数理统计的基本概念

1、第五章第五章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念 - -样本及抽样分布样本及抽样分布 研研究究对对象象的的全全体体 一、总体一、总体(population) ；统计总体统计总体以及取这些值的可能性以及取这些值的可能性 的全体的全体研究对象某个指标取值研究对象某个指标取值 )( , 及及其其分分布布；可可以以视视总总体体为为随随机机变变量量 .表表示示总总体体用用随随机机变变量量 X ),( 2 NX例如：总体例如：总体 二、样本二、样本(sample) ).size)(sample ,),( , 21 也称为样本容量也称为样本容量大小大小 称为样本称为样本其中其中称为一个样本称为一个样本 记

2、为记为取的一些个体取的一些个体从总体中按一定规则抽从总体中按一定规则抽 nXXX n 不放回抽样不放回抽样 有放回抽样有放回抽样 有代表性有代表性规则规则: 是总体分布是总体分布)(),(, 21 xFxFiidXXX n )(),( ),( 1 21 21 n i in n xFxxxF XXX 的分布函数：的分布函数： . ,(0,1),1 21 的联合概率密度的联合概率密度 写出该总体样本写出该总体样本：总体：总体例例 n XXXNX 三、统计量三、统计量(statistic) .),(, , 21 的函数的函数即统计量是样本即统计量是样本一种加工一种加工 而对样本的而对样本的的某一特性

3、的某一特性统计量是为了刻画总体统计量是为了刻画总体 n XXX 常见统计量常见统计量 n i i X n X 1 1 样本均值样本均值 n i i n i i XnX n XX n S 1 22 1 2 2 )( 1 1 1 1 样本方差样本方差 n i i XX n SS 1 2 2 1 1 样本标准差样本标准差 5.2抽样分布抽样分布 n i i X 1 22 定义定义5.2设设X1，X2，Xn相互独立同服从标准正相互独立同服从标准正 态分布态分布N(0,1)，则称随机变量，则称随机变量 服从自由度为服从自由度为n的的分布，记为分布，记为 2 )( 22 n 其他其他0 0 2 2 1 )

4、( 22 1 2 xex n xf xn n 分布的概率分布密度为分布的概率分布密度为)( 2 n 一、一、 分布分布 2 )( )(),( )1( 21 22 2 2 1 2 2 2 12 22 21 22 1 2 nn nn 则则 相互独立相互独立与与且且若若 分布的可加性分布的可加性 分布具有以下性质分布具有以下性质: )( 2 n nDnEn2)(,)(),( )2( 2222 2 则有则有若若 分布的数学期望和方差分布的数学期望和方差 ).()()( )( ),(),10( 22 22 22 或分位点或分位点分位数分位数分布的上分布的上为为的数的数 称满足条件称满足条件设设对于给定的

5、正数对于给定的正数 nn nP n zZP 其中其中ZN(0,1)。 标准正态分布的分位数也类似定义，标准正态分布的标准正态分布的分位数也类似定义，标准正态分布的 上上分位数记为分位数记为,它满足它满足 z 对不同的对不同的分布的上分布的上分位数分位数已制已制 成表格，可以查用。成表格，可以查用。 )(, 2 nn )( 2 n )(xf x O )( 2 n 二、二、t分布分布 定义定义5.3设设XN(0,1),Y,且且X与与Y相互独立，相互独立， 则称随机变量则称随机变量 n Y X T 服从自由度为服从自由度为n的的t分布，记为分布，记为Tt(n)。 )( 2 n t(n)分布的概率密度

6、函数为分布的概率密度函数为 t n t n n n tf n n )1( ) 2 ( ) 2 1 ( )( 2 12 t(n)分布的概率密度函数分布的概率密度函数关于关于t=0单峰对称单峰对称 )(tfn )(tf t O )(正正态态 1 n 10 n 当当n很大时很大时t(n)分布接近于标准分布接近于标准 正态分布，利用正态分布，利用函数的性质函数的性质 可以证明可以证明 e t tfn n 2 2 2 1 )(lim 当当n较小时，较小时，t(n)分布与分布与N(0,1)分布之间有较大差异。分布之间有较大差异。 t(n)分布的上分布的上分位数记为分位数记为， 即即满足满足 )(nt )(

7、nt )(ntTP )(, 10(ntT t分布的上分布的上分位数可由附表查得。分位数可由附表查得。 当当n45时，有时，有 znt )( t O)(nt )(tfn 定义定义5.4设设且且X与与Y相互独立，相互独立， 则称随机变量则称随机变量 )(),( 2 2 1 2 nYnX 2 1 / / nY nX F 服从自由度为服从自由度为(n1,n2)的的F分布，记为分布，记为FF(n1,n2) 其他其他0 0)1()( ) 2 () 2 ( ) 22 ( )( 2 2 1 1 2 2 1 2 1 21 21 211 xx n n x n n n n nn nn xf nnn F 三、三、F分

8、布分布 F(n1,n2)分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为 若若FF(n1,n2)，则，则 ),( 1 12 nnF F ),(, 10(),( 2121 nnFFnnFFP 的上的上分位数记为分位数记为，即它满足，即它满足),( 21 nnF ),( 21 nnF )(xfF x O ),( 21 nnF 若若FF(n1,n2),则则),( 1 12 nnF F ),( 11 1 ),( 11 ),(1 211 211 211 nnFF P nnFF PnnFFP ),( 11 211 nnFF P于是于是 ),( ),( 1 12 211 nnF nnF 所以所以 ),( 1 ),(

9、 12 211 nnF nnF 即即 ),( 1 ),( 12 211 nnF nnF F分布的上分布的上分位点有如下的性质：分位点有如下的性质： 例例5.4查表求下列概率表达式的临界值查表求下列概率表达式的临界值w. 05. 0)8()3( 05. 0)8()2( 95. 0)8()1( 2 wtP wtP wP 5.3正态总体的常用抽样分布正态总体的常用抽样分布 一、单个正态总体的样本均值和样本方差的分布一、单个正态总体的样本均值和样本方差的分布 1 . 5定定理理 则有则有方差方差分别为样本均值与样本分别为样本均值与样本 的样本的样本为来自总体为来自总体设设 , ,),(, 2 2 21 SX NXXX n ),()1( 2 n NX )1( )1( )2( 2 2 2 n Sn )1( / )3( nt nS X N(0,1) /n X 即，即， 相相互互独独立立与与 2 )4(SX 二、两个正态总体的样本均值差和样本方差比的分布二、两个正态总体的样本均值差和样本方差比的分布 3 . 5定定理理 ,)( 1 1 ,)( 1 1 , 11 ,),(),( , 11 12 21 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 11 21 2 22 2 11 2121 则有则有 和