重力异常的数据处理

1、布格重力异常包含了从深部到地表所有密度 不均匀体的影响，不同地质因素引起的异常 无论从幅度、分布范围，变化快慢等特征看 均有所不同， 返回 第三节 重力异常的平滑 通过野外实测所获得的观测数据，以及在室 内进行各项校正中总是或多或少地存在误差， 从而使所得到的异常不可能如理论曲线那样 光滑;更重要的是，实测异常往往是由浅到深 多种地质因素产生的叠加异常。因此，在对 重力异常进行解释之前，首先要对实测异常 进行数据处理，其目的是: 重力异常的数据处理 1消除因重力测量和对测量结果进行各项校 正时引进的一些偶然误差或与勘探目的无关 的某些近地表小型密度不均匀体的干扰; 2从叠加的异常中划分出与勘探

2、目标有关 的异常 3进行位场转换以满足解异常反问题的需 要，例如将g转换成vzz、 vxz、vzzz等。 常。 第三节 重力异常的平滑 对原始重力异常在解释之前作的平滑处理 是为了去掉数据中某些偶然误差，及由地表 密度分布不均匀体引起的杂乱无章的重力效 应，获得有意义的异常。 一、剖面异常的平滑法 (一)徒手平滑法 人们依据重力异常剖面上的变化应具有一定的连 续、渐变的规律，徒手修改（平滑）某些明显的突 变点。这种做法的要求是: 1平滑前后各相应点的重力异常值的偏差不应 超过实测异常的均方误差； 2尽可能使平滑前后剖面曲线所围成的面积相 等，重心不变。 (二)最小二乘平滑法 尽管偶然误差会使异

3、常曲线不光滑而成 锯齿状，但并不会改变异常曲线变化的基本 趋势;我们可以用一个多项式来拟合这种变 化趋势。 1.线性平滑法 在重力异常剖面图上，若在一定范围内 异常按照线性关系变化则在这个范围内某一 点经平滑后的异常值可用线性方程来表示 ) 19()( 10 xaaxg 式中的a0和a1为待定系数，可用最小二乘方 法解出。若该点原始值为g(xi)。它的平滑值 为 , 可列出 2 01 ( )min(92) m i im aa xg x 式中为偏差的平方和。利用微分求极值的方法 将式 (9-2)对a0 和a1求导数，令其为零得 )( i xg 若xi 以剖面上的点距为单位，即x=1, 取点方式如

4、图9-10所示,则式9-3式中的xi=0， 1，2 m,把它们代入式（9-3）可解出 01 0 01 1 2( )0 2( )0 m ii im m iii im aa xg x a aa xg xx a (9-3) m mi i m mi ii m mi i x xgx a m xg a 2 10 )( , 12 )( 链接 链接2 Fanhui 图9-11 由9-1式可知，当x=0时， m mi i xg m g)49()( 12 1 )0( 由此可见，当m=1时，得三点平滑公式 )59()1 ()0() 1( 3 1 )0(gggg 0 (0)ga 同理可得5点、7点、9点等平滑公式。

5、实际工作中究竟采用几点平均最合适，这需 要根据乎滑的目的而定。一般说参加平滑的 点越多，得出的曲线越平缓。 图9-11就是线性平滑效果的例子。图9-11 中，参加平滑的点数越多，高频信息逐渐减 弱。即短周期开始消失。 2. 二次曲线平滑法 若重力异常剖面曲线在一定范围内可视为二 次曲线时，则在这个范围内，平滑公式可用 下面的二次曲线方程来表示;即 2 210 )( iii xaxaaxg 同样可以使用最小二乘法求出上面方程中的系数。即 2 012 ( )min(96) m iii im aa xa xg x 二次曲线平滑公式 应用导数求极值的方法，将式 (9-6)分别对a0 、a1 和a2 求

6、偏导数，并令其等于零，得 可由上述方程组解出a0 ，若取m=2，点距 x=1,选取被平滑的点做坐标原点，求得 )79()2()2(3 )1()1 (12)0(17 35 1 )0( 0 gg gggag 同理可得七点二次平滑公式为，重力异常平滑中， 很少使用高于3次以上的平滑公式。 图9-12 为各次曲线平滑的例子 )89()3()3( 2 )2()2(3)1() 1 ( 6)0(7 21 1 )0( gg gggggg 平滑处理 (a)线性平滑；（b）二次平滑；（c）三次平滑 图中的数字表示平滑时的取点数 二、平面异常的平滑法 平面异常平滑法是根据测区内某一小 面积范围的已知重力异常值的变化

