2022年数学广角内容解读及教学思考

1、1 数学广角内容解读及教学思考人教版新课程教材中， 除了在有关单元渗透相应的数学思想方法以外，还专门安排了数学广角单元来介绍和渗透一些数学思想方法，“数学广角”是新增设的一个内容，其目的是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来， 并运用操作、 实验、猜想等直观手段解决一些简单的实际问题或数学问题。一、“数学广角”教学的现状（让人欢喜让人忧）数学广角 的内容虽然不多， 但它也有着其深刻的解读性。 但由于这一内容在老教材中没有出现过， 它是一个陌生而又精致的小单元，因此许多教师喜欢选这部分内容作为公开教学的教材， 但很多人往往由于数学专业知识的缺陷及对内容解读的失误，使课堂

2、教学误入歧途，偏离目标1. 被遗忘的角落由于新课标的评价建议里指出， “数学广角”单元内容只作思维训练课，不作为学业评价的主要范畴， 最多是放在评价试卷的最后作为附加题进行评估。正因为这个应试导向，因此在我们很多的常规课上，“数学广角”渐渐地淡出了很多老师的视线，甚至沦落为可教可不教的教学内容，彻底成为被遗忘的角落。2. 被关爱的宠儿近年来，我们经常看到“数学广角”的教学内容成为各种各样教研活动的 “常客”，成为一些公开课和赛课的“宠儿”！可能是因为它一般可以作为独立教材来处理，不需要考虑进度；但还有的是跟随“潮流”。因此在课堂中经常看到烙饼“烙焦”了；植的树数不清了；次品找不出了，鸡兔不愿再

3、同笼了课堂中出现困惑的地方主要表现在：（1）教学目标定位失当。由于教材理解不到位，目标定位发生偏差，以至于有些教师将“数学广角”纳入“实践与综合应用”领域，当做“综合实践课”来上。（2）数学思考把握不准。由于数学思考的“度”没有把握准确，课堂上出现要求过高的现象，当作奥数课来上，以至于课堂上呈现“沉默是金”；也有出现要求过低的现象，当作平时的技能课来上，以至于“雷声大雨点小”。（3）活动过程徒具形式。很多课堂以美丽的课件来代替活动过程，以至于课堂上眼花缭乱“课件满天飞”，学生的数学思考并没有活动体验的支撑，活动过程徒具形式，难有实效。案例研究精品学习资料 可选择p d f - - - - -

4、- - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -2 （4）过度追求生活原型。数学生活化是新课标的理念，但在“数学广角”的内容里过度追求生活化导致对数学模型构建的淡化，以至于课堂上出现了本末倒置的现。因此，经常听到听课老师发出这样的感叹：“这样的课太难上了，听也听糊涂了！”面对两种迥然不同的态度，那么，我们该如何更好地把握这一内容，体现其数学价值呢？爱， 是需要理解的， 我们不妨先来看看它在整个教材体系的目标和教材编排。二、数学广角的目标内涵数学学习不仅可以使学生获得参与社会生活必不可少的知识和能力，而且还能有效地提高学生的逻辑推理能力，进而奠定发

5、展更高素质的基础。因此，培养学生良好的数学思维能力是数学教学要达到的重要目标之一。数学广角 较为集中地安排了训练思维的教学内容，试图在渗透数学思想方法方面作一些努力和探索， 把重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，以解决学生容易接受的生活问题的形式，通过实验、观察、操作、 推理等数学活动进行渗透， 激发学生探索数学问题的兴趣和解决问题的意识，发展思维能力，让学生在活动中感悟数学思想方法，促进学生数学素养的提升。通过让学生理解并初步掌握这些数学思想方法，不仅有利于提高他们用数学解决问题的能力， 同时也可使他们感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有序地、严

6、密地思考问题的意识，从而达到标准中提出的“在解决问题的过程中，使学生能进行简单的、有条理的思考”这一要求。三、数学广角的内容体系1. 在教材体系中的地位。“数学广角”不属于“四大板块”内容，但又融入四大板块之中，单独划分单元，其原型是属于数奥训练课， 旨在系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的思想方法以学生可以理解接受的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。2. 教学内容编排分布情况人教版教材从一年级开始， 各册都有一单元进行渗透， 其具体内容及蕴含的数学思想如下：册数单元课题名称主要内容数学思想方法一上5 分类单一分类、多样分类分类思想一下8 找规律简单的图形或数字排列规律排列思想精品

