函数的连续性与间断点[教师教材]

1、第八节第八节 函数的连续性函数的连续性 与间断点与间断点 函数的函数的连续连续(continuity) 函数的函数的间断点间断点 小结小结 思考题思考题 作业作业 (discontinuous point) 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1 间变化很小时间变化很小时,生物生长的也很少生物生长的也很少. 在函数关系上的反映就是函数的连续性在函数关系上的反映就是函数的连续性. 在自然界中在自然界中,许多事物的变化是连续的许多事物的变化是连续的, 如气温变化很小时如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小单摆摆长变化也很小.时时 在高等数学中在高等数学中,主要的研究对象就是连主要的研究对象就是连 续

2、函数续函数. 这种现象这种现象 从直观上不妨这样说从直观上不妨这样说, 连续函数的连续函数的 特征就是它的图形是连续的特征就是它的图形是连续的,也就是说也就是说,可以可以 一笔画成一笔画成. 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 2 1. 函数的增量函数的增量 )()( 0 xfxfy 自变量自变量 0 x 称差称差 0 xxx 为自变量在为自变量在 ,x 0 x 的增量的增量;函数随着从函数随着从)( 0 xf ),(xf 称差称差 )()( 00 xfxxf 为函数的为函数的 增量增量. . 如图如图: xxx 0 一、函数的连续性一、函数的连续性 x y Ox y O )(xfy 0

3、 xxx 0 x y )( 0 xf 0 xxx 0 )(xfy y )( 0 xf x 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 3 连续连续, , 2. 连续的定义连续的定义 , 0 xxx 设设),()( 0 xfxfy 0 x 定义定义1 1设函数设函数 f (x)在在 )( 0 xU 内有定义内有定义, 0lim 0 y x 若若 则称函数则称函数f(x)在在x0处处并称并称x0为函数为函数f(x)的的 连续点连续点. . , 0 xx 即为即为 0 y ).()( 0 xfxf即为即为 定义定义2 2若若),()(lim 0 0 xfxf xx 则称函数则称函数f(x)在在x0处处

4、 连续连续. . 把极限与连续性联系起来了把极限与连续性联系起来了,且提且提 供了连续函数求极限的简便方法供了连续函数求极限的简便方法 只需求出该点函数特定值只需求出该点函数特定值. 自变量在自变量在x0点的增量为无穷小时点的增量为无穷小时, 函数的增量也为无穷小函数的增量也为无穷小.形象地表示了形象地表示了 连续性的特征连续性的特征. 采用了无穷小定义法采用了无穷小定义法 充分必要条件充分必要条件 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 4 连续性的三种定义形式不同连续性的三种定义形式不同, 这三种定义中都含有这三种定义中都含有 但本质相同但本质相同. f (x)在在)( 0 xU 内有定

5、义内有定义;(1) )(lim 0 xf xx (2) )(lim 0 xf xx (3)( 0 xf 三个要素三个要素: : )( , 0 定义定义3 3 , 0 时时使使当当 xx , 0 .)()( 0 xfxf恒恒有有 把极限定义严密化把极限定义严密化,便于分析论证便于分析论证. 存在存在; 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 5 注注 一般讲一般讲,证明的命题用函数连续的定证明的命题用函数连续的定 义义1方便方便; 是判断分段函数在分界点处是否连续用是判断分段函数在分界点处是否连续用 判断函数在某点是否连续判断函数在某点是否连续,尤其 尤其 定义定义2方便方便. 某一邻域而言某

6、一邻域而言. 由上述定义可知由上述定义可知, f(x)在在x0点的连续性点的连续性 是描述是描述 f(x)在在x0点邻域的性态的点邻域的性态的. 即它是对即它是对 因此在孤立点处无连续可言因此在孤立点处无连续可言. 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 6 例例.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy 证证),( x任取任取 y ) 2 cos( 2 sin2 x x x 1) 2 cos( x x ),(sin xxy对对任任意意函函数数即即 内内在区间在区间函数函数),(cos xy )sin(xx xsin 都是连续的都是连续的. 类似可证类似可证, 是连续的是连

7、续的. 0lim 0 y x 1 2 2 x x 0 x 即即0lim 0 y x 0 22 sin xx 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 7 例例 0 , 0, 0 , 0, 1 sin )( x x x x x xf在在 证证 x x x 1 sinlim 0 , 0)0( f又又 定义定义2 .0)(处连续处连续在在函数函数 xxf ),0()(lim 0 fxf x )(lim 0 xf xx )( 0 xf , 0 试证函数试证函数 处连续处连续. 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 8 3. 左、右连续左、右连续 )()(lim 0 0 0 xfxf xx 若若 处

