2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十七8.2等差数列文含解析北师大版

1、核心素养测评三十七等 差 数 列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若等差数列an的公差为d,则数列a2n-1是()a.公差为d的等差数列b.公差为2d的等差数列c.公差为nd的等差数列d.非等差数列【解析】选b.数列a2n-1其实就是a1,a3,a5,a7,奇数项组成的数列,它们之间相差2d.2.在等差数列an中,已知a2=2,前7项和s7=56,则公差d=()a.2b.3c.-2d.-3【解析】选b.由题意可得a1+d=2,7a1+762d=56,即a1+d=2,a1+3d=8,解得a1=-1,d=3. 【一题多解】选b.由等差数列的性质s7=7a4=56,所以a4=8

2、,因此d=a4-a22=3.3.(2020贵阳模拟)设等差数列an的前n项和为sn,若a6=2a3,则s11s5=()a.115b.522c.1110d.225【解析】选d.s11s5=112(a1+a11)52(a1+a5)=11a65a3=225.4.(2020济南模拟)已知等差数列an的公差d为4,项数为偶数,所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为55,则这个数列的项数为()a.10b.20c.30d.40【解析】选b.设等差数列an的项数为n,前n项和为sn,则s偶-s奇=n2d=2n=40,n=20,即这个数列的项数为20.5.已知等差数列an的前n项和为sn,若s130,则在数列中

3、绝对值最小的项为()世纪金榜导学号a.第5项b.第6项c.第7项d.第8项【解析】选c.根据等差数列an的前n项和公式sn=n(a1+an)2,因为s130,所以a1+a130,由a1+a13=2a7,a1+a12=a6+a7,得a70,所以数列an中绝对值最小的项为第7项.【变式备选】 (2019北京高考)设等差数列an的前n项和为sn,若a2=-3,s5=-10,则a5=,sn的最小值为.【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,s5=5a1+542d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,sn=na1+n(n-1)2d=n2-9n2,当n=4或5时

4、,sn最小,为-10.答案:0-10二、填空题(每小题5分,共15分)6.设等差数列an的前n项和为sn,若a6a3=2,则s6s3=.【解析】设公差为d,由已知可得a6=2a3,所以a1+5d=2a1+2d,所以a1=d,所以s6s3=6a1+15 d3a1+3 d=21d6d=72.答案:727.(2019全国卷)记sn为等差数列an的前n项和,a10,a2=3a1,则s10s5=.【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a10,d0),所以s10s5=10(a1+a10)25(a1+a5)2=2(2a1+9d)2a1+4d=210d5d=4.

5、答案:48.已知an,bn都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=.【解析】因为an,bn都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即215=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.答案:21三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等差数列an中,a1=1,a3=-3.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列an的前k项和sk=-35,求k的值.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3,解得d=-2,从而an=1+(n-1)

6、(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n.所以sn=n1+(3-2n)2=2n-n2.由sk=-35可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又kn*,故k=7.10.设an为等差数列,sn为数列an的前n项和,已知s7=7,s15=75,tn为数列snn的前n项和,求tn.世纪金榜导学号【解析】设等差数列an的公差为d,则sn=na1+12n(n-1)d.因为s7=7,s15=75,所以7a1+21d=7,15a1+105d=75,即a1+3d=1,a1+7d=5,解得a1=-2,d=1.所以snn=a1+12(n-1)d=-2+12(n-1),因为s

7、n+1n+1-snn=12,所以数列snn是等差数列,其首项为-2,公差为12,所以tn=14n2-94n.(15分钟35分)1.(5分)现给出以下几个数列:2,4,6,8,2(n-1),2n;1,1,2,3,n;常数列a,a,a,a;在数列an中,已知a2-a1=2,a3-a2=2.其中一定是等差数列的个数为()a.1b.2c.3d.4【解析】选b.由4-2=6-4=2n-2(n-1)=2得数列2,4,6,8,2(n-1),2n为等差数列;因为1-1=02-1=1,所以数列1,1,2,3,n不是等差数列;常数列a,a,a,a为等差数列;当数列an仅有3项时,数列an是等差数列,当数列an的项

