数值分析实验报告

1、湖北民族学院理学院数值分析课程实验报告（一）课程名称数值分析班级0212404实验日期2014/12/15姓名向义俊学号021240418实验成绩实验名称实验一算法的稳定性分析与误差分析（验证性实验）实验目的及要求1、 理解算法的数值稳定性概念2、 会进行算法的舍入误差和截断误差分析实验环境Matlab软件实验内容设计两个算法计算下面的定积分并估计误差。要求两个算法理论正确，并且一个算法是不稳定的，另外一个算法是数值稳定的。算法描述及实验步骤算法描述：由于初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快，就数值不稳定。实验步骤：由分部积分可得计算的递推公式 （1）若计算出，代入（1）式，可逐次求

2、出 的值。要算出就要先算出，若用泰勒多项式展开部分和 并取k=19,用4位小数计算，则得，截断误差.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。当初值取为时，用（1）式递推的计算公式为，n=1,2，。计算结果见表1的列。用近似产生的误差就是初值误差，它对后面计算结果是有影响的.从表1中看到出现负值，这与一切相矛盾。实际上，由积分估值得 （2）因此，当n较大时，用近似显然是不正确的。这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就是初值有误差，由此引起以后各步计算的误差满足关系由此容易推得，这说明有误差，则就是的n!倍误差。例如，

3、n=19，若，则。这就说明完全不能近似了。它表明计算公式（A）是数值不稳定的。我们现在换一种计算方案。由（2）式取n=19,得，我们粗略取，然后将公式（1）倒过来算，即由算出，公式为计算结果见表1的列。我们发现与的误差不超过。记，则，比缩小了n!倍，因此，尽管较大，但由于误差逐步缩小，故可用近似。反之，当用方案（A）计算时，尽管初值相当准确，由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠。此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的。 实验结果和分析总结实验一：实验二：方案一尽管相当准确，由于误差传播使逐步扩大的，因而计算结果不可靠。方案二比缩小了倍，尽管较大，但误差是逐步缩小的，故可靠。附录程序算法

4、一I(1)=0.6321;for i=1:9 I(i+1)=1-i*I(i);endI算法二I(9)=0.0684;for i=9:-1:2 I(i-1)=1/i*(1-I(i);endI湖北民族学院理学院数值分析课程实验报告（二）课程名称数值分析班级0212404实验日期2014/12/15姓名向义俊学号021240418实验成绩实验名称实验二 多项式插值（验证性实验）实验目的及要求1、 掌握拉格郎日插值多项式的用法，适用范围及精确度。2、 掌握牛顿插值多项式的用法，适用范围及精确度。3、掌握分段线性插值与三次样条插值的基本原理，会利用Matlab库函数进行分段线性插值与三次样条插值。实验环

5、境Matlab软件实验内容已知函数在下列个点的值为1进行Lagrange插值，Newton插值，画出插值多项式的图形。0.20.40.60.81.00.980.920.810.640.382. 进行分段线性插值与三次样条插值，画出插值多项式的图形。3. 采用四种插值方法计算处的近似值。算法描述及实验步骤算法分析：Lagrange插值计算：Lagrange插值函数Newton插值公式：分段插值：简单地说，将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数，记作它满足 ，且在每个小区间上是线性函数 。可以表示为 实验步骤：由于中含有3+n个待定系数，故应需要3+n个插值条件,已

6、知插值节点和相应的函数值,这里提供了1+1个条件，还需要2个边界条件。实验结果和分析总结分析总结：拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，相对于理论分析比较重要。当插值节点增加或减少时，计算要全部重新开始，计算量大；其插值曲线光滑，误差估有表达式。但当节点再次增加时，它就会表现出Runge现象。牛顿插值多项式，具有一定的继承性，计算方便。分段低次插值分段Hermit插值三次样条插值都避免了Runge现象的产生。但分段低次插值函数的导数是间断的；分段Hermit插值比分段低次插值效果较好。但它要给出节点上的导数值，要的信息太多，并且也不太光滑，即，光滑度不高。所以三样条插值就避免了以上的缺点。附录程序

7、1.1、Lagrange插值function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end在运行窗口输入x0=0.2:0.2:1;y0=0.98 0.92 0.81 0.64 0.38;x=0.2:0.05:1;y=lagrange(x0,y0,x)plot(x0,y0,'r',x,y)1.2Ne

8、wton插值function f = Newton(x,y,x0)syms t; if(length(x) = length(y) n = length(x); c(1:n) = 0.0;else return;end f = y(1);y1 = 0;l = 1; for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) = (y(j)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l; simplify(f); y = y1; if(i=n-1) if(nargin = 3) f = subs(f,&#

9、39;t',x0); else f = collect(f); f = vpa(f, 6); end endend在运行窗口输入x0=0.2:0.2:1; y0=0.98 0.92 0.81 0.64 0.38;x=0.2:0.05:1;y=Newton(x0,y0,x)plot(x0,y0,'r',x,y)1.3分段线性插值 在运行窗口输入x0=0.2:0.2:1;y0=0.98 0.92 0.81 0.64 0.38;x=0.2:0.05:1;y=interp1(x0,y0,x)plot(x0,y0,'r',x,y)title('分段线性插值

