( )(1) ( ) C utet 阶跃响应为：阶跃响应为： 由齐次性和叠加性得实际响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为： 22(0.5) 11 5( )(0.5) 55 tt C ietet 22(0.5) ( )(0.5)mA tt etet 5 ( ) t 5k+ - ic 100F 5 (0.5)t 5k+ - ic 100F 22(0.5) ( )(0.

38、5) tt C ietet 00.5 ( )1 (0.5)0ttt 2 C t ie 22(0.5)2(0.5)1 C 2(0.5) (1) 0.632 ttt t ieeee e 0.5s ( )1 (0.5)1ttt 分段表示为：分段表示为： 分段表示为：分段表示为： 2 C -2( -0.5) mA (00.5s) ( ) -0.632 mA (0.5s) t t et it et t(s) iC(mA) 0 1 -0.632 0.5 波形波形 0.368 2 2(0.5) ( )(0.5) 0.632(0.5) t C t iett et 引用单位阶跃函数引用单位阶跃函数(t)(t)后

39、，在电路分析中后，在电路分析中 可能会遇到对可能会遇到对(t)(t)求导的问题。求导的问题。 (t)(t)是常量，当是常量，当t0t0t0时为时为1 1，因，因 此，在此，在t0t0t0时，时，d d(t)/dt=0(t)/dt=0。而在。而在t=0t=0时，时， (t)(t)不连续，具有高度为不连续，具有高度为1 1的阶跃，其斜率为无的阶跃，其斜率为无 界。为此，把界。为此，把(t)(t)的导数记为的导数记为(t)(t)，称为单位，称为单位 冲击函数。冲击函数。 1. 1. 单位冲激函数单位冲激函数 l 定义定义 ( )0 (0)tt ( )d1tt t (t) 1 0 单位脉冲函单位脉冲函

40、 数的极限数的极限 / 2 1/ t p(t) - / 2 1 0 0 lim( )( )p tt 1 ( ) ()() 22 p ttt l 单位冲激函数的延迟单位冲激函数的延迟 00 0 ()0 () ()d1 tttt ttt t (t-t0) t0 0 （1） l 单位冲激函数的性质单位冲激函数的性质 冲激函数对时间的积分等于阶跃函数冲激函数对时间的积分等于阶跃函数 0 0 ( )d ( ) 1 0 t t ttt t d ( ) ( ) d t t t 冲激函数的冲激函数的取样取样 性性 ( ) ( )d(0) ( )d(0)f tttfttf 00 ( ) ()d( )f tttt

41、f t 同理同理 (sin) ()d 6 tttt 1 sin1.02 6626 例例 t (t) 1 0 f(t) f(0) f(t)在在 t0 处连续处连续 f(0)(t) 注意 冲激响应冲激响应 激励为单位冲激函数时，电路中激励为单位冲激函数时，电路中 产生的零状态响应称为冲击响应。产生的零状态响应称为冲击响应。 冲激响应冲激响应 零状态零状态 R(t) )(te 3. 3. 单位阶跃响应和单位冲激响应的关系单位阶跃响应和单位冲激响应的关系 单位阶跃响应单位阶跃响应 单位冲激响应单位冲激响应 h(t) s(t) 单位冲激单位冲激 (t) 单位阶跃单位阶跃 (t) t t t d )(d

42、)( )( d d )(ts t th 激励激励 响应响应 ( )( ) S i tt 先求单位阶跃响应：先求单位阶跃响应： 求求: :is (t)为单位冲激时电路响应为单位冲激时电路响应uC(t)和和iC (t).例例 解解: ( )(1) ( ) t RC C utRet uC(0+)=0 uC()=R = RC iC(0+)=1 iC()=0 C ( ) t RC iet 再求单位冲激响应再求单位冲激响应, ,令：令： S( ) ( )i tt 令令 uC(0)=0 iC R iS(t) C + - uC d (1) ( ) d t RC C uRet t (1) ( ) t RC Re

