第7章空间解析几何与向量代数第五节

1、xyzo 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知平面的法线向量为已知平面的法线向量为,cban 设平面上的任一点为设平面上的任一点为，),(zyxm第五节第五节 平面及其方程平面及其方程n一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程),(0000zyxm且过点且过点求平面方程求平面方程.0mm,0000zzyyxxmm 0)()()(000 zzcyybxxa 平面的点法式方程平面的点法式方程,cban ),(0000zyxm),(zyxm00

2、nmmxyzon0mm求求过过点点)0 , 3, 2( a且且以以3 , 2, 1 n为为法法向向的的平平面面方方程程. . 解解例例1 1，03)3(2)2( zyx化简得所求平面方程为化简得所求平面方程为.0832 zyx由平面的点法式由平面的点法式求过三点求过三点)4 , 1, 2( a、)2, 3 , 1( b和和)3 , 2 , 0(c的平面方程的平面方程. 6, 4, 3 ab1, 3, 2 ac取取acabn ,1, 9,14 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx解解例例2 2bcan132643 kji一一般般,

3、 ,若若三三点点)3 , 2 , 1( ),( izyxaiiii不不在在一一直直线线上上, ,则则这这三三点点确确定定一一张张平平面面, ,其其方方程程为为( (混混合合积积) ) 0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx, 或或 01111333222111 zyxzyxzyxzyx. . 称为平面的称为平面的三点式方程三点式方程 求求过过点点)1 , 1 , 1(,且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程. ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n所以所求平面的法向量为所以所求平面的法向量为21nnn ,5,15,1

4、0 化简得化简得. 0632 zyx, 0)1(5)1(15)1(10 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例3 3两平面的法向分别为两平面的法向分别为二、平面的一般方程二、平面的一般方程 前面看到前面看到, ,平面可用平面可用三元一次方程三元一次方程表示；反之表示；反之, ,任一三元一次方程任一三元一次方程 0 dczbyax（* *） 当当 a, ,b, ,c 不全为零时不全为零时, ,表示一张平面表示一张平面, , 它的法向为它的法向为 ,cban （* *）称为平面的）称为平面的一般方程一般方程. . 平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( d平面通过

5、坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( a , 0, 0dd平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 cbca0, 0 cb类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0 dczbyax解解例例4 4 求通过求通过x 轴和点轴和点(4, 3, 1)的平面方程的平面方程.由于平面过由于平面过x 轴轴, 所以所以 a = d = 0.设所求平面的方程为设所求平面的方程为 by + cz = 0 ,又点又点(4, 3, 1)在平面上在平面上, 所以所以 3b c = 0 , c =

6、 3b , ,所求平面方程为所求平面方程为 by 3bz = 0 ,0 b显然显然所以所求平面方程为所以所求平面方程为.03 zy设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(ap、)0 , 0(bq、), 0 , 0(cr(其其中中0 a,0 b,0 c), 求求此此平平面面方方程程. 设平面方程为设平面方程为, 0 dczbyax将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0dccdbbdaa,ada ,bdb .cdc 解解例例5 5代入即得所求方程为代入即得所求方程为1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上

7、截截距距oypxzqr,ada ,bdb .cdc ,0 d显然显然,0 dczbyax把平面方程化为截距式把平面方程化为截距式, 14/556/5 zyxxyzo求求平平面面0546 zyx与与三三个个坐坐标标面面所所围围四四面面体体的的体体积积. . .1441254556561 v解解例例6 6两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. .定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n , 0:11111 dzcybxa, 0:22222 dzcybxa,1111cban ,2222cban 三、两平面的夹角三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式

8、有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|coscbacbaccbbaa 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 ccbbaa21)2( /.212121ccbbaa 求求两两平平面面062 zyx和和052 zyx的的夹夹角角. . 解解例例7 7，2 , 1, 11 n两平面的法向分别为两平面的法向分别为，1 , 1 , 22 n，321 nn，621 nn21cos2121 nnnn .3 解解例例8 8判断下列各组平面的位置关系判断下列各组平面的位置关系: : ；：0432 )1(1 zyx .01865

9、 2 zyx： ，1 , 3, 21 n，8 , 6 , 52 n，021 nn. 21 ,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( mm两平面平行但不重两平面平行但不重合合01224, 012)2( zyxzyx解解,212142 21)0 , 1, 1()0 , 1, 1( mm两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.02224, 012)3( zyxzyx,1, 1, 21 n2 , 2, 42 n解解.0)1, 1 , 0()1 , 1 , 1( 21，求求它它的的方方程程平平面面且且垂垂直直于于和

10、和一一平平面面通通过过两两点点 zyxmm1 1m2m1n.02 zyx111201 kji,1, 1, 2 解解例例9 9所求平面的法向为所求平面的法向为，过过点点)1 , 1 , 1(1m，0)1()1()1(2 zyx化简得化简得n121 nmmn 过过点点)1 , 3, 2( 且且与与平平面面0432 zyx平平行行的的平平面面方方程程. . 将将)1 , 3, 2( 代代入入得得 7 d, , 所所求求方方程程为为 0732 zyx. . 解解例例1010，032 dzyx设所求方程为设所求方程为设设),(0000zyxp是平面是平面byax 0 dcz 外一点，求外一点，求0p到平

11、面的距离到平面的距离. 1pnn0p 解解则有则有 0111 dczbyax, , 在平面上取一点在平面上取一点),(1111zyxp, , 四、点到平面的距离四、点到平面的距离显显然然有有 ndnpp 01, , 而而,10101001cbazzyyxxnpp )()()(101010zzcyybxxa )(111000czbyaxczbyax ，dczbyax 000.|222000cbadczbyaxd 点到平面距离公式点到平面距离公式如如, ,点点)1 , 1 , 1(到到平平面面0432 zyx的的距距离离为为 ，dczbyaxnpp 00001，ndnpp 01，而而222 cban 1944132 .144 平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程