7、趋势， 建立一个拟合多项式。某一点的平滑值可 用拟合值代替。由于拟合多项式含两个变 量，所以该多项式代表了各种曲面。 （一）线性平滑公式 在重力异常平面图的一定范围内，若异 常形态呈简单线性变化时，可对某一点（x,y） 的异常值用下面方程来拟合表示 )99(),( 210 yaxaayxg 当 x=0, y=0时，可知 0 )0 , 0(ag 下面给出五点和九点平滑公式 )107 . 1 ()1 , 0() 1, 0()0 , 1( )0 , 1 ()0 , 0( 5 1 )0 , 0( ggg ggg 九点平滑公式 九点平滑公式 其中g(i,j) 是流动坐标中x=i ,y=j点的原始异常 值

8、。线性平滑取点的分布如图9-13所示。 )117 . 1 ()1, 0()2, 0()0 , 1()0 , 2( )2 , 0() 1 , 0()0 , 1 ()0 , 2()0 , 0( 9 1 )0 , 0( gggg gggggg 返回 返回 (二) 二次曲面平滑公式 在平面图上，如果重力异常的分布在一定范围内可 以用二次曲面拟合时，则平滑后的 异常值g(x,y)可 用下面方程来表示，即 当x=0,y=0时，a0 值便是相应点的平滑值。a0 也是 利用最小二乘法来确定， 下面直接给出常用的几个二次曲面平滑公式的系数。 )129(),( 2 54210 2 yaxyaayaxaayxg x

9、 九点二次曲面平滑（p199） 二十五点二次曲面平滑 四十九点二次曲面平滑(p200) 上述曲面平滑取点方式均见图9-13所示。 研究表明、对于不同阶次，不同点数的平 滑公式，其平滑的效果有以下结论， 见图9-14 1当点数一定，阶次越低结果越平滑； 2阶次一定，点数越多结果越平滑 3，不同阶次和不同点数的结合有时可能得 到相似的平滑效果; 所以实际工作中在能达到目的的前提下， 尽量利用较少的点参加平滑。这样既能节省 计算工作量，又可减少周围点的损失。 上面介绍的平滑法是利用有限点的异常值计 算出某一点的平滑值。若想平滑一条剖面或 一个平面上各点的值，可以依次在所有点上 进行滑动计算而求得。

10、平滑本意是为了消除研究点的偶然误差， 但本着数据处理的目的，平滑法是大点距平 滑的结果可以用来研究区域场形态，起到压 制浅部干扰的作用（接第四节） (二)地壳深部的因素 根据天然地震及地壳测深资料，地壳结构的 模式大体如图9-3所示。 图9-3 地壳结构的模式简图 在大陆区从地表直至前震旦系结晶基底的 顶面，是厚度从零到十几公里的沉积岩层， 结晶基底以下几十公里的范围内，是花岗岩 类和玄武岩类的物质层，再往下则是橄榄岩 类，在不同岩类的各分界面上，上下两侧地 震波传播速度有明显的差异。莫霍洛维奇(简 称莫霍面)作为地壳下玄武岩类与橄榄岩类 之间的界面，它在全球范围内基本上可连续 追踪；花岗岩与

11、玄武岩类之间也是一个密度 分界面，被命名为康腊德界面.但该面在大陆 区不能连续追踪，在大洋区，随花岗岩类的 消失而消失。 地壳厚度的变化 (即莫霍面的起伏)、壳内各 层物质密度和上地幔物质密度的横向变化对 地表重力分布的影响，被称为地壳深部因素 的影响。上地幔密度横向不均匀的影响是十 分缓慢，大范围的、平均的布格异常特征主 要是对应着莫霍面起伏(即地壳厚度变化)的。 图9-4为横贯我国东西向、重力异常和莫 霍面深度对照图。可见，其异常幅值大、异 常范围大，异常变化单调、平缓，因而较易 识别和区分。 图9-4 拉萨-上海平均布格异常与莫霍面深度对照 (二)结晶基岩内部的密度变化 由于经历长期的地

12、壳运动及岩浆作用， 使结晶基底内部的物质成分和内部构造 变得十分复杂，因而其密度在横向上和 纵向上的变化都很大，在基底出露区或 沉积盖层不太厚的地区，这种密度的变 化，会使地表的重力产生相应的变化， 其幅度可达数百gu.图9-5就是一个很典 型的实例。 (二)结晶基岩内部的密度变化 图9-5 重力异常与岩层密度变化 (三)结晶基底顶面的起伏 基底与上覆沉积岩系通常都存在一定的密度 差，在基底内部岩性较均匀的情况下，基岩 顶面的起伏能形成较大范围内的重力高低变 化，据此可以成功地圈定那些范围较大的、 较大幅度的隆起或凹陷构造单元。 (四)沉积岩的构造和成分变化 在沉积岩系比较发育的地区，沉积岩系