7、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -3 二上8 数学广角简单的排列组合排列组合思想简单的逻辑推理推理思想二下9 找规律稍复杂的图形和数列的排列规律排列思想三上9 数学广角稍复杂的排列组合排列与组合思想三下9 数学广角简单的集合问题集合思想简单的等量代换问题等量代换思想四上7 数学广角合理安排运筹、优化、对策论思想四下8 数学广角简单的植树问题植树问题思想方法五上7 数学广角简单的数字编码数字编码的思想方法五下7 数学广角找次品优化思想六上7 数学广角鸡兔同笼问题假设思想六下5 数学广角抽

8、屉原理抽屉原理第一学段，数学广角出现了简单的排列组合、简单的推理、集合思想、等量代换等内容，让学生通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动，初步感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练， 逐步形成有顺序、 全面思考问题的意识， 同时培养他们探索数学问题的兴趣与欲望，发现、欣赏数学美的意识，进而达到数学课程标准第一学段的要求：使学生“在解决问题的过程中，能进行简单的、有条理的思考”。第二学段渗透了优化思想、 对策论、解决由植树引发出来的问题、 数字编码、假设法、抽屉原理等数学思想方法， 一方面继续让学生感悟数学思想方法，感受数学的魅力，培养学生分析、 推理的能力，逐步形成探索数学问题

9、的兴趣与欲望，另一方面加强了综合运用知识解决问题和解决问题策略多样化的教学，使学生逐步提高数学思维能力和解决问题的能力。1. 一上安排了“分类”这一教学内容。分类思想是一种基本的数学思想。它是根据一定的标准，对事物进行有序划分和组织的过程。 教材按由易到难的顺序，分别安排了单一标准的分类和不同标准的分类两部分内容。2. 一下安排了 “探索给定图形或数字中的简单规律”这一纯数学的内容， 开始系统地渗透数学思想方法， 引导学生探索一些图形或数字的简单排列规律，初步培养学生探索数学问题的兴趣以及发现、欣赏数学美的意识。 这一内容有利于学生主动地进行观察、 实验、猜测、验证、推理与交流， 初步感受数学

10、思想方法，受到数学思维训练。“探索规律”是数学课程标准中“数与代数”领域内容的一部分，在第一学段和第二学段都规定了这部分内容。 传统教材中没有单独编排数字和图形的排列精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -4 规律，只是在练习中有少量的习题； 有关探索规律的内容是新编实验教材新增设的内容之一，也是数学课程教材改革的一个新变化。3. 二上教材安排了简单的排列组合思想和逻辑推理方法。排列与组合的思想方法不仅有广泛的应用， 而且是今后学习概率统计等知识的基础，逻辑推理更是学生进一步学习数学的基

11、础，是发展学生逻辑推理能力的良好素材。4. 二下继续安排了找规律。本册教材就是在学生已有知识和经验的基础上，继续让学生通过操作、 观察、实验、猜测等活动探索图形和数列的排列规律。与一年级下册教材相比， 本册教材最大的变化就是图形和数列的排列规律稍复杂一些，如图形的排列呈现形状和颜色的循环变化，一个数列每相邻两项的差组成新的数列是等差数列。这部分内容与一年级下册的内容一样，活动性和探究性比较强， 注意引导学生通过独立思考和探究的方式学习；也可以采取小组交流的方式进行学习，但交流的重点可以是难找的规律、怎样找出有新意的排列规律。5. 三上则在学生已有知识经验的基础上，继续让学生通过观察、 猜测、实

12、验等活动，找出事物的排列数与组合数，与二年级上册教材相比， 本册教材的内容更加系统和全面，分别介绍了排列以及组合， 教材重在向学生渗透这些数学思想，并初步培养学生有顺序地、 全面地思考问题的意识， 从而使学生在解决问题的过程中，能进行简单的、有条理的思考。这部分内容的活动性和操作性比较强，可以采取学生动手实践、 小组合作学习的方式教学。教师要把握好教学要注， 这里只要学生能根据实际问题采用罗列、连线等方式， 找出简单事物的排列数和组合数，并能感受到有的与顺序有关， 有的与顺序无关， 不要提高要求， 教师教学语言中尽量避免出现排列、组合这些术语，也不需要跟学生解释。6. 三下借助学生熟悉的题材渗