10、');1.4三次样条插值在运行窗口输入x0=0.2:0.2:1;y0=0.98 0.92 0.81 0.64 0.38;x=0.2:0.05:1;y=spline(x0,y0,x)plot(x0,y0,'r',x,y)title('三次样条插值'); 湖北民族学院理学院数值分析课程实验报告（五）课程名称数值分析班级0212404实验日期2012/12/23姓名向义俊学号021240418实验成绩实验名称实验四 线性方程组的直接法（验证性实验）实验目的及要求1、掌握高斯消去法求解线性方程组2、掌握LU分解法求解线性方程组实验环境Matlab软件实验内容编制

11、程序，用掌握列主元高斯消去法和LU分解法求解线性方程组，其中 ， 算法描述及实验步骤（1）列主元消去法： 先编写M文件liezhu.m，然后在命令窗口中输入A=10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 10 0 2; b=8 5.900001 5 1'RA,RB,n,X=liezhu(A,b) 运行程序，即可得结果（2）LU分解法： 先将A做LU分解，用L,U=lu(A)得出L和U。由于A=L*U,令Ux=y,则有y=Lb,x=Uy,即可求解。实验结果和分析总结（1） 列住元高斯消去法： X = 0.4436 -0.2923 0.80151.5178（

12、2）LU分解法：L = 1.0000 0 0 0 -0.3000 -0.0000 1.0000 0 0.5000 0.2193 0.8333 1.0000 0.2000 1.0000 0 0U = 10.0000 -7.0000 0 1.0000 0 11.4000 0 1.8000 0 0 6.0000 2.3000 0 0 0 -3.8114X = 0.4436 -0.2923 0.8015 1.5178附录程序 （1）列主元高斯消去法:function RA,RB,n,X=liezhu(A,b)B=A b; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhic

13、a=RB-RA;if zhica>0,disp('请注意：因为RA=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA=RB if RA=ndisp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1Y,j=max(abs(B(p:n,p); C=B(p,:);B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C;for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);

14、endend湖北民族学院理学院数值分析课程实验报告（六）课程名称数值分析班级0212404实验日期2014/12/23姓名向义俊学号021240418实验成绩实验名称实验四 线性方程组的迭代法（验证性实验）实验目的及要求1、掌握雅克比迭代算法程序设计2、掌握高斯赛德尔迭代算法程序设计实验环境Matlab软件实验内容编制程序，用雅克比迭代算法和高斯赛德尔迭代算法求解线性方程组，其中 ， 算法描述及实验步骤首先把所给内容化成：x=Bx+f的形式，然后给出初始向量：，并按迭代公式 进行计算，如果按上述迭代公式所得到的向量序列收敛于某一向量，则就是方程组的解，并称此迭代法收敛；否则称为不收敛或发散。称

15、B为迭代矩阵。Jacobi迭代设有线性方程组即式中，非奇异，且由式（*）得到 其相应的迭代公式为 （*）称迭代公式（*）为Jacobi迭代。1、Jacobi迭代法的程序算法：（1）取初始点，置k等于0，精度要求和最大迭代次数N（2）用式（*）计算（3）若,则停止计算（作为线性方程组的解）。（4）若k=N，则停止计算（输出某些信息），否则置k=k+1,转（2）2、Gauss-Seidel迭代法其中。其迭代法优点为只需一组存储单元。实验结果和分析总结（1）在Matlab命令窗口输入如下命令>> A = 5 2 1;-1 4 2;2 -3 10;>> b = -12 20 3

16、'>> ep = 1e-5;>> x0 = 0 0 0;>> it_max = 90;>> x,k,index = Jacobi(A,b,x0,ep,it_max)x = -3.9997 2.9998 1.9998k = 14index = 1由index = 1可知，方程迭代14次后得到满足要求的近似解。（1）在Matlab命令窗口输入如下命令>> A = 5 2 1;-1 4 2;2 -3 10;>> b = -12 20 3'>> ep = 1e-5;>> x0 = 0 0 0

17、;>> it_max = 90;>> x,k,index = Jacobi(A,b,x0,ep,it_max)x = -4 3.0001 2k = 7index = 1由index = 1可知，方程迭代7次后得到满足要求的近似解。附录程序1、Jacobi迭代法：function x,k,index = Jacobi(A,b,x0,ep,it_max)if nargin < 4 it_max = 100;endif nargin < 3 ep = 1e-5;endn = length(A);k=0;x = zeros(n,1);y = zeros(n,1);index = 1;while 1 for i=1:n y(i)=b(i); for j=1:n if j=i y(i)=y(i)-A(i,j)*x(j); end end if abs(A(i,i)<1e-10|k=it_max index = 0; return; end y(i)=y(i)/A(i,i); end if norm(y-x,inf)<ep break; end x=y; k=k+1;end2.高斯赛德尔迭代法：function x,n=gsdddy(A,b,x0,eps,