13、的内部 往往存在多个密度分界面，如新生代疏松沉积物与 下伏老地层之间;中新生代的陆相地层与古生代的海 相地层之间;古生代上部砂页岩和下部碳酸岩之间都 可能存在密度差异。当这些界面受地壳运动影响而 产生:褶皱、断裂时，在具备足够大的剩余质量时， 将产生明显的重力异常，这为应用重力寻找局部构 造奠定了基础。 (五)其它密度不均匀因素 大多数金属矿床 (如铁矿、铜矿、铬铁矿 等)，特别是致密状的，其密度都比围岩大， 密度差通常超过0.5g/cm3 ; 某些非金属矿(如岩盐、煤炭等)或侵入体， 其密度一般比围岩小。因此，当这些矿体或 地质体具有一定规模，埋深又不大时能在地 表形成可观测到的局部异常。

14、第二节 叠加重力异常 叠加异常可以改变研究对象产生的异常 的形态、幅值和范围。如图9-6所示。 (一)两个相邻球体异常的叠加 图9-6为两个相距很近的球体产生的异常 剖面图。从g曲线看，与单一球体产生的异 常无法区分，而重力异常的高阶导数则可以 将它们区别开来。 返回 图9-6 （二)单斜异常与球体异常的叠加 单一球体在地面形成的是不等间距的同 心圆状异常平面图，一旦叠加在一个水平梯 度为常数的单斜异常上，情况就大不一样了。 当球体（0）异常的水平梯度值小于单斜 异常的水平梯度时，叠加的异常不可能形成 有圈闭的异常，平面等值线仅是向异常的降 低 的方向扭曲， 如图9-7中(a)图所示; 当球体

15、异常的水平梯度大于单斜异常水平 梯度时，异常中心附近部位才能形成小的圈 闭(如9-7中(b)图所示)； 当球体的0时，叠加后的异常等值线是向 异常升高的一方扭曲，如(c)图所示 图9-7 球体异常与单斜区域异常的叠加 图9-8 铅垂台阶异常与单斜区域异常的叠加 二、区域异常和局部异常 区域异常是叠加异常中的一部分，主要是 由分布较广的中、深部地质因素所引起的重 力异常。这种异常特征是异常幅值较大，异 常范围也较大，但异常梯度小。 局部异常是叠加异常中的一部分，主要是指 相对区域因素而言范围有限的研究对象引起 的范围和幅度较小的异常，但异常梯度相对 较大。 由于局部异常是布格异常中去掉区域异常

16、后的剩余部分，局部异常也称为剩余异常。 区域异常和局部异常是相对而言的，绝对 的划分标准，应视研究的问题而言。由图 9-9可知，相对异常A而言，异常B都可以 看成区域异常;而相对C而言A和B都可以 认为是它的局部异常。 返回 第四节 图解法 根据叠加的布格异常形态，利用区域异 常和局部异常特征上的差异，凭经验估算区 域异常梯度大小及变化，徒手画出直线、曲 线或它们的平面组合线，用来分别代表剖面 上的区城异常或平面上区域异常的等值线， 然后从每一布格异常中减去该点的区域异常 值，就得到各点的局部异常 (剩余异常)。 图9-15是在剖面上用直线代表区域异常划 分叠加异常的例子; 图9-16是在剖面

17、上用曲线代表区域异常划 分叠加场的例子。 图9-17是用一组平行直线表示区域场划分 叠加场的例子。 图9-18是用一组平滑曲线代表区城异常划 分出局部异常的例子 返回 图9-15 以直线代表区域异常分场 返回 图9-16 以曲线代表区域异常分场 返回 图9-17 以平行直线族代表区域异常分场 图9-18 以平滑曲线代表区域异常分场实例 图解法在区域异常趋势比较明显和图解法在区域异常趋势比较明显和 局部异常较为突出的情况下可以获局部异常较为突出的情况下可以获 得较好的效果。通过计算获得相应得较好的效果。通过计算获得相应 的局部异常和区域异常的局部异常和区域异常。 第五节第五节 平均场法平均场法