13、透集合的有关思想，体验等量代换思想方法在解决问题中的应用。集合和等量代换的理论都是比较系统、抽象的数学思想方法， 在这里，只是让学生通过生活中容易理解的题材初步体会这两种思想方法，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了，教学时老师不要使用集合、集合的元素、基数、交集、并集、等量代换等数学化的语言进行描述。7. 四上引导学生初步体会运筹思想在实际生活中的应用以及对策论方法在解决问题中的应用， 使学生理解优化思想， 形成从多种方案中寻找最优方案的意识，提高解决问题的能力。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，

14、共 10 页 - - - - - - - - -5 本单元主要是通过日常生活中的一些简单事例，让学生尝试从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案，初步体会运筹思想在实际生活中的应用以及对策论方法在解决问题中的运用。运筹思想和对策方论的理论都是比较系统、抽象的数学思想方法， 在这里只是让学生通过简单的事例， 初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用，初步培养学生的应用意识， 提高解决实际问题的能力。 学生只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体会优化思想的应用就可以了，并不要求学生一看到问题就能从优化的角度给出最优的方案。另外老师在教学中也不要使用运筹、优化和对策等数

15、学化的语言进行描述。8. 四下主要渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题， 让学生从中发现一些规律， 抽取出其中的数学模型， 然后再用发现的规律来解决生活中的实际问题，培养学生抽取数学模型的能力。解决植树问题的思想方法是实际生活中应用比较广泛的数学思想方法。植树问题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树平均分成若干段（间隔），由于路线的不同、植树要求的不同，路线被分成的段数（间隔数）和植树的棵数之间的关系就不同。 在现实生活中类似的问题还有很多，比如公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵，等等，它们中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题，我们就把这类问题统称

16、为植树问题。本单元就是让学生通过生活中的简单事例，初步体会解决植树问题的思想方法和它在解决实际问题中的应用，教学时，应从实际问题入手， 引导学生在解决问题的分析、 思考过程， 逐步发现隐含于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程， 体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。但是，也要注意不要对例题进行过多的变式、提高问题的难度，造成教学要求过高。9. 五上使学生初步体会数字编码思想在解决实际问题中的应用，并通过观察、比较、猜测来探索数字编码的简单方法，让学生学会用数字进行编码，初步培养学生的抽象概括能力。数字编码是一种抽象的数学思想方法， 在这里只是让学生通过日常生活中的一些实例，初步体会

17、数字编码在解决实际问题中的应用，并通过观察、比较、猜测来探索数字编码的简单方法，学会运用数进行编码， 初步培养学生的抽象、 概括能力。学生只要能从邮政编码、 身份证号码等具体实例中初步了解蕴含其中的一些简单信息和编码的含义， 探索出数字编码的简单方法， 并能在实践活动中加以应用就可以了， 并不要求学生掌握编码中每个数字的信息和含义。另外学生在实践中可以有不同的编码方法， 教师要允许学生采用不同的形式，并且要放手让精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -6 学生亲身去体会、 经历运用所学知

18、识解决实际问题的过程，培养学生的探索精神和实践能力。教师只是在必要时给以一定的点拨、引导。10. 五下“找次品”则进一步向学生渗透优化思想，体会解决问题策略的多样性及运用优化方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。（1）加强学生的试验、操作活动。内容活动性和操作性强，可以采取学生动手实践、小组讨论、探究等方式教学。（2）重视培养学生的猜测、推理能力和探索精神。组织学生进行试验操作活动，是本单元内容教学内容的基础或前奏，教学重点在于活动后的猜测、 归纳、推理过程，由此促进学生养成勤于思考，勇于探索的精神。11. 六上安排鸡兔同笼问题，借助古代趣题，使学生展开讨论，应用假设的数学思想，从多角度思考，

19、运用多种方法解决问题。“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在孙子算经中。 教材在本单元安排“鸡兔同笼”问题， 一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会代数方法的一般性。本单元教材在编排上有以下几个特点：（1）由孙子算经中的“鸡兔同笼”问题引入，激发学生的解题兴趣。（2）注重体现解决“鸡兔同笼”问题的不同思路和方法。（3） 拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识，明确其在生活中的应用。建议（1） 注意渗透化繁为简的思想。“鸡兔同笼”的原题数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究，因此教材先编排了例1，通过化繁为简的思想，帮助学生先探索出解决该类问题的一般方法后，再解决

