定积分在实际问题中的应用

1、第二节定积分在实际问题中的应用application of definite integral教学目的: 熟练掌握求解平面图形的面积方法,并能灵活、恰当地选择积分变量;会求平行截面面积已知的立体的体积,并能求解旋转体的体积;能够解决物理应用中变力作功、液体压力方面的问题.内容: 定积分几何应用;定积分在物理中的应用.教学重点: 求解平面图形的面积;求旋转体的体积.教学难点: 运用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积教学方法: 精讲:定积分的几何应用;多练:用定积分求平面图形的面积和立体的体积教学内容:一、定积分的几何应用1. 平面图形的面积设函数均在区间上连续,且,现计算由所围成的平面图形的面

2、积.分析求解如下:(1) 如图6-3所示,该图形对应变量的变化区间为,且所求平面图形的面积对区间具有可加性.(2) 在区间内任取一小区间,其所对应的小曲边梯形的面积,可用以为底,为高的小矩形的面积(图6-3)中阴影部分的面积)近似代替.即面积微元为(3) 所求图形的面积图6-3【例1】求曲线，直线及所围成的平面图形的面积.解对应变量的变化区间为,在内任取一小区间,其所对应小窄条的面积用以为底,以为高的矩形的面积近似代替,即面积微元于是所求面积【例2】求曲线及所围成的平面图形的面积.解由求出交点坐标为和,积分变量的变化区间为,面积微元即于是所求面积若平面图形是由连续曲线所围成的,其面积应如何表达

3、呢?分析求解如下:(1)对应变量的变化区间为,且所求面积对区间具有可加性.(2)在的变化区间内任取一小区间,其所对应的小曲边梯形的面积可用以为长,以为宽的矩形面积近似代替,即面积微元为于是所求面积【例3】求曲线,直线所围成的平面图形的面积.解由解得交点坐标为和,则对应变量的变化区间为,此时,则面积微元于是所求面积【例4】求由及所围成的平面图形的面积.解为了确定积分变量的变化范围,首先求交点的坐标.由得交点.方法一选为积分变量,则对应的变化区间为,此时面积微元于是方法二选为积分变量,对应的变化区间为,此时,则面积微元于是注:由此例可知,积分变量的选取不是唯一的,但在有些问题中,积分变量选择的不同

4、,求解问题的难易程度也会不同.【例5】求椭圆的面积.解椭圆关于轴,轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即利用椭圆的参数方程应用定积分的换元法,且当时,时,于是2.空间立体的体积(1)平行截面面积为已知的立体的体积设某空间立体垂直于一定轴的各个截面面积已知,则这个立体的体积可用微元法求解.不失一般性,不妨取定轴为轴,垂直于轴的各个截面面积为关于的连续函数,的变化区间为.该立体体积对区间具有可加性.取为积分变量,在内任取一小区间,其所对应的小薄片的体积用底面积为,高为的柱体的体积近似代替,即体积微元为于是所求立体的体积【例6】一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这个

5、平面截圆柱体所得契形体的体积.解取该平面与底面圆的交线为轴建立直角坐标系,则底面圆的方程为,半圆的方程即为.在轴的变化区间内任取一点,过作垂直于轴的截面,截得一直角三角形,其底长为,高度为,故其面积于是体积(2)旋转体的体积类型1:求由连续曲线,直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成立体的体积.过任意一点作垂直于轴的平面,截面是半径为的圆,其面积为,于是所求旋转体的体积【例7】求由及所围成的平面图形绕轴旋转一周而成立体的体积.解积分变量轴的变化区间为,此处,则体积【例8】连接坐标原点及点的直线,直线及轴围成一个直角三角形,求将它绕轴旋转一周而成的圆锥体的体积.解积分变量的变化区间为,此处为直

6、线的方程,于是体积类型2:求由连续曲线,直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积.过任意一点,作垂直于轴的平面,截面是半径为的圆,其面积为,于是所求旋转体的体积【例9】求由及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体的体积.解积分变量的变化区间为,此处.于是体积【例10】求椭圆分别绕轴、轴旋转而成椭球体的体积.解若椭圆绕轴旋转,积分变量的变化区间为,此处,于是体积若椭圆绕轴旋转,积分变量的变化区间为,此处,于是体积二、定积分在物理中的应用1. 变力所做的功如果一个物体在恒力的作用下,沿力的方向移动距离,则力对物体所做的功是.如果一个物体在变力的作用下作直线运动,不妨设其沿轴运动,那么

7、当物体由轴上的点移动到点时,变力对物体所做的功是多少?我们仍采用微元法,所做的功对区间具有可加性.设变力是连续变化的,分割区间,任取一小区间,由的连续性,物体在这一小段路径上移动时, 的变化很小,可近似看作不变的,则变力在小段路径上所做的功可近似看作恒力做功问题,于是得到功的微元为将微元从到积分,得到整个区间上力所做的功【例11】将弹簧一段固定,令一段连一个小球,放在光滑面上,点为小球的平衡位置.若将小球从点拉到点,求克服弹性力所做的功.解由物理学知道,弹性力的大小和弹簧伸长或压缩的长度成正比,方向指向平衡位置,即其中是比例常数.若把小球从点拉到点,克服弹性力,所用力的大小与相等,但方向相反,

8、即,它随小球位置的变化而变化.在的变化区间上任取一小段,则力所做的功的微元于是功【例12】某空气压缩机,其活塞的面积为,在等温压缩的过程中,活塞由处压缩到处,求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功.解由物理学知道,一定量的气体在等温条件下,压强与体积的乘积为常数,即由已知,体积是活塞面积与任一点位置的乘积,即,因此于是气体作用于活塞上的力活塞作用力,则力所做的功的微元于是所求功【例13】一圆柱形的贮水桶高为5米,底圆半径为3米,桶内盛满了水.试问要把桶内的水全部吸出需做多少功.解取深度为积分变量,则所求功对区间具有可加性.应用微元法,在上任取一小区间,则所对应的小薄层的质量.将这一薄层水吸出桶外时

9、,需提升的距离近似为,因此需做功的近似值,即功的微元为于是所求功将,得2.液体压力现有面积为的平板,水平置于密度为,深度为的液体中,则平板一侧所受的压力为水深为处的压强值若将平板垂直放于该液体中,对应不同的液体深度,压强值也不同,那么平板所受压力应如何求解呢?设平板边缘曲线方程为,则所求压力对区间具有可加性,现用微元法来求解.在上任取一小区间,其对应的小横条上各点液面深度均近似看成,且液体对它的压力近似看成长为、宽为的小矩形所受的压力,即压力微元为于是所求压力【例14】有一底面半径为1米,高为2米的圆柱形贮水桶,里面盛满水.求水对桶壁的压力.解积分变量的变化区间为,在其上任取一小区间,高为的小圆柱面所受压力的近似值,即压力微元为于是所求压力为将代入【例15】有一半径米的圆形溢水洞,试求水位为3米时作用在闸板上的压力.解如果水位为3米,积分变量的变化区间为,在其上任取一小区间,所对应的小窄条上所受压力近似值,即压力微元于是所求压力将代入得课堂练习:1.求