18、平均场法的基本原理是，在一定范围内 (剖面上)或一定面积内(平面上)的区域异常可 视为线性变化的， 平均重力异常值可做为该范围或该平均重力异常值可做为该范围或该 面积的中心点处的区域异常值面积的中心点处的区域异常值; ; 局部异常的范围应等于或小于求平局部异常的范围应等于或小于求平 均异常时所选用的范围。均异常时所选用的范围。 平均场细分为以下几种方法。平均场细分为以下几种方法。 在异常剖面上在异常剖面上, ,定义下式定义下式: : 为为x x点的重力异常偏差值点的重力异常偏差值. . g(x+L),g(x-L), g(x)g(x+L),g(x-L), g(x)均包含区域异常均包含区域异常 和

19、局部异常和局部异常, ,于是于是(9-13)(9-13)还可写成还可写成 ()() ( )( )(9 13) 2 g xLgxL g xg x 一、偏差法 )149( 2 )()()()( )()()( LxgLxgLxgLxg xgxgx 局区局区 局区 当满足区域异常在当满足区域异常在(x-L)(x-L)到到(x+L)(x+L)的范的范 围内呈线性变化的条件时围内呈线性变化的条件时, , )159( 2 )()( )( LxgLxg xg 区区 区 把把(9-15)(9-15)代入代入(9-14)(9-14) )169( 2 )()( )()( LxgLxg xgxg 局局 局 若点距L大

20、于局部异常范围的一半时,则 )()( )169( 0)()( xgxg LxgLxg 局 局局 则为于是式 这样就可以利用偏差值代替局部重力异常值. 二、圆周法 圆周法圆周法 ( (多边形法多边形法) ) 计算时首先按图计算时首先按图9-209-20做一个取数量做一个取数量 板。量板是在以计算点板。量板是在以计算点0 0为圆心，以为圆心，以r r 为半径画的圆周上等间距取数。其偏为半径画的圆周上等间距取数。其偏 差值的数学表达式为差值的数学表达式为 式中 为圆周上的为圆周上的N N个取数点上的重个取数点上的重 力异常力异常平均平均值。值。 ( )g r 1 1 (0)(0)( )(0)(9 1

21、7) N i i ggg rgg N 同理，圆周法效果好坏应取决于同理，圆周法效果好坏应取决于r r的大的大 小，常常用试验的方法来确定它的最佳小，常常用试验的方法来确定它的最佳 半径。半径。 图9-20 圆周法取数量板 实际工作时在重力异常平面等值线图中， 挑选几个有局部异常的地区，分别用不同半 径的圆周，取得相应的平均异常值，然后以r 为横坐标，以 为纵坐标，画出它们的关 系曲线 .(见图9-21)， )(rg 如果测区内的异常确实只有两级异常，即局 部异常和区域异常的话,量板平均半径的最佳 值r就可以根据曲线的水平渐近线的位置来确 定，如图 9-21中(a)所示。 如果测区内存在三级或多

22、级异常，则r值可以 根据g(r)曲线的转折处的位置来确定，见图9- 21中(b)图 最佳半径的选择 图9-21 最佳半径选择图 三、网格法 将布格异常平面图以一定的网度分成 正方形网格状，网格大小 一般为重力测网 格距的数倍至十几倍，然后以网格中各结 点重力异常平均值作为网格中心点的区域 异常值，依据各网格中心点的区域异常值 可以勾绘区城异常等值线图，从而结点上 的区域异常便能用内插法求得，相应的局 部异常也就可以获得了。 另外一种计算是采用同一网格的滑动方法求 出各结点上的区域异常和局部异常。 一般来说，较大的滑动平均值反映较深 的区域异常信息，反之亦然。 因此，应按需要压制的局部异常范围大

23、 小来选择窗口的大小。 这种方法最适用于计算机来处理，因而应用 较广泛。特别指出的是，这类方法应用中， 会带来所谓虚假异常的问题，见图9-22. 用(-L,L)窗口来计算A点的局部异常时不会产 生多大问题 图9-22 产生虚假负异常原因示意图 虚假异常的消除 但滑动到B点时，因为有 所以在B点求得的异常就成了负值，这就是不 应有的虚假异常，而人工用图解法勾绘区域 异常时，可以避免出现这一问题。 布平 BB gg 处理虚假异常的一种方法处理虚假异常的一种方法: : 从布格异常中减去第一次求得的剩从布格异常中减去第一次求得的剩 余异常后，再对其剩余部分重新用（余异常后，再对其剩余部分重新用（- -