20、孙子算经中数据较大的原题。教学时，教师应注意使学生体会这一点。（2） 适当把握教学要求。解决“鸡兔同笼”问题时，教材展示了学生逐步解决问题的过程，即猜测、列表假设或方程解。 其中假设和列方程解是解决该类问题的一般方法。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力，列方程解则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可， 不强求用某一种方法。12. 六下安排了抽屉原理，通过直观和实际操作，使学生经历抽屉原理的探究过程，对一些简单的实际问题模型化，会用抽屉原理加以解决。 教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对于一些简单的实

21、际问题加以“模型化”，会用“抽屉原理”加以解决。建议精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -7 （1）让学生初步经历“数学证明”的过程。在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一现象进行“就事论事”式的解释，通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。（2）应有意识地培养学生的“模型”思想。“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体问题时， 能否将这个具体问题和

22、 “抽屉问题”联系起来，能否找到该问题的具体情境和“抽屉问题”的“一般化模型”之间的内在联系，能否找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，是影响能否解决该问题的关键。这个过程实际上是学生将具体问题“数学化”的过程，能否从纷繁的现实材料中找出数学最本质的数学模型工，是体现学生数学思维和能力的重要方面。梳理了整套教材，让我们更深入地去准确把握体系中各个知识点之间的联系点， 我们也不难发现教材编排的特点是从注重形象具体思维逐步过渡到注重抽象思维，很多数学思想方法也是螺旋上升，逐步深入的。首先，它们各个内容之间又存有一定的联系，准确把握各册教材的联结点有助于解读教材。 譬如，第七册的合理安排

23、、 第十册的找次品问题以及第十二册的抽屉原理，解决问题时都要考虑“至少”的问题，都在多种解决策略中寻找最佳最优的策略，都要运用推理能力和渗透优化思想。学习“数字编码”的时候，自然地要同“找规律”这一个知识点进行嫁接；解决“封闭方阵中的植树问题”时需要用 “重叠问题”来诠释；植树问题和鸡兔同笼问题都很注重数学模型的构建，一般都得经历 “问题模型构建模型解释应用模型”的学习过程其次，很多的教学内容都得强调数学文化的渗透，如鸡兔同笼、 抽屉原理等问题都得介绍有关数学知识背景，提高学生学习数学的兴趣。 在教学过程中， 需要时刻关注情感态度价值观的体现。四、“数学广角”教学策略初探1. 还数学课以“数学

24、味”数学课应当要赋予“数学味”， 在过程的安排设置上力求凸显 “数学味”，教师始终要将发展学生的数学思考置于统率课堂的高度去追求，要让学生在课堂中感受和体验数学课该有的数学味。然而，我们有些课堂却在这个关键的节骨眼上失了“味”。例如，有位老师在上“数字编码”一课时，从邮递员送信作为切入口创设一个情境，绕了很大的圈子才引出邮编， 然而又费了很长的录像来介绍邮局里投递信件的过程， 之后半节课来介绍身份证的制作过程，学生听得很轻松， 根本不用进行数学思考，俨然一堂“常识科学课”！( 举例) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10

25、页 - - - - - - - - -8 对策: 在“数字编码”一课中，介绍邮编中的“六位四级编码制”时，是否可以直接提出：“为什么四级要用六位数而不用四位数呢？”“身份证必须全国人民每人一个号码， 那么身份证至少要有多少位数字才能做到这一点呢？”“那为什么我国要用 18 位数字呢？”等等，这些问题有利于学生主动去用数学的思想方法去思考和解释。再如“找规律”中，可以将新知识同“有余数除法”进行有效地连接，提升对学生的数学思考。(举例) 再如，一位老师让“找规律”（一下）一课，出示主题图让学生找规律, 涂一涂、画一画，贴一贴感知创造的规律。接下来，根据仿照音乐打节奏的方式体验规律，课堂很热闹，变

