运用基本图形巧证三角形相似

1、    运用基本图形巧证三角形相似    张小艳有关相似三角形的问题较复杂，图形变化多样，但是复杂图形都是由基本图形组合而成的，掌握一些基本圖形的构成形式及性质，能准确、快速地解决问题.下面我们一起来认识一下相似三角形的基本图形的几种类型.基本图形一：a型图如图1，d、e分别是abc的边ab、ac上的点.de /bc.结合三角形的判定定理“两组角对应相等的两三角形相似”，可得abc，ade.这种基本图形很像英文字母a，因此我们将它称为“a型图”.变形1：如图2，de与bc不平行，aed=b，结合a=a，由相似i角形的判定定理可得abcaed.变形2：如图

2、3.de与bc不平行，点e与点c重合，aed=b，结合a =a，可得abcaed，即abcacd.“a型图”的特点：两个相似三角形有公共角，并且有两边在同一条直线上.例1 如图4.在锐角abc中，点d、e分别在边ac、ab上.agbc于点g，afde于点f.eaf= gac.（1）求证：adeabc.（2）若ad=3 ，ab=5，求af/ag的值.分析：（1）根据求证的结论可以看出，ade和abc的位置关系是基本图形中“a型图”的图2形式，寻找相似的条件即可证得结论.由于agbc.afde，所以afe=agc=90°.又因为eaf=gac，所以可得aed=a cb，结合公共角可证得a

3、deabc.（2）由相似三角形的性质可求比值，解：（1）agbc，afde，afe= agc=90°.点评：对于符合“a型图”特征的两个三角形，常常要添加平行于三角形一边的平行线，有时还要借助公共角来证明它们相似.基本图形二：x型图如图5，d、e分别是abc的边ba、ca的延长线上的点，de /bc，因此可得abcade，这种基本图形被形象地称为“x型图”.变形：如图6，de与bc不平行.当b=e时，结合bac=ead，可证得abcaed.当ae：ab=ad：ac时，结合bac=ead.可得abcaed.“x型图”的特点：两个相似三角形有对顶角，并且有两边在同一条直线上.例2如图7，

4、正方形abcd的顶点a在等腰直角def的斜边ef上，ef与bc相交于点g.连接cf（1）求证：daedcf.（2）求证：abg'一cfg.分析 （1）由正方形abcd和等腰直角三角形def，可以得到ad=dc，de=df.再找它们的夹角，利用“sas”即可证得da e：dcf.（2）abg和cfg的位置关系符合“x型图”的特征，有一组对顶角，再找另一组相等的角即可，延长ba交ed于点m.由全等三角形的性质可知ead=fcd，通过等量代换得到gab=gcf，利用两组角分别相等的两个三角形相似即可证得结论.点评：对于符合“x型图”特征的两个三角形，经常作平行线找相等的两角，或者通过证明两边

5、对应成比例及夹角相等来判定它们相似.基本图形三：k型图如图9，若点c、a、d在同一条直线上，当c= d= bae=90°时，利用互余的两角关系可得b=ead.所以得到abcead.这种基本图形很像英文字母k，因此我们将它称为“k型图”.变形：如图10，若点c、a、d在同一条直线上，当/c=bae=d时.由b+c=bae+ ead得b= ead.所以得到abcead.“k型图”的特点：两个三角形各有一条边在同一条直线上，并且只有一个公共点.例3如图11.在abc中，ab=ac.点e在边bc上移动（点e不与点b、c重合），满足def=b，且点d、f分别在边ab、ac上.（1）求证：bdecef（2）当点e移动到bc的中点位置时，求证：fe平分dfc.分析：（1）从bde和cef的位置关系上看符合图10的“k型图”的特征，思路是利用两组角分别相等证明两三角形相似.根据等腰三角形的性质可得 b=c.易知b+ bde= def+fec，可得bde=fec.结合以上结论可证