高等数学：5-6反常积分(广义积分)

1、1 无穷限的反常积分无穷限的反常积分 无界函数的反常积分无界函数的反常积分 小结小结 思考题思考题 作业作业 第六节第六节 反常积分反常积分(广义积分广义积分) improper integral 第五章第五章 定积分定积分 2 常义积分常义积分 积分区间有限积分区间有限 被积函数有界被积函数有界 积分区间无限积分区间无限 被积函数无界被积函数无界 常义积分的极限常义积分的极限 反反 常常 积积 分分 反常积分反常积分 推广推广 3 反反 常常 积积 分分 一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分 一个固定的点电荷一个固定的点电荷 + q 产生的电场产生的电场, 当单位正电荷从当单位正电荷从r

2、 = =a 沿径向移到沿径向移到r = =b处时处时, , , 2 r q kF ( (k是常数是常数).). 单位正电荷从单位正电荷从r = =a移到无穷远时移到无穷远时, , 对场内对场内 其它电荷有作用力其它电荷有作用力,由库伦定律知由库伦定律知,距距q为为r单位的单位的 正电荷受到的电场力正电荷受到的电场力, ,其方向与径向一致指向外其方向与径向一致指向外, , 大小为大小为 电场力所作的功电场力所作的功称为该电场在这两点处的称为该电场在这两点处的电位差电位差. . 电场力所需电场力所需 作的功作的功 称为该电场在点称为该电场在点a处的处的电位电位. . 4 反反 常常 积积 分分 例

3、例 试求试求a、b两点的两点的电位差及电位差及a点的电位点的电位. . 解解 a、b两点的两点的电位差电位差 r r q k b a d 2 b a r kq) 1 (. 11 ba kq 令令 ,b即得即得a点处的点处的电位电位 r r q k b a d 2 b lim ba kq b 11 lim 这里计算了一个这里计算了一个 类似的实例还有类似的实例还有:无界域的面积无界域的面积, 问题问题, . a kq 上限无限增大的定积分的极限上限无限增大的定积分的极限. 第二宇宙速度第二宇宙速度 电容器放电问题等等电容器放电问题等等. 5 a xxfd)( t a t xxfd)(lim 定义

4、定义1 1 ,),)(上上连连续续在在设设 axf,at 取取 a xxfd)( 即即 a xxf.d)(记作记作 当极限存在时当极限存在时,称反常积分称反常积分 当极限不存在时当极限不存在时, 称反常积分称反常积分 如果极限如果极限存在存在, t tlim 反反 常常 积积 分分 则称这个极限值则称这个极限值 反常积分反常积分, (1) 收敛收敛; ; 发散发散. . 上的上的在在为为),)(axf 6 b xxfd)( b t t xxfd)(lim 即即 当极限存在时当极限存在时,称反常积分称反常积分 当极限不存在时当极限不存在时, 称反常积分称反常积分 ,()(上上连连续续在在设设bx

5、f bt 取取 b xxfd)( 上的上的在在为为,()(bxf b xxf.d)(记作记作 存在存在, t tlim 如果极限如果极限 反反 常常 积积 分分 则称这个极限值则称这个极限值 反常积分反常积分, (2) 收敛收敛; ; 发散发散. . 7 ,),()(上上连连续续在在设设 xf 如果反常积分如果反常积分 和和 xxfd)( xxfd)( 都收敛都收敛,则称上述两反常积分之和为函数则称上述两反常积分之和为函数 xxfd)( 0 d)(xxf 0 d)(xxf 0 d)(xxf 0 d)(xxf 称反常积分称反常积分 1 lim t 2 lim t 0 0 反反 常常 积积 分分

6、),( 在在上的上的反常积分反常积分, 1 t 2 t 即即 收敛收敛; 记作记作 发散发散. 否则称反常积分否则称反常积分 (3) ,d)( xxf )(xf xxfd)( xxfd)( 8 注注 为了方便起见为了方便起见, 规定规定: 对反常积分可用如下的简记法使用对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式公式, .)()(的的原原函函数数是是连连续续函函数数若若xfxF a a xFxxf)(d)( ).(lim)(xFF x ),()(aFF ),()( FbF ).(lim)(xFF x )(d)(xFxxf).()( FF 这时反常积分的收敛与发散取决于这时反常积分的收敛与发散取决于