8、处在在点点则则称称 0 )(xxf )()(lim 0 0 0 xfxf xx 若若 处处在在点点则则称称 0 )(xxf ,)()0( 00 xfxf ,)()0( 00 xfxf 左连续左连续(continuity from the 右连续右连续(continuity from the left); ; right). . 0 x 左连续左连续 0 x 右连续右连续 x y Ox y O 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 9 定理定理1 处连续处连续在在函数函数 0 )(xxf 处既左连续处既左连续在在函数函数 0 )(xxf 此定理常用于此定理常用于判定分段函数在分段点判定分段函

9、数在分段点 .又又右右连连续续 )()0()0( 000 xfxfxf 处的连续性处的连续性. 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 10 例例 , 1, 1 , 1, )( 2 xx xx xf讨论函数讨论函数 解解 )(lim 1 xf x 2 ),1(f )(lim 1 xf x ),1(f 右不连续右不连续. .1)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf )1(lim 1 x x 1lim 2 1 x x 1)( xxf在在所以所以左连续左连续,1 x在在 .1处的连续性处的连续性在在 x x y O1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 11 4. 连续函数连续函数

10、(continous function)与连续区间与连续区间 上的上的或称函数在该区间上连续或称函数在该区间上连续. . 在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数, 称该区间称该区间 在开区间在开区间),(ba 右连续右连续 )(lim(xf ax )(lim(xf bx 左端点左端点ax 右端点右端点bx ,)(baCxf 这时也称该区间为这时也称该区间为continuous 左连续左连续 连续函数连续函数, , 连续区间连续区间. . ),()(baCxf )(af )(bf 内连续内连续 )(xf 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 12 关于连续函数关于连续函数, 有

11、一个对某些问题的推理有一个对某些问题的推理 定理定理2 2 , 0)(,)( 00 xfxxf且且连续连续在在设设 0 x则存在则存在 )(xf 很有用的定理很有用的定理. . 的一个邻域的一个邻域,使得在此邻域内 使得在此邻域内 是一条无缝隙的连绵而不断的曲线是一条无缝隙的连绵而不断的曲线. 连续函数的图形连续函数的图形 . 0 2 )( 0 xf x y O 0 x )( 0 xf 2 )( 0 xf 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 13 例如例如, ,有理整函数 有理整函数(多项式多项式) 内是连续的内是连续的. 因此因此有理分式函数在其定义域内的每一点有理分式函数在其定义域内

12、的每一点 有理分式函数有理分式函数 , ),( 0 x n nx axaaxP 10 )( ),( )()(lim 0 0 xPxP xx )( )( )( xQ xP xR 只要只要,0)( 0 xQ都有都有)()(lim 0 0 xRxR xx 因此有理整函数因此有理整函数在在 都是连续的都是连续的. 第五节中已证第五节中已证 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 14 定义定义4 4 处处在在若若 0 )(xxf出现如下三种情形之一出现如下三种情形之一: 处处在点在点 0 )()1(xxf )(lim)2( 0 xf xx )(lim)3( 0 xf xx 的的为为则称则称)( 0

13、xfx 二、函数的间断点及其分类二、函数的间断点及其分类 无定义无定义; 不存在不存在; ).( 0 xf 间断点间断点. . 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 15 间断点分为两类间断点分为两类: 第二类第二类间断点间断点(discontinuity point of the second kind): 第一类第一类间断点间断点(discontinuity point of the first kind): )0( 0 xf及及)0( 0 xf均存在均存在, , 及及中至少一个不存在中至少一个不存在.)0( 0 xf)0( 0 xf )0( 0 xf若若, )0( 0 xf称称 为为

14、可去间断点可去间断点. . 0 x )0( 0 xf若若称称 为为跳跃间断点跳跃间断点. . 0 x 若其中有一个为振荡若其中有一个为振荡, , 若其中有一个为若其中有一个为, 称称 为为无穷间断点无穷间断点. . 0 x 称称 为为振荡间断点振荡间断点. . 0 x 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 , )0( 0 xf 16 例例 , 1 )( x xf 函数函数 x xf 1 )( 由于函数由于函数处处在在0)( xxf无定义无定义, ,)( 0处无定义 处无定义在点在点xxf .)( 0 的间断点的间断点为为则称则称xfx 0 x故故为为f(x)的的 间断点间断点. )(lim

15、 0 xf x )(lim 0 xf x 且且 皆不存在皆不存在. 第二类第二类 第二类间断点第二类间断点:),0( 0 xf)0( 0 xf至少有至少有 之之中中有有若若)0(),0( 00 xfxf . 0称 称为为无无穷穷型型间间断断点点则则xx 且是无穷型间断点且是无穷型间断点. 一个不存在一个不存在. , 一个为一个为 , x y O 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 17 例例 , 0, 0 , 0, 1 sin )( x x x xf函数函数 处处在在0)( xxf有定义有定义, x x 1 sinlim 0 不存在不存在, 0 x故故为为f (x)的的 间断点间断点.