26、成了节奏的海洋。其实，前半节课是“美术课”，后半节课是“音乐课”或”体育课”。( 举例) 为何将我们的数学课变成了“常识课”“美术课”呢？原因就在教师淡化了数学思考。数学味在哪里？该怎样去挖掘数学味呢？我想，我们应当要用一种居高临下的高度去透析教材， 把握各个知识点之间的联系， 竭力挖掘有利于学生自主思考的学习素材， 善于设计一些能激起学生自主参与思考的问题，还数学课以数学味！2. 目标定位张弛有度教学目标的定位不仅影响着教学预设的质量，而且还左右着教学过程的展开。让每个学生都能初步感受一些基本的数学思想方法是“数学广角” 的主要教学目标之一。那么如何准确的进行教学目标定位呢？（1）不是简单的

27、“告诉”！由于没有应试方面的要求，很多老师就采用了简单的“告诉”，将教学目标明显下放。 这种避开活动过程 “从繁就简” 的做法，如同蜻蜓点水般浅尝辄止， 无法让学生体验数学思考。 例如，有教师上找次品时，就明确告诉学生：“先将要找的产品分成3 堆，而且要尽可能的平均分。3个称一次， 9 个称 2 次，27 个称 3 次”然而，为什么要这样分呢？学生没有经历过，没有活动经验， 就谈不上教学效果了。 这种舍本逐末的做法显然不可取。( 举例) （2）不必刻意拔高教学要求。数学思想方法属于默会知识，需要经历长期渗透和不断地体验来感悟的， 而不是一蹴而就的。 有些教师认为， 尽量挖深教材就是思维训练得层

28、次越高，正由于这个误导，很多的课堂成了“奥数训练课”。如：搭配问题中，最后要求让学生抽象出“乘法原理”和“加法原理”，并细加比较，且将“组合”和“排列”的概念提炼出来。这种拔苗助长的做法对低年级学生的学习兴趣和求知欲来说都是不利的，显然是后继学习的任务。 (举例) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -9 （3）力求做到“下要保底，上不封顶”。由于这是思维含量比较高的数学课，由于学生的学习起点不同， 思维能力不均， 因此很多课堂中只让优生唱独角戏，其他学生充当“看客”在旁观。例如，在植

29、树问题的导入时，当教师出示课题时， 就有学生站起来说了植树问题的三种情况，究其原因， 该生在奥数训练中接触过，就把课堂当作自我展示的“舞台”。那么在这个时候，教师应当要做些什么？根据学生的实际情况，制定有差异的知识技能目标， 尽量让更多的人参与，处理好面向全体与关注差异的关系，真正做到“下要保底，上不封顶”。( 举例) （4）融会贯通，抓住知识的联系点，体现“大教材观”。譬如二年级和三年级的搭配问题，教学中要仔细透析知识点， 它们之间知识点既有联系又有区别，教学中不能越位也不囿于表层。 还有植树问题中， 两端都种的和封闭图形中的植树问题是有联系的， 一种是线段上线型的植树问题， 一种是成面的平

30、面型的植树问题。后者是以前者为基础的， 教学中我们要善于抓住这些联系点而展开有效教学。3. 合理取舍教学素材新课程标准（修订版）告诉我们：用教材，结合“境材”（周围的环境资源）和“人材”增删、重组、包装“教材”，考虑“人材”特点, 摄取“境材”组成“大教材”。因此，恰当地选取教学素材，是有效课堂展开的先决条件。那么在取舍教学素材方面我们该关注些什么呢？（1）教材里材料适合于你的课堂吗？很多教师认为， 重组教材就是创新教学， 于是在很多的课堂上， 我们所看到的“面目全非”的教学流程比比皆是。但是，教材中的材料都是落伍的吗？都是应当摒弃的吗？曾经听过这样一节重叠问题的课，为了重组教材，教师拼命在生

31、活中找素材，导入时，教师问：同学们，你们喜欢语文老师吗？喜欢数学老师吗？既喜欢语文老师又喜欢数学老师的有吗？课堂的生成出乎于教师的预设，有学生说“既不喜欢语文老师，也不喜欢数学老师，因为作业都很多，还是最喜欢音乐老师，没有作业”，显然课堂上的尴尬代替了教师改编例题的喜悦。浙江省特级教师钱希有曾经说过：“若是找不到好的教学素材，那么课本上的素材就是最好的学习资源。”因此，在选取教学素材的时候，我们要多关注一下教材，认真择取适合你的文本信息。（2）“境材”用得恰当吗？新课堂标准倡导学生在生动具体的情境中学习数学，注重生活与数学的联系 ,我们不能一味追求素材的现实性和趣味性。在实际教学中，有些“境材”的选取精品