24、 L, L)L, L)窗口求其剩余异常，将第二次求窗口求其剩余异常，将第二次求 得的剩余异常，再加到原剩余异常中得的剩余异常，再加到原剩余异常中 去，如此反复，直到基本消除虚假异去，如此反复，直到基本消除虚假异 常常为止为止。 第六节第六节 重力高次导数法 一、诺依曼无限平面外部问题的解一、诺依曼无限平面外部问题的解 (1)(1)由观测平面上的重力异常值由观测平面上的重力异常值 g g换算换算 出同一平面上的出同一平面上的v vxz xz 和 和v vzz zz、 、v vzzz zzz 等各阶 等各阶 导数导数; ; (2)(2)由观测平面上的重力异常值由观测平面上的重力异常值 g g换算换

25、算 出任意高度上的出任意高度上的 g ,vg ,vxz xz ,v ,vzz zz ,v ,vzzz zzz 值。 值。 由平面上的重力异常g值换算高于这 个平面上任意点的g及其各阶导数值的 理论是以诺依曼无限平面外部问题为基 础。 从位场理论可知，一个未知的异常体在观测 平面上所引起的重力异常若已知时，则可将 这个观测面展布成一个无限大而面密度不均 匀的等效物质面，使这个面上各点的面密度 (，0)满足下式 )189()0 ,( 2 1 )0 ,( g G 这时,在其外部空间任意点引起的重力异常及 其各阶导数都将与原来场源在该点产生的异 常各阶导数是等效的。 由引力位的定义可知，一个密度分布

26、不均匀的无限大物质面，在其上部空间任意 点A的引力位为 12 222 ( , ,0) ( , ,)(9 19) ()()(0) d d V x yzG xyz 将(9-18)代入式(9-19)可得 12 222 1( , ,0) ( , ,)(920) 2 ()()(0) gd d V x yz xyz 将式(9-20)对z求偏导数,则可得该点的重 力异常表达式 222 3/2 ( , ,) ( , ,0) (921) 2()() V g x yz z zgd d xyz 同理，还可计算出该点所在平面上的同理，还可计算出该点所在平面上的V Vxz xz v vzz zz及 及v vzzz zz

27、z及其它各阶导数。 及其它各阶导数。 若令式若令式 (9-21)(9-21)式中式中z=0z=0时，便又可计时，便又可计 算出原来重力异常所在观测面上的算出原来重力异常所在观测面上的V Vxz xz， ， V Vzz zz和 和V Vzzz zzz了。 了。 为了便于应用，可将式为了便于应用，可将式 (9-21)(9-21)改用柱坐改用柱坐 标来计算，并把计算点选在坐标原点的标来计算，并把计算点选在坐标原点的 正上方、高度为正上方、高度为h h的的P P点，见图点，见图9-24,9-24, 图9-24 位场转换计算时的坐标选择 0 2 0 2/322 )229( )( )0 ,( 2 )0 ,

28、 0( hr rdrdrgh hg 对于二度体而言，式（9-21）可变为 )239( )0 ,( ), 0( 22 h dgh hg 这时式 (9-21)则变为 二、重力异常的导数换算 (1) 重力异常的导数在不同形状地质体上 有不同的特征，有助于对异常的解释和分类; (2) 重力异常的导数可以突出浅而小的地 质体的异常特征而压制区域性深部地质因素 的影响，在一定程度上可以划分不同深度和 大小异常源产生的叠加异常，且导数的次数 越高，这种分辨能力就越强 (见图补); (3)重力高阶导数可以将几个互相靠近、埋深 相差不大的相邻地质因素引起的叠加异划分 开来。 这些功能主要是因为导数阶次越高，则

29、异常随中心埋深加大而衰减越快，从水平方 向看，基于同样道理，阶次越高的异常范围 越小，因而无论从垂向看或从水平方向看， 高阶导数异常的分辨能力都提高了。 （一）vxz 的计算 由Vxz 的物理意义可知，实际是vz 在其x方向 的变化率，其表达式可为 式中(Vxz)0 表示两点相距为2x时，中间点0 的平均变化率， x xgxg vxz 2 )()( )( 0 这只能近似代表水平梯度这只能近似代表水平梯度. . 若想提高计算精度若想提高计算精度, ,可用最小二乘法对实可用最小二乘法对实 测值进行函数拟合测值进行函数拟合, ,然后对然后对x x求导数即可求导数即可. .下面下面 具体介绍其原理。具

30、体介绍其原理。 设坐标原点定在计算点上，并令设坐标原点定在计算点上，并令 m k k k xaxg 0 )249()( )259()()( 0 1 m k k kxz xkaxgxv 对上式求对上式求x x的导数的导数 返 回 返 回 根据（9-24），在x=0点的g对x的导数是 vxz(0)=a1，当(1)m=2时，n=5时计算的公式 如下 1 1 (0) 10 1 2( 2) 5 xz Vagxgx x gxgx x （9-26） 上述两式中的x为取数点距。 1 3 (0)33 28 11 2( 2)()() 1428 xz Vagxgx x gxgxgxgx xx (2)当m=2,n=7