8、数超过3项时,数列an不一定是等差数列,故一定是等差数列的个数为2.2.(5分)(2020潍坊模拟)已知数列an是等差数列,sn是其前n项的和,则下列命题中真命题是()a.若a5a3,则a80b.若a5a3,则s80c.若s5s3,则s80d.若s5s3,则a80【解析】选c.令等差数列an的公差d=1,a1=-12,对a选项,a5=-8a3=-10,而a8=-50,故a错误;对b选项,因为a1=-120,a8=-50,所以s8=8(a1+a8)20,a8=-20,所以s8=8(a1+a8)20.【变式备选】 已知等差数列an的前9项和为27,a10=8,则a100=()a.100b.99c.

9、98d.97【解析】选c.设an的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得s9=9a1+982d=27,a10=a1+9d=8,解得a1=-1,d=1,an=a1+(n-1)d=n-2,所以a100=100-2=98.3.(5分)已知等差数列an的通项公式为an=n,前n项和为sn,若不等式2sn+1m(n+a32)an+22(nn*)恒成立,则m的最小值为.【解析】由已知得sn=n(n+1)2,所以sn+1=n+2n+12,所以原不等式等价于n+1mn+32n+2,所以1mn+32n+2n+1=n+1+31n+1+32,因为n+1+31n+1+32的最小值为2596,所以m的最小值为6

10、259.答案:6259【变式备选】 已知数列an中,a2=32,a5=98,且1an-1是等差数列,则a7=()a.109b.1110c.1211d.1312【解析】选d.设等差数列1an-1的公差为d,则1a5-1=1a2-1+3d,即198-1=132-1+3d,解得d=2,所以1a7-1=1a2-1+5d=12,解得a7=1312.4.(10分)已知数列an满足a1=2,n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(nn*).世纪金榜导学号(1)求证数列ann是等差数列,并求其通项公式;(2)设bn=2an-15,求数列|bn|的前n项和tn.【解析】(1)因为n(an+1-n-1)=

11、(n+1)(an+n)(nn*).所以nan+1-(n+1)an=2n(n+1).所以an+1n+1-ann=2,所以数列ann是等差数列,其公差为2,首项为2,所以ann=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)知an=2n2,所以bn=2an-15=2n-15,则数列bn的前n项和sn=n(-13+2n-15)2=n2-14n.令bn=2n-150,解得n7.5.所以当n7时,数列|bn|的前n项和tn=-b1-b2-bn=-sn=-n2+14n;当n8时,数列|bn|的前n项和tn=-b1-b2-b7+b8+bn=-2s7+sn=-2(72-147)+n2-14n=n2-14n+98.所以

12、tn=14n-n2,n7,n2-14n+98,n8.5.(10分)已知数列an的前n项和为sn,a1=1,an0,anan+1=sn-1,其中为常数.世纪金榜导学号(1)求证an+2-an=.(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由题设,anan+1=sn-1,知an+1an+2=sn+1-1.两式相减得,an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=.(2)存在.由a1=1,a1a2=a1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4,由此可得,a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a

13、2n-1=1+(n-1)4=4n-3=2(2n-1)-1;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)4=4n-1=2(2n)-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列.因此存在=4,使得an为等差数列.1.设sn是等差数列an的前n项和,若s3s6=13,则s6s12等于()a.310b.13c.18 d.19【解析】选a.据等差数列前n项和性质可知:s3,s6-s3,s9-s6,s12-s9仍成等差数列.设s3=k(k0),则s6=3k,s6-s3=2k,所以s9-s6=3k,s12-s9=4k,所以s9=s6+3k=6k,s12=s9+4k=10k,所以s6s12=3k10k=310.2.项数为n的数列a1,a2,a3,an的前k项和为sk(k=1,2,3,n),定义s1+s2+snn为该项数列的“凯森和”,如果项数为99项的数列a1,a2,a3,a99的“凯森和”为1 000,那么