43、t 1 ( ) t RC et C 1 ( ) t RC et C )()0()()(tfttf 0 C d ( ) d t RC iet t 1 ( )( ) tt RCRC etet RC 1 ( )( ) t RC tet RC uC R t 0 iC 1 t 0 uC t 0 1 C 冲激响应冲激响应 阶跃响应阶跃响应 iC t 1 1 RC 0 作业：作业： P236: 6-13、6-15 P234: 6-16、6-17 第六章第六章 一阶电路一阶电路 6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用 6.2 6.2 零状态响应零状态响应 6.3 6.3

44、阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应 6.4 6.4 零输入响应零输入响应 6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理 6.6 6.6 三要素法三要素法 6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态 6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 第二节讨论了零状态响应，即电容或电感的初始第二节讨论了零状态响应，即电容或电感的初始 状态为零，电路的响应仅由输入引起。状态为零，电路的响应仅由输入引起。 实际中，电容或电感可能具有初始值，因此，电实际中，电容或电感可能具有初始值，因此，电 路的响应除由激励引起的一部分外，还有一部分路的响应除由激励引起的一部分外，还有一部

45、分 是由电容或电感的初始值引起的。是由电容或电感的初始值引起的。 由初始值引起的响应部分的分析是把初始值看成由初始值引起的响应部分的分析是把初始值看成 一个电压源或电流源（见上一章），然后按照前一个电压源或电流源（见上一章），然后按照前 述同样的分析方法即可得到所需结果。述同样的分析方法即可得到所需结果。 从物理意义上看，零输入响应完全是依靠动态元从物理意义上看，零输入响应完全是依靠动态元 件的初始储能进行的。当电路中存在耗能元件件的初始储能进行的。当电路中存在耗能元件R 时，有限的初始储能最终将被消耗殆尽，零输入时，有限的初始储能最终将被消耗殆尽，零输入 响应终将为零。这是一切含有耗能元件的

46、动态电响应终将为零。这是一切含有耗能元件的动态电 路中零输入响应的特点。路中零输入响应的特点。 解得：解得： 0t e)0(u)t (u t cc 式中：式中： RCRC 为电路的时间常数为电路的时间常数，具有时间的量纲。，具有时间的量纲。 R R是从电容是从电容C C两端看进去的等效电阻两端看进去的等效电阻。 0c c c U)0(u 0)t (u dt )t (du RC C + R uc(t) uc (0 ) U0 i (t) + uR(t) 可求得特征根：可求得特征根： RC1s 通解：通解： Rc t c keu 代入初始条件，得代入初始条件，得 0 Uk （1 1）u uc c(t

47、)(t)只与电容电压初始值只与电容电压初始值u uc c(0(0+ +) )及电路的特性有及电路的特性有 关（即与关（即与有关，它有关，它反映了电路的特性反映了电路的特性）；）； （2 2）响应与初始状态成线性，称为零输入线性；）响应与初始状态成线性，称为零输入线性； （3 3）时间常数决定了响应衰减的快慢。）时间常数决定了响应衰减的快慢。越大，响应越大，响应 衰减越慢；反之，衰减越慢；反之，越小，响应衰减越快。越小，响应衰减越快。 0t e )0(u) t (u t cc 对对u uc c(t)(t)的讨论：的讨论： 0 2 0C 0 1 0C U135. 0eU)2(u U368. 0eU

48、)(u 0 4 0C 0 3 0C U018. 0eU)4(u U05. 0eU)3(u 工程上一般取过渡过程时间为工程上一般取过渡过程时间为 或或 作为过渡过程。作为过渡过程。 4 3 0t e )0(u) t (u t RR 电阻上的电压：电阻上的电压： 对于对于RCRC电路，任何支路上的零输入响应均具电路，任何支路上的零输入响应均具 有如下形式：有如下形式： RC 0t eftf t ,)0 ()( R L 0t e )0(u) t (u t LL 同样，电感上的电压为同样，电感上的电压为： L - - + - - uR uL iL R R + i iL L(0(0+ +) )=I0 R