31、时计算的公式如下 （9-27） （二）vzz（gz）的换算 式中个（0，0，0）为计算点上的重力异常。Ki为 各环系数。具体计算时，借助同心圆取数量板，若 量板的半径为ri 和ri+1 ，取数半径为 并以km为单位，则各环相应系数见 表9-2. 1 ii rrr )339()0 ,() , 0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(V 1 1 1 m i iiizz rrggk 将表中的ki 依次代入(9-33)中,得具 体计算vzz 计算公式（9-34）。 对于二度异常，可用类似方法求出其近似 公式为(9-35) （三）vzzz的换算 已知在场源外部,引力位是空间坐标的调和 函数,满足拉普拉

32、斯方程 222 2 222 0 VVV V xyz 对于 由于 V z 222 2 222 ()0 VVVV Zzxyz 所以在场源外部空间有 333 223 0 VVV xzyzz 其中 代入上式解得 323232 222232 , VgVgVg xzxyzyzz 222 222 ggg zxy （9-36） 至今导出的计算公式很多,基本原理相似,常用 公式为艾勒金斯第II公式、第I公式和第III公式, 介绍如下: 若用符号 表示以坐标原点0为圆心,R为半 径的一个圆周上重力异常的平均值,则 ( )g R 2 0 1 ( )( ,)(937) 2 g Rg Rd 式中g(R,)为圆周上某一点

33、的重力值,由于它 是坐标位置的调和函数,因此,当R不大时, g(R,)可以写成对坐标原点的台劳展开式 0 0 222 22 22 000 34 34 34 0 ,( , )(0,0) 1 2 2! 11 . 3!4! gg g Rg x ygxy xy ggg xyxy xyx y gg xx xx 由于x=Rcos, y=Rsin ,代入(9-37)式,直接 积分后得到 其中R的奇次项积分后代入上下限均已消 去.a0 a1 a2的表达式为 24 012 ( ).(938)g Raa Ra R 0 222 1 222 000 444 2 4224 000 (0,0) 11 (939) 44 1

34、 2 64 ag ggg a xyz ggg a xxyy 这样计算原点0处的重力垂向二次导数的问题, 就变成了确定(9-39)中的系数a1了,求得a1再 乘上（-4）,就得到计算点的gzz，即 2 1 2 4 zz g ga z 1 2 1 ( )(0)ag Rg R （9-40） 当采用不同方法确定系数a1时,就可以得到不 同的计算公式. 1.哈克公式 在公式(9-38)中略去高次项则有 22 011 ( )(0)g Raa Rga R 即 由此导出哈克公式为 1 2 1 ( )(0)ag Rg R 1 2 4 4(0)( )(941) zz gagg R R 2.艾勒金斯公式 同理,当略

35、去(9-38)中的高次项,得 并分别取半径为R, 22 011 ( )(0)g Raa Rga R 2 , 5RR 的圆周上的值 代入上式,得到 ( )gR 得 0 2 01 2 01 2 01 (0) ( ) (942) ( 2 )2 ( 5 )5 ga g Raa R gRaa R gRaa R 用最小二乘法从以上四式中解出a1,再乘以(- 4),即得艾勒金斯第II公式 若将式g(0)=a0代入(1.7-58)中的后三式,并用 最小二乘法求解a1,又得到I公式 2 1 16 (0)8 ( )245 (943) 28 zz ggg RgR R 2 1 64 (0)8 ( ) 16 ( 2 )

36、405 )(944) 60 zz ggg RgRgR R 当外围的重力异常值对计算结果影响较小,故 在最小二乘法运算时,对半径 的圆周只给以1/2的权时,得到第III公式为 5R 2 1 44 (0)_16 ( ) 12 ( 2 )48 ( 5 )(945) 62 zz ggg RgRgR R 3.罗森巴赫公式 考虑了重力4次导数的影响，并用克莱姆法则 求gzz值，最后得到 2 1 96 (0)72 ( )32 ( 2 )8 ( 5 )(946) 24 zz ggg RgRgR R 由上可知，各种公式的推导，其原理一致， 都采用级数逼近的近似解，只在处理方法上 各不相同，从而计算的效果也不同。