7、 和和 是否存在是否存在. )(F )(F 反反 常常 积积 分分 b b xFxxf )(d)( 9 例例 计算反常积分计算反常积分. 1 d 2 x x 解解 2 1 d x x x x arctanlim . 22 反反 常常 积积 分分 xarctan x x arctanlim 反常积分的积分反常积分的积分值值 的的几何意义几何意义 2 1 1 x y Ox y 10 例例 计算反常积分计算反常积分 解解 2 d 1 sin 1 2 x xx 2 1 d 1 sin xx 2 1 cos x x x 1 coslim . 1 反反 常常 积积 分分 2 cos 2 d 1 sin 1

8、 2 x xx 11 例例 .dsin的敛散性的敛散性讨论积分讨论积分xx 解解 考虑考虑 由于被积函数为奇函数由于被积函数为奇函数, 积分区间又为对称区间积分区间又为对称区间, 0dsinxx 由定义可知由定义可知 x x coslim xxdsin 因而因而 反反 常常 积积 分分 cosx x x coslim 只有上述两个极限都存在时只有上述两个极限都存在时, 才能使反常才能使反常 但是上述两个极限都不存在但是上述两个极限都不存在. 0dsinxx 故知故知 积分收敛积分收敛. 12 为对称区间为对称区间.),( 其错误的原因在于认定其错误的原因在于认定 不成立的不成立的. 注注 xx

9、dsin 对于反常积分来说对于反常积分来说, 对称区间上的性质对称区间上的性质 反反 常常 积积 分分 .dsin的敛散性的敛散性讨论积分讨论积分xx 各不相关各不相关. 0 xx, 13 证证 a px xed a px p e 反反 常常 积积 分分 例例 证明反常积分证明反常积分,dxe a px 时时当当0 p收敛收敛, , .0时发散时发散当当 p ,0时时当当 p , p e ap ,0时时当当 p , ,0时收敛时收敛当当 p 时时当当0 p 发散发散. . 14 证证)1( 1 d 1 x x 1 ln x )2( 1 1 1p x p , 1 p , 1 p 因此因此 时时当

10、当1 p收敛收敛, 其值为其值为; 1 1 p 时时当当1 p发散发散. 1 p, 1 p 1 1 p 反反 常常 积积 分分 例例 证明反常积分证明反常积分,d 1 1 x x p .1时发散时发散当当 p ,1时收敛时收敛当当 p x x pd 1 1 x x pd 1 1 * 15 ,d 11 d 0 4 2 0 4 x x x x x 并求其值并求其值. . 0 4 1 d x x 令令 x t 1 t t t d 1 0 4 2 x x x d 1 0 4 2 0 4 1 d x x x x x d 1 1 2 1 0 4 2 x x x x d 1 1 1 2 1 0 2 2 2

11、反反 常常 积积 分分 例例 证明证明 解解 x x x x x x x x d 11 d 0 4 2 0 4 2 1 t t t d) 1 ( 1 1 1 2 4 0 16 ) 1 (d 2) 1 ( 1 2 1 0 2x x x x 0 2 1 arctan 22 1 x x 22 反反 常常 积积 分分 x x x x d 1 1 1 2 1 0 2 2 2 17 反反 常常 积积 分分 x xx e d ln 1 2 1.计算计算 2002年考研数学年考研数学(一一)填空填空3分分 解解x xx e d ln 1 2 x x e dln ln 1 2 e xln 1 1 2.位于曲线位

12、于曲线)0( xxey x 下方下方, x轴上方的轴上方的 无界图形的面积是无界图形的面积是 解解 2002年考研数学年考研数学(二二)填空填空3分分 xxeA xd 0 x ex d 0 d 00 xeex xx 1 18 定义定义2 2 无界无界内内)(xf,at 取取 右右邻邻域域 b t xxfd)( b a xxfd)( b t at xxfd)(lim ,d)( b a xxf即即 当极限不存在当极限不存在时时, 称称广义积分广义积分 ).)(lim( xf x 即即 则称此极限为则称此极限为 仍然记为仍然记为 如极限如极限 存在存在, at lim 也称也称广义积分广义积分 点点

13、在在a 函数函数 a ,)(上上连连续续在在设设baxf( 反反 常常 积积 分分 二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分 ( (瑕积分瑕积分) ) 广义积分广义积分, 收敛收敛; ; b a xxfd)( b a xxfd)(发散发散. . 瑕点瑕点 (1) 上的上的在在,()(baxf 19 , bt 取取 b a xxfd)( t a bt xxfd)(lim 否则否则, ).)(lim( xf x 即即 t a xxfd)( 则定义则定义 如极限如极限 存在存在, bt lim b ,)(上上连连续续在在设设baxf ) 反反 常常 积积 分分 (2)瑕点瑕点, , 称称广义积分