49、 R为从动态元件两端看进去的等效电阻为从动态元件两端看进去的等效电阻,是是t t 0 0以以 后的后的时间常数。时间常数。 RC R L 0t e)0(f) t (f t 或或 所以，对于一阶电路，任何支路上电压和电流的零所以，对于一阶电路，任何支路上电压和电流的零 输入响应都有如下形式：输入响应都有如下形式： / 0 ( ) t L L R L i utLRI e t d d / 0 ( )0 t L R L i tI et t I0 iL 0 连续连续 函数函数 跃变跃变 电压、电流随时间也是按同一指数规律衰减的函数；电压、电流随时间也是按同一指数规律衰减的函数； 由此可见 -RI0 uL

50、 t 0 i L + uL R 同样，对于同样，对于RLRL电路，其零输入响应电路，其零输入响应： 响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与时间常数时间常数 有关有关; ; L大大 W=LiL2/2 起始能量大起始能量大 R小小 P=Ri2 放电过程消耗能量小， 放电过程消耗能量小，放电慢，放电慢， 大大 大大过渡过程时间长过渡过程时间长 小小过渡过程时间短过渡过程时间短 物理含义物理含义电流初值电流初值iL(0)一定：一定： 能量关系能量关系 2 0 R Wi R t d 电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕。直到全

51、部消耗完毕。 设设 iL(0+)=I0 电感放出能量：电感放出能量： 2 0 1 2 LI 电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量： 2 / 0 0 () t L R I eR t d 2 0 1 2 LI 2 2 / 0 0 t L R I Ret d 2 2 00 / ()| 2 t RC L R I Re i L + uL R 例：例：图示电路中的电容原来充有 图示电路中的电容原来充有24V V电压，求电压，求k闭合后，闭合后， 电容电压和各支路电流随时间变化的规律。电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 解：解： 这是一个求一阶这是一个求一阶RC电路的电路的 零输入响应问题，有：零

52、输入响应问题，有： + uC 4 5F i1 t 0 等效电路等效电路 C0 0 t RC uU et i3 S 3 + uC 2 6 5F i2 i1 0 24 V 5 420 sURC + uC 4 5F i1 20 24V 0 t c uet 分流得：分流得： 20 1 46A t C iue i3 S 3 + uC 2 6 5F i2 i1 Aeiii t 20 112 2 3 1 63 3 Aeiii t 20 113 4 3 2 63 6 例：例： t=0时时, ,开关开关S由由12，求求电感电压和电流及开关电感电压和电流及开关 两端电压两端电压u12。 6 1 6 s L R 解

53、：解： 246 (0 )(0 )2A 423/ /636 LL ii 3(24)/ /66R i + uL 6 6H t 0 iL S(t=0) + 24V 6H 3 4 4 6 + uL 2 12 2A 12V 0 tt L LL i ieuLet t d d 12 244244V 2 t L i ue i + uL 6 6H t 0 iL S(t=0) + 24V 6H 3 4 4 6 + uL 2 12 作业：作业： P237: 6-23 P238: 6-26、6-27 第六章第六章 一阶电路一阶电路 6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用 6.2

54、6.2 零状态响应零状态响应 6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应 6.4 6.4 零输入响应零输入响应 6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理 6.6 6.6 三要素法三要素法 6.7 6.7 瞬态和稳态瞬态和稳态 6.8 6.8 正弦激励的过渡过程和稳态正弦激励的过渡过程和稳态 若动态电路中既有输入，又有原始储能，则电若动态电路中既有输入，又有原始储能，则电 路中的响应称为全响应。全响应是由输入和原始储路中的响应称为全响应。全响应是由输入和原始储 能共同产生的，且可通过叠加方式求出。因此：能共同产生的，且可通过叠加方式求出。因此： 线性一阶电路的叠加原