16、.)( 0 的间断点的间断点为为则称则称xfx ,)(lim 0 不存在不存在xf xx 第二类第二类 且是无穷次振荡型间断点且是无穷次振荡型间断点. 在在时时但当但当 x x 1 sin,0 1 , 1 x y 1 sin 之间来回无穷次振荡之间来回无穷次振荡, x y O 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 18 例例 , 0,1 , 0, )( xx xx xf函数函数 ),00()00( ff 处处在在0)( xxf有定义有定义, 0)(lim 0 x x 1)1(lim 0 x x .)( 0 的间断点的间断点为为则称则称xfx ,)(lim 0 不存在不存在xf xx 0 x

17、故故为为f (x)的的 间断点间断点.第一类第一类 的第一类间断点的第一类间断点.),0()0( 00 xfxf但但 则点则点x0为函数为函数 f(x) 的的 且是跳跃间断点且是跳跃间断点. 跳跃型间断点跳跃型间断点(Jump discontinuity). )0( 0 xf及及)0( 0 xf均存在均存在, 则点则点x0为为 )(xf x y O 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 1 19 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 例例 .1 , 1,1 1 , 10 , 1 ,2 )(处的连续性处的连续性在在 x xx x x x xf 讨论函数讨论函数 解解, 2)01( f,

18、2)01( f 2)(lim 1 xf x ),1(f 1 x ),()(lim 0 0 xfxf xx .)( 0 的间断点的间断点为为则称则称xfx 为函数的为函数的 间断点间断点.第一类第一类 且是可去间断点且是可去间断点(removable discontinuity). 2)1( f , 1,1 , 10,2 )( xx xx xf则则 连续连续. 1)1( f ,)( 0处 处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xxf )()(lim 0 0 xfxf xx 但但 0 )(xxf在点在点或或 的的为函数为函数则称点则称点)( 0 xfx处无定义处无定义, 可去间断点可去间断点. x

19、 y O1 1 2 xy2 xy 1 处处在在1 x 20 则可使则可使x0变为连续点变为连续点. 注注 对可去间断点对可去间断点x0, 如果如果 ,)(lim 0 Axf xx 设设 于于A, (这就是为什么将这种间断点称为这就是为什么将这种间断点称为 使之等使之等 可去间断点的理由可去间断点的理由.) 补充补充 x0的函数值的函数值, 或或改变改变 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 21 ,1 1 1 2 处没有定义处没有定义在点在点函数函数 x x x y 1 1 lim 2 1 x x x 如如补充补充定义定义:, 2)1( f令令 .1处处连连续续所所给给函函数数在在则则 x

20、 .1称为函数的可去间断点称为函数的可去间断点所以所以 x .1,不连续不连续函数在点函数在点所以所以 x 如如 21lim 1 x x 但但 x y O 1 1 2 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 22 总结两类间断点总结两类间断点: 第一类间断点第一类间断点: 跳跃型跳跃型, 第二类间断点第二类间断点: 无穷型无穷型, 可去型可去型 无穷次振荡型无穷次振荡型 极限与连续之间的关系极限与连续之间的关系: f(x)在在x0点连续点连续 f(x)在在x0点存在极限点存在极限 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 23 , 1 1 )( 1 的间断点的间断点求函数求函数 x x e

21、xf 解解函数无定义函数无定义,1, 0时时当当 xx是函数的间断点是函数的间断点. , 0 x)(lim 0 xf x 由于由于 x x e x 1 1 1 lim 0 , 所以所以0 x是函数的是函数的第二类间断点第二类间断点,且是且是无穷型无穷型. , 1 x由于由于)(limxf x x e x 1 1 1 lim 1 0 )(limxf x x e x 1 1 1 lim 1 1 所以所以1 x是函数的是函数的第一类间断点第一类间断点,且是且是跳跃型跳跃型. 并指出其类型并指出其类型. 0 0 1x 1x 1 1 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 24 设设 0 1 sin 0 0 sin )( x x xb xa x x x xf, 为何值时为何值时问问ba ;)(lim)1( 0 存在存在xf x .0)()2(处连续处连续在在 xxf 解解 因为因为)(lim 0 xf x )(lim 0 xf x 所以所以 )1(,)(lim 0 存在存在要要xf x 必需且只需必需且只需 )(lim 0 xf x ),(lim 0 xf x 即即1 b).( 可任取可任取a )2(,0)(处连续处连