14、广义积分 b a xxfd)( 发散发散. . 的的为为点点)(xfb 20 上上在在设设,)(baxf b a xxfd)( ).)(lim( xf x 即即 c 如果如果 ( )d a f xx b xxfd)( c c 则定义则定义 1 ( )d t a f x x 2 ( )d b t f x x 2 lim tc 否则否则,就称 就称广义广义积分积分 b a xxfd)(发散发散. . 都收敛都收敛, 反反 常常 积积 分分 (3) 瑕点瑕点, , 两个两个广义广义积分积分 注注 如瑕点在区间内部如瑕点在区间内部, 分别讨论各段广义积分分别讨论各段广义积分. 通常通常用瑕点将区间分开

15、用瑕点将区间分开, 的的点点为为)(xfc ,)(外外连连续续除除bcacx 1 lim tc 21 例例 计算广义积分计算广义积分 解解 ).0( d 0 22 a xa x a 22 1 lim xa x a ax 反反 常常 积积 分分 为为瑕点瑕点, , a xa x 0 22 d t xa x 0 22 d t ata x 0 arcsinlim 0arcsinlim a t at . 2 at lim 这个反常积分值的这个反常积分值的 直线直线x = 0与与x = a 位于曲线位于曲线 22 1 xa y x 轴轴之上之上, 之间的图形面积之间的图形面积. 几何意义几何意义 之下之

16、下, 22 1 xa y O x y a a 1 t 22 ,()(baCxf 注注 为了方便起见为了方便起见, ,为为瑕瑕点点如如a ),)(baCxf ,a b如 , 为瑕点 反反 常常 积积 分分 由由NL公式公式, 则反常积分则反常积分 规定规定: ( ) b a F x ( ) b a F x ( )( , ),f xC a b ,为为瑕瑕点点如如b ( ) b a F x 若若 存在，存在， ),()(xfxF )(limxF ax b a xxfd)()()( aFbF )(bF)(limxF ax b a xxfd)()()(limaFxF bx b a xxfd)(lim(

17、)lim( ) xbxa F xF a 23 例例 计算反常积分计算反常积分 解解 . ln d 2 1 xx x 2 1 ln d xx x 2 1 ln )(lnd x x 2 1 ln(ln )x )2ln(ln . 故原反常积分发散故原反常积分发散. 反反 常常 积积 分分 )ln(lnlim 1 x x 24 证证, 1)1( q 1 0 d 1 x x 1 0 ln x , 1)2( q 1 0 d 1 x x q 1 0 1 1 q x q 1 0 d 1 x x q , 1 1 q , 1 q . 1 q , ,1时时当当 q反常积分收敛反常积分收敛,其值为其值为, 1 1 q

18、 ,1时时当当 q反常积分发散反常积分发散. 反反 常常 积积 分分 例例 证明反常积分证明反常积分,d 1 1 0 x x q .1时发散时发散当当 q ,1时收敛时收敛当当 q* 25 例例 求求x xd 1 1 1 解解 x x 1 lim 0 .0为为瑕瑕点点 x x xd 1 1 1 1 0 ln x 反反 常常 积积 分分 0 发散发散. |lnlim0 0 x x 也发散也发散. 注注 1 1 d 1 x x 1 1 ln x. 0 错误的做法错误的做法: x x d 1 0 1 26 例例 解解 ,sintax 令令 taa ttata 222 33 sin dcossin 原

19、式原式 2 0 33 dsin tta 3 3 2 a 注注此反常积分经变量代换化成了定积分此反常积分经变量代换化成了定积分. 0 2 反反 常常 积积 分分 ).0(d 022 3 ax xa x a 求求 ttaxdcosd 27 例例 x x d 1 0 2 x x d 1 1 0 2 x x d 1 1 0 2 x x d 1 0 2 下面是下面是 x xd 1 求求 x xd 1 1 d 1 x x 1 d 1 x x 1 d 1 x x 0 0 发散发散 x xd 1 无穷区间无穷区间上上无界函数无界函数的的反常积分反常积分 发散发散,发散发散. 发散发散. 反反 常常 积积 分分 1 2 1 x x d 1 1 x x d 28 例例 x xx x xf 2, 1 20, 2 1 0, 0 )(已知已知 x ttf.d)( 解解, 0 x 0 , 20 x 0 d0 t x t 0 2 4 x ttfd)( tt x d 2 1 0 试用分段函数表示试用分段函数表示 x ttfd)( x ttfd)( 0 0 2 4 1 x 反反 常常 积积 分分 ttfd)( 29 ,2x 0 2 0 x 2 1 x x ttfd)( x xx x xf 21 20 2 1 00 )(已知已知 x ttf.d)( 试用分段函数表示试用分段函数表