55、理：线性一阶电路的叠加原理： 若初始时刻为若初始时刻为t=0t=0，则对所有，则对所有t0t0的时刻，有：的时刻，有： 1 1、全响应、全响应= =零状态响应零状态响应+ +零输入响应；零输入响应； 2 2、零状态响应具有线性性质，即、零状态响应具有线性性质，即单输入电路的零状单输入电路的零状 态响应与该输入成正比；态响应与该输入成正比； 3 3、零输入响应也具有线性性质，即零输入响应与原、零输入响应也具有线性性质，即零输入响应与原 始状态成正比始状态成正比。 上述结论对线性上述结论对线性n n阶动态电路也成立。阶动态电路也成立。 含动态元件电路全响应的求法：含动态元件电路全响应的求法： N

56、uc(0)=U0 N0 Uc(0)=U0 N Uc(0)=0 R USC + - uc i (t=0) 0C U)0(u t=0t=0时开关闭合，则电路的微分方程：时开关闭合，则电路的微分方程： SC C Uu dt du RC 初始条件：初始条件： 0CC U0u0u 可求得：可求得： S RC t cpchC Ukeuutu 代入初值，可求得代入初值，可求得 S0 UUk 如图所示如图所示RCRC电路，已知：电路，已知： )1()()( 00 RC t s RC t s Rc t sc eUeUUeUUtu 自由分量自由分量 uch （暂态分量）（暂态分量） 强制分量强制分量 ucp （稳

57、态分量）（稳态分量） 零输入零输入 响应响应 零状态零状态 响应响应 于是有：于是有： uc t Us Rc t s eUU )( 0 0 U0 U0- Us uc t U0 Rc t s eUU )( 0 0 Us U0- Us U0 US ,电容放电电容放电U0 US ,电容充电电容充电 分析：分析： 1、0t Ue )UU() t (u S t S0c 即：完全响应暂态响应稳态响应即：完全响应暂态响应稳态响应 自由分量强制分量自由分量强制分量 齐次解特解齐次解特解 上式反映了电路具有两种工作状态：过渡状态和稳上式反映了电路具有两种工作状态：过渡状态和稳 态。态。 当当U U0 0=U=U

58、S S时（即初始值等于稳态值），无暂态过程，时（即初始值等于稳态值），无暂态过程， 电路直接进入稳态。电路直接进入稳态。 )e1(UeU) t (u t S t 0c 2、 即：即： 完全响应零输入响应零状态响应完全响应零输入响应零状态响应 上式称为上式称为线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理。 线性动态电路的叠加定理：完全响应是由来线性动态电路的叠加定理：完全响应是由来 自输入和来自初始状态分别作用时所产生响应的自输入和来自初始状态分别作用时所产生响应的 代数和，即完全响应等于零输入响应代数和，即完全响应等于零输入响应加加零状态响零状态响 应。应。 0 00Iii LL R U S

59、L + - u L iL 而对于如图所示的而对于如图所示的RL电路，其微分方程为：电路，其微分方程为： R U i dt di R L S L L 可求得：可求得： R U keiiti S t L R LpLhL 代入初始值得：代入初始值得： R U Ik S 0 )e1( )RU(eIRUe)RUI () t (i L tR s L tR 0s L tR s0L 自由分量自由分量 iLh （暂态分量）（暂态分量） 强制分量强制分量 iLp （稳态分量）（稳态分量） 零输入零输入 响应响应 零状态零状态 响应响应 同样也有：同样也有： 若电路中含有多个独立电源和多个储能元件，若电路中含有多个

60、独立电源和多个储能元件， 则电路中任一电流或电压响应等于各独立源以及则电路中任一电流或电压响应等于各独立源以及 各储能元件原始状态单独作用时该响应的叠加。各储能元件原始状态单独作用时该响应的叠加。 作业：作业： P238: 6-29 P239: 6-32 第六章第六章 一阶电路一阶电路 6.1 6.1 分解方法在动态电路分析中的运用分解方法在动态电路分析中的运用 6.2 6.2 零状态响应零状态响应 6.3 6.3 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应 6.4 6.4 零输入响应零输入响应 6.5 6.5 线性动态电路的叠加定理线性动态电路的叠加定理 6.6 6.6 三要素法三要素法 6.7