二次函数的应用涵洞(桥孔)问题[教师教材]

1、1青苗辅导 2青苗辅导 3青苗辅导 4青苗辅导 荷城中学 郭飞 5青苗辅导 二次函数应用中“涵洞问题”是初中数学的重 要内容，在中考中所占比例很大。是各地中考 重点和热门考查的知识点之一。如2008佛山升 中数学24题（10分）；上学期高明区九年级数 学统考21题（8分）。占分多，难度大。由于 二次函数所涉及的知识面非常广(平面直角坐标 系、坐标、求代数式的值、待定系数法、列一 元一次方程、解一元一次方程、列二元一次方 程组、解二元一次方程组等)，所以能力要求也 非常高，从而使“涵洞问题”计算类型的题目 成为得分难点之一。 “涵洞问题”计算类型的 题目的重点、难点都是确定二次函数解析式 (占三

2、分之二分)。同学们一定要抓住重点。 6青苗辅导 1.求拱宽 2.求拱高 “涵洞问题”的 题目分为两大 类: 7青苗辅导 涉及“涵洞问题”的解题主要有以 下几步： 1建立适当坐标系，以确定解析式 的类型 2求解析式 3求特定点的拱宽或拱高 (横坐标值或纵坐标值) 8青苗辅导 解析式的类型大致有以 下五种： 1把坐标原点定在涵洞抛物线的顶点，解析式 的类型是y=ax2 (一点式) 9青苗辅导 2把坐标原点定在涵洞抛物线的顶点 下方，解析式的类型是: y=ax2 +b(两点式) 10青苗辅导 3把涵洞抛物线的顶点定在第一象限（定 在其它象限雷同） 解析式的类型是y=ax2 +bx+c (三点 式)

3、11青苗辅导 4.如果已知顶点坐标(h,k)用 下式比较方便: 2 ()y a x hk (顶点式) 12青苗辅导 5.当抛物线与X轴交点为（x1,0),(x2,0)时 解析式的类型是 y=a（x-x1)(x-x2) (交点式) 13青苗辅导 问题问题1 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测现测 得，当水面宽得，当水面宽AB1.6 m时，涵洞顶点与水面时，涵洞顶点与水面 的距离为的距离为2.4 m这时，离开水面这时，离开水面1.5 m处，涵处，涵 洞宽洞宽ED是多少？是否会超过是多少？是否会超过1 m？ 14青苗辅导 解法解法1 1 1.把坐标原点定在涵洞抛物

4、线的顶点如右图, 解析式的类型是y=ax2 2.求解析式 B点的坐标是(0.8,-2.4) 把B点的坐标值X=0.8,Y=-2.4代入y=ax2,得a=-3.75 即:y=-3.75x2 3.D点的坐标是(x, 1.5-2.4), 把D点的坐标值Y=1.5-2.4 代入y=-3.75x2 得x 0.49,FD=0.49,ED=0.98不超过1 15青苗辅导 解法解法2 2 1.把坐标原点定在涵洞抛物线的顶点下方如右图, 解析式的类型是y=ax2 +b 2.B点的坐标是(0.8,0) ,C点的坐标是(0,2.4) 把B、C点的坐标值X=0.8,Y=0; X=0,Y=2.4;代入 y=ax2 +b

5、得 0.82a +b =0 b=2.4 解得a=-3.75, b=2.4 即:y=-3.75x2 +2.4 3.D点的坐标是(x, 1.5), 把D点的坐标值Y=1.5 代入y=-3.75x2 +2.4 得x 0.49,FD=0.49,ED=0.98不超过1 16青苗辅导 2 ()y ax hk 解法解法3 3 1.把涵洞抛物线的顶点定在第一象限如右图 解析式的类型是 2.B点的坐标是(1.6,0) ,C点的坐标是(0.8,2.4) 把B、C点的坐标值X=1.6,Y=0; h=0.8,k=2.4代入 得a=-3.75即:y=-3.75 (x-0.8)2 +2.4 3.把y=1.5代入y=-3.

