4第四节系统的能观测性

1、monday, november 15, 20211第四节 系统的能观测性monday, november 15, 202127.4 系统的能观测性直观概念：系统的能观测性指系统输出为 时对状态 的反映能力。)(ty)(tx一、能观测性定义：例7-4-1系统结构图如下：uy1x 1x2x 2x1s1s32显然输出 中只有 ，而无 ，所以从 中不能确定 ，只能确定 。我们称 是可观测的， 是不可观测的。y2x1x)(ty1x2x1x2xmonday, november 15, 20213能观测性定义：在给定控制输入 作用下，对于任意初始时刻 ，若能在有限时间 之内，根据从 到 系统输出 的测量值

2、，唯一地确定系统在 时刻的状态 ，则称该系统是能观测的。只要有一个状态变量不能由输出唯一确定，则称系统是状态不能观测的。)(tu0t0tt ty0t)(0tx0txcyubxax 线性定常连续系统的动态方程为：monday, november 15, 20214二、能观测性判据：能观测性判据一：状态能完全观测的充要条件是能观测阵：tnoacacaccp12满秩。式中：为 维矩阵。opnnm,对于下列单输出系统，是状态完全能观测的，称为能观测标准型。xyubxaaaaxn1000101001001210monday, november 15, 20215例7-4-2：xyubxaaax100,1

3、00100210，判断能观测性。解：。，满秩3110100221222ooprankaaaaacaccp所以，不论 取何值，系统状态都是能观测的。321,aaamonday, november 15, 20216从图上看，系统是能控且能观测的，但这是不可靠的。解：先用信号流图看，信号流图如下：1s1s2x2x 1x1x 111211yu1，试判断能控性和能观测性。例7-4-3：某系统动态方程为：xyuxx11111102monday, november 15, 20217、用判据一判断，有：02121ccpbabp，故系统状态不完全可观测。显然， 不满秩，所以系统状态不完全可控。cp，1111

4、accpo不满秩oopprank，21又这显然与直观感觉不符。monday, november 15, 20218让我们来考察一下原因，先求上例状态方程的解：?)(?,txet a2101)()2)(1(1102*ssaisssaisssais，2101)2)(1(1)(1ssssai sttttt aeeeeaisle22110)(dueexxeeeeduexxeeeetxtxtttttttttatttt)()0()0(0)(11)0()0(0)()(0)(2)(221220)(212221monday, november 15, 20219ttttttttduexexeetxduexetx

5、0)(221220)(2121)()0()0()()()()0()( 从上式可以看出： 对 作用的强度是一样的，符号相反。当 时（能控性与初值无关），有： ，也就是说，输入只能使得 ，在 的空间， 无能为力。所以，在整个状态空间，是状态不可控的。)(tu)(),(21txtx0)0()0(21 xxduetxtxtt)()()(0)(221)()(21txtx)()(21txtx)(tu 状态空间可以分为可控状态子空间和不可控状态子空间。monday, november 15, 202110又：)0()0()()()(11)(2121xxetxtxtxtyt所以，由输出只能确定 ，而不能单独确

6、定 系统是状态不能观测的。)0()0(21xx)0(),0(21xx 同样，状态空间可以分为可观测状态子空间和不可观测状态子空间。monday, november 15, 202111能观测性判据二： 类似于能控性判据，可以利用线性满秩变换将动态方程化为对角标准型或约当标准型，然后根据转换后的输出阵 来判别原动态方程的能观测性。pc 设系统的动态方程为：)()()()(txctytxatx 阵不影响能观测性b当 具有互异的特征根 时，做线性满秩变换：，则新的动态方程可化为对角标准型。nnan,21_xpx )0()0()(_21xeeecxecxcxpctyttttnmonday, novem

7、ber 15, 202112令：mnmmnnnmfffffffffc212222111211_则：)0()0()0(_2_1212222111211121ntttmnmmnnmxexexefffffffffyn 由上式不难看出：只要 阵中某一列元素全为零，则输出中就不存在（反映）对应的状态变量，那末该状态变量是不可观测的。如 阵中的第一列元素全为零，则 中都不含 ，即不能由 求得 ，故 是不能观测的。_c_c)(tyi)0(1_x)(tyi)0(1_x)0(1_xmonday, november 15, 202113若 中没有一列元素全为零，则 可观测。_c)(_tx可以证明：若 能观测，则

8、能观测。)(_tx)(tx判据线性定常连续系统中， 具有相异的特征根 ，则系统状态完全能观测的充要条件是：系统经非奇异变换后的对角标准型的矩阵 中不包含元素全为零的列。n,21nna_c当 有重特征根时，做线性满秩变换 ，原动态方程可转化为约当标准型。nna_xpx )0()0(_xecxpcyxexxjxt jt j，monday, november 15, 202114为叙述方便，设有四阶三输出系统，后：，则转换为约当标准型单根三重特征值为：)()(,211314，yxtttttttt jeeeeetteeej2111111000000000! 2,00000001000122111约当块

9、1j)0()0()0()0()0(! 2)0()0()()()()(_4_3_3_2_32_2_13433323124232221141312113212111111xexextexexetxtexefffffffffffftytytytyttttttt阵_cmonday, november 15, 202115)0()0()0()0()0(!2)0()0()()()()(_4_3_3_2_32_2_13433323124232221141312113212111111xexextexexetxtexefffffffffffftytytytyttttttt阵_c由上式看出， 中与约当块 相对应的是前三列。分析如下：_c1j当 第一列元素全为零时（ ）， 中无 ， 不可观测；_c0312111fff)31(),(ityi)0(1_x)0(1_x_c当 第一列元素不全为零，第二、第三列元素全为零时， 包含 ，系统状态完全可观测； )31(),(ityi)41()0(_jxj，当 第四列元素全为零时， 中不包含 ，则 不可观测。)31(),(ityi