37、罗森巴 赫公式在推导中因保留了四次导数项，且直 接解出gzz ，故具有精度较高的优点，但同时 对局部干扰也十分敏感， 故一般适用于精度较高情况的重力资料处理; 而艾勒金斯公式只保留了R2 项，又用最小二 乘法求解，起了平滑的作用，故计算结果精 度较低，异常幅值衰减很大，但受局部干扰 的影响也小，因而适应精度较低、较平缓的 异常的处理。这些公式的取数点位置见取数 量板图9-25 图9-25 计算gzz的取数量板 （图9-26） 为了便于讨论，把各计算公式用一般形式来表 示为 一般来说，计算精度较高的公式则重力异常传递 误差较大，因而受局部干扰的影响较大，反之， 计算精度低的公式传递误差较小。 )

38、479(.)()()0( 2211 2 0 RgaRgaga R C g zz 两者是互相矛盾的，这是因为在重力异常中两者是互相矛盾的，这是因为在重力异常中 有用成分与干扰成分的有用成分与干扰成分的“频谱频谱”并不是截然并不是截然 分开的，我们只能权衡利弊，在满足一定精分开的，我们只能权衡利弊，在满足一定精 度下，尽可能地发挥度下，尽可能地发挥g gzz zz 计算公式的特长。 计算公式的特长。 由于由于g gzz zz 对于叠加重力异常的分辨率较高， 对于叠加重力异常的分辨率较高， 因而具有较好的突出被区域场掩盖、甚至被因而具有较好的突出被区域场掩盖、甚至被 歪曲了的浅部地质体引起的次级异常

39、的能力。歪曲了的浅部地质体引起的次级异常的能力。 (四)高阶导数gzz的应用 图9-27是江苏某铁矿区gzz 异常实例。我 们从g平面等值线(a)图上很难发现次级 断裂F1 ，尽管对F2 有些显示，但位置也 难确定;但是从gzz 的(b)图上进行解释就容 易多了，从中还可以分析出这两条断层的 性质并不相同，F1 主要为岩层的水平错 动;而F2 则主要为两侧岩层的相对升降。 另外在应用gzz 时，如果量板的基本半径R 小于地质体埋深h时，则不同半径R计算的 的gzz 曲线的两侧会出现交点，在剖面上交 点的水平距离与矿体宽度相当。 图9-28是江苏某矿体上的实例。此外根 据（R/h）与gzz计算值

40、近似程度之间的关系， 可以大致判别不同深度地质体的分布。 这是因为埋深浅的局部异常源如矿体等，由 于其h不大，R增大时，(R/h)的值明显增大， 致使算得的gzz幅值显著减弱，甚至消失。而 埋深较大的异常源，如基岩隆起， 由于h很 大，同样加大半径R时，(R/h)的值相对变化 较小 所以在gzz异常上深部地质因素减弱 并不明显。图9-29为某区的布格重力异 常及其高阶导数图。 其中(a)是布格异常图， (b)、(c)、(d)是用艾勒金斯公式以半 径R分别为400m,200m和l00m 进行计 算的结果。 从中看出R=400m时，即半径较大时，gzz异 常总体为北东向异常，可 反映矿区北东向基

41、底构造形态。 R=200m时，gzz结果表明，在原来北东向异 常上叠加了一 个北东向封闭异常，可认为它 反映了基岩起伏。 R=100m时，封闭异常等值线更为精细，并 显示有东西向的次级异常，对比地质资料发 现，该次级异常恰与已知矿体吻合。这表明 计算gzz时，选用不同大小的半径，则能反映 不同深度上的信息，且半径越大反映的越深。 图9-27 江苏某矿区的g与gzz平面图 图9-28 利用不同R计算gzz 以确定矿体边界的实例 图9-28 利用不同R计算gzz以确定矿体边界的实例 图9-29 利用不同R计算gzz以分析 不同深度异常特征的实例 第七节 解析延拓法 人们把由观测平面或剖面上的已知重

42、力 异常g值换算出高于它的平面或剖面上 的异常值的过程称为向上延拓，反之则 称为向下延拓。 由于重力场值是与场源到测点距离的 平方成反比，因此对于深度相差较大的 两个场源体来说， 进行同一个高进行同一个高 ( (深深) )度的延拓，它们各度的延拓，它们各 自的异常减弱或增大的速度是不同的，自的异常减弱或增大的速度是不同的， 因此因此上延计算有利于突出深部异常特征，上延计算有利于突出深部异常特征， 而下延计算则主要是突出了浅部异常而下延计算则主要是突出了浅部异常。 二度（一维）异常的向上延拓 式中式中 g(ih,0)g(ih,0)是横坐标为是横坐标为ihih点上的重力异常。点上的重力异常。 取值