6、75 (x-0.8)2 +2.4得x 0.49+0.8, D、E两点的横坐标分别是+0.49+0.8, -0.49+0.8, ED=0.98不超过1 17青苗辅导 2 1.61.60ab c 2 0.80.82.4ab c 0c 解法解法4 4 1.把涵洞抛物线的顶点定在第一象限，使抛物线经过 原点如右图, ,解析式的类型是y=ax2 +bx+c 2.B点的坐标是(1.6,0) ,C点的坐标是(0.8,2.4) A点的坐标是(0,0) 把B、C、A点的坐标值X=1.6,Y=0; X=0.8,Y=2.4; X=0,Y=0代入y=ax2 +bx+c，得 解得a=-3.75,b=6,c=0 y=-3

7、.75 x2 +6x 3.把y=1.5代入y=-3.75 x2 +6x 得 x 0.49+0.8, D、E两点的横坐标分别是+0.49+0.8, -0.49+0.8,ED=0.98不超过1 18青苗辅导 解法解法5 1.把涵洞抛物线的顶点定在第一象限，使抛物线经过 原点如右图,解析式的类型是y=a（x-x1)(x-x2) 2.A点的坐标是(0,0)，x1=0； B点的坐标是(1.6,0) , x2=1.6,C点的坐标是(0.8,2.4) 把B、C、A点的坐标值x1=0 X2=1.6,Y=0; X=0.8,Y=2.4; y=a（x-x1)(x-x2)，解得a=-3.75, 得y= =-3.75x

8、(x-1.6) 把y=1.5代入y= =-3.75x(x-1.6)得 x 0.49+0.8, D、E两点的横坐标分别是 +0.49+0.8, -0.49+0.8,ED=0.98不超过1 19青苗辅导 解解:建立如图所示的坐标系建立如图所示的坐标系 （1 1）一座抛物线型拱桥如图所示）一座抛物线型拱桥如图所示, ,桥下水面桥下水面 宽度是宽度是4m,4m,拱高是拱高是2m.2m.当水面下降当水面下降1m1m后后, ,水面的宽水面的宽 度是多少度是多少?(?(结果精确到结果精确到0.1m).0.1m). 2. yax=可设抛物线表达式为 . 2 1 2 xy由此可得函数表达式为 ).3,(),2,

9、 2(xBA点坐标为点坐标为则有 A(2,-2) B(X,-3) . 2 1 3,3 2 xy得时当 . 6x .9 . 462m水面宽 练习练习 20青苗辅导 21青苗辅导 如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，如图；有一个抛物线形的隧道桥拱， 这个桥拱的，跨度为这个桥拱的，跨度为7.2m7.2m一辆卡一辆卡 车车高车车高3 3米，宽米，宽1.61.6米，它能否通过米，它能否通过 隧道？隧道？ 即当即当x= OC=1.62=0.8米时，米时， 过过C点作点作CDAB交抛物线于交抛物线于D点，点， 若若y=CD3米，则卡车可以通过。米，则卡车可以通过。 分析：卡车能否通过，只要看卡分析：卡车能否通过

10、，只要看卡 车在隧道正中间时，其车在隧道正中间时，其车高车高3米米是否是否 超过其超过其位置的拱高位置的拱高。 问题问题2 22青苗辅导 如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度 为为3.6m3.6m，跨度为，跨度为7.2m7.2m一辆卡车车高一辆卡车车高3 3米，宽米，宽1.61.6米，它能米，它能 否通过隧道？否通过隧道？ 又P（0，3.6）在图像上， 解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，A（-3.6，0）， B（3.6，0），P（0，3.6）。 当x=OC=0.8时， 卡车能通过这个隧道。 23青苗辅导 (1)如图；有一

11、个抛物线形的隧道桥如图；有一个抛物线形的隧道桥 拱，这个桥拱的跨度为拱，这个桥拱的跨度为7.2m一辆一辆 卡车车高卡车车高2.5米，宽米，宽1.6米，如果隧米，如果隧 道是双行线道是双行线,它能否通过隧道？它能否通过隧道？ 练习练习 24青苗辅导 解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，A（-3.6，0）， B（3.6，0），P（0，3.6）。 当x=OC=1.6时，y=2.892.5 卡车能通过这个隧道。 25青苗辅导 (2)如图；有一个抛物线形的隧道桥如图；有一个抛物线形的隧道桥 拱，这个桥拱的跨度为拱，这个桥拱的跨度为7.2m一辆卡一辆卡 车车高车车高2.4米，宽米，宽1.6米，如果隧道是米，如果隧道是 双行线双行线,并且中间设并且中间设1米宽的隔离带米宽的隔离带,它它 能否通过隧道？能否通过隧道？ 练习练习 26青苗辅导 解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，A（-3.6，0）， B（3.6，0），P（0，3.6）。 当x=OC=1.6+0.5时，y=2.3752.4 卡车不能通过这个卡车不能通过这个隧道隧道。 27青苗辅导 总结： 前2题是求拱宽 后3题是求拱高 28青苗辅导 课后作业课后作业: 某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如 图所示，大门地面宽图所示，大门地面宽AB=4m，顶部，顶部C离地面高离地面