43、的点距以延拓高度取值的点距以延拓高度h h为单位，为单位， 1 2 1 2 () 1 222 () (0,) 114 ( ,0)( ,0)(951) 43 nn ih ih inn gh h g ihdg ihtg hi 应用应用(9-23)(9-23)做上延计算时做上延计算时, ,需要用有限的需要用有限的 分段积分之和的近似值表示分段积分之和的近似值表示 并把（i-1/2）h与（i+1/2）h之间g(，0） 用其中间值g(ih,0)来表示。将1，2 ， 3， n分别代入(9-51）,经整理得二度体 向上延拓公式， （9-52) 从向上延拓式（9-52)可知，随着i的增 大，其系数不断减小。因

44、此在换算时， 究竟取多大，是根据异常精度而定。 二度异常的向下延拓 重力异常向下延拓是利用向上延拓值,结 合原始剖面异常值，根据拉格朗日插值原 理外推而得。 当取值点如图9-30所示。则下延近似表达 式 图9-30 二度异常下延计算取值点位置 二度异常的向下延拓 该式中的g(h.0)、 g(-h.0)和 g(0.0) 是观 测剖面上的已知值; g(0,-h) 是已经求出的上延拓值; g(0.h)便是向下延拓值。 )539(), 0()0 ,( )0 ,()0 , 0(4), 0( hghg hgghg 将式（将式（9-529-52）表示的上延值）表示的上延值 g(0,-h)g(0,-h)代入式

45、（代入式（9-9- 5353）, ,得向下延拓表达式。得向下延拓表达式。 （9-54） 上面介绍的向上及向下延拓都需在已知剖面上取上面介绍的向上及向下延拓都需在已知剖面上取 值，而且取值的点距应为延拓高度的整倍数，值，而且取值的点距应为延拓高度的整倍数，称称 等间距延拓。根据利用已知点数目的不同，可导等间距延拓。根据利用已知点数目的不同，可导 出不同的下延公式。出不同的下延公式。 关于三度异常的向上延拓需要利用平面上的异常关于三度异常的向上延拓需要利用平面上的异常 值。见式（值。见式（9-61）和（）和（9-62），该式中的系数见），该式中的系数见 表表9-3.向上延拓时需要方形网结点上的异常

46、值，向上延拓时需要方形网结点上的异常值， 若所选的点位不在结点上，还需要可利用一元高若所选的点位不在结点上，还需要可利用一元高 次插值公式内插出所需要的异常值。次插值公式内插出所需要的异常值。 向下延拓公式见（9-66）和（9-67）取值 点位见图9-31，系数见表9-4 关于上述延拓换算方法说明 1 1上延计算在理论上是严密而且可以上延计算在理论上是严密而且可以 实现的，其误差主要是积分范围有限所实现的，其误差主要是积分范围有限所 致。积分范围一定时，延拓高度越高则致。积分范围一定时，延拓高度越高则 误差越大。此外就是取值点密度及插值误差越大。此外就是取值点密度及插值 误差的影响；误差的影响

47、； 2下延计算属于不适定问题，引力位在场 源体外和场源体内分别满足拉普拉斯方程 和泊松方程，而场源深度又属未知的，因 而理论上未能解决其计算方法，只能用插 值公式进行外推。 另外下延是属于高通滤波性质，局部 干扰和误差会被 放大，使下延计算 可能失败，因而实践中下延深度不能 大，而且每下延一次要对结果进行平 滑处理； 3向上延拓的主要作用是使异常变得更为 平滑，突出了区域异常的基本特征，有时 用几个不同高度上的异常联合，或构制X0Z 断面上空间等值线图，用来扩大解某些反 问题的能力。 4向下延拓则是向上延拓的逆过程，其 作用是突出局部异常，分解在水平方向 叠加的异常，定性确定场源的深度，。 由

48、于下延延拓面更接近场源，异常等值 线圈闭的形状与场源体水平截面形状更 为接近，因而可用来了解复杂异常源的 平面轮廓在重力异常数据处理申，有时 需要将布格重力异常换算成它的各阶导 数，如vxz 、vzz 和vzzz 等，其目的是: 第九节 趋势分析法 一、趋势分析法原理 趋势分析法是选用一个n阶的多项式来 描述整个测区的区域异常。 形式为 2 0123 2 451 ( , ) .(981) n N g x yaa xa ya x a xya yay 式中a0, a1, a2 aN-1 为N个待定系数，若多 项式的阶数为n，则 1 (2)(1) 2 Nnn ( , )g x y 即为趋势值即为趋势值 ( (区域异常区域异常) )。显然，一。显然，一 阶方程代表一个