数学线性代数n维向量空间PPT课件

1、1T212 , ,1 行向量(1n矩阵)列向量(n矩阵) 通称： n个数构成的=有序数组本章所称的：其中 (i=1,n)为 的第 个分量。n维向量指n维列向量nniaaa aaaain n维维向向量量aa由第一章知道4.1 n维向量的概念维向量的概念第1页/共117页TT1212T222TT212,0,0,0,1,相等对应分量都相等和:零向量，复习若干概念：向量和 向量的向量称为的用表示。负向量的数量向量乘积与数 iinnnnna aab bbab ababaabiaankkka ka# # # # # # # # # # O 11T,nka第2页/共117页 :;1;()() ;()(-k

2、lklkkkkl)kl 和和+ = + O 1 2 3 4 5 6 7 8加法交换律:；加法结合律向向量量加加法法向向量量的的数数乘乘满满足足的的运运算算规规律律: :向向量量 和和 的的差差# #为为 # # T1122nn() = (,)=-ab abab+第3页/共117页T1212T12n12, , , ,z,nnnnnna aaa aaznzznnnz:;:向量 的分量都是实数向量 的分量都是复数。 所有 维实向量(real vector)的集合称为,，记为，即。所有 维复向量(complex 实向量 复向量为实数维实向量空间维复向 vector)的集合称为，记为间即量，空定定义义#

3、 # #4 4. .1 1ababRRCCnznnnn注意：在中，向量只能与实数相乘，而在中，向量 。 本章只研究实向量空间 可以乘为复数，任意复数但结也。论对成立。RCRC第4页/共117页12m12mmmmii=1mmTTTk ,k ,k ,kkkk1122i1212123312 设, 都是n维向量，若存在数使得 =+=，称线性表示线性组合可由,，或称 是,的。设有向量=(1,3,1) ,=(-1,-1,3) ,=(-5,-11,3) ， 因=-34.2. +，故12向向量量的的线线性性表表示示定定义义4 4. .2 2例例 ,312可由和线性表示。4.2 向量的线性表示与线性相关第5页/

4、共117页TTT12TT34123123T1244=3,2,0,5,(1,0,0,0) ,(0,1,0,0) ,(0,0,1,0) ,(0,0,0,1),205(1,) ,0,0判断向量-是否可由向量线性表示。 因，所以 可由线性表示。 一般地，在n维向量空间中，向量 =-3例例4 4. .1 1 解解 ee eee eee eee e e e 1 1TTT2212(0,1,0) ,(0,0,1), nnnnnnx xxnxxx中任意 维向量，都可以用基本单位向称为 维向量空间的。基本单位量向线。量：性表示eeeeR第6页/共117页11112211211222221122 给定具有 个变量和

5、 个线性方程组成的方程组(4.2)方程改写成：mmmmnnnmmnmna xa xaxba xa xaxba xaxaxb4 4. .2 2. .2 2 向向量量的的线线性性表表示示与与线线性性方方程程组组的的关关系系11112211211222221122 mmmmnnnmmna xa xaxba xa xaxba xaxaxb第7页/共117页111121212222m11121121222212n121nmnm , mmmnnnmmnmaaabaaaaaabaaabxxxaaabbaaa记 12mm12n12(4.2)= (,) (,)mm xxbx则线性方程组(4.2)可写成向量方程的

6、形式： 方程组的系数矩阵和增广矩阵分别是，。 AA = 1212第8页/共117页1112111212222212111221221212(1(1 . . )(m2)线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：将所有系数构成一个系数矩阵即：将所有系数分成个列向量 AAXBmmmnnnnmnniaaaxbaaaxbxbaaaaaaaxxaaim11221122即：mmmnmmmnababxbxxxa第9页/共117页mmmmm1mmrank()rank(,)rank()rank(,)(1) ,12121221211212惟(1)向量 可由向量线性表示的充要条件是： (2)向量 可由向量线性表示的充

7、要条件是： 可由向量线性表示存在数。个一mmx 定定理理4.14.1证证 , ,2m1122mmTmmmmmrank( )rank( )rank()rank(,(), (,) (3.2) (), ()212111212212，使得 方程组 有解其中, , ,矩阵由定理有：即：xxxxxx xxAX A XA A AA , , ,m,)。第10页/共117页12m12mTmmmmm,(),()3.2()(),121122121212 可由向量线性表示存在 个惟一的数，使得 方程组 有惟一解 其中 (由定理知)阵惟一地矩 mmx xxxxxxxx证证( (2 2) ) AXAXAA , , , ,

8、 , , , , , , , , , , , , mmrank( )rank( )rankrank()(, )1212 即：mmAA , , , , , , ,第11页/共117页2131412TT12TT3441232315191234(1,2, 3,1) ,(5, 5,12,11) (1, 3,6,3) ,(2, 1,3,4)151225313 12631 1134设，问 可否由 ， ， 线性表示？若可以，求出表达式，并说明该表达式是否唯一。， ， ，rrrrrrr 例例4 4. .2 2解解 34423212123123441231 5 1 20 3 1 10 0 0 00 0 0 0r

9、ank()rank()23可知 , , , ,。因此， 可由 ， ， 线性表示, 但表达式不唯一。 rrrrrr 第12页/共117页11223344152311 212011 3130,11 xxxxxxxxxcxcccxccxxx 12323123123由上述变换，知向量方程与下列方程组同解： 其通解为- -其中 为任意常数。特别取 =得 = ，=0，= ，于是有线性表示式3。第13页/共117页T12nTTT12n1212nn12n12n= ( ,)(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1)1 000 100 01rank()rank(, )例例4 4. .3 3解解 e eee

10、 eee ,eee ,ee a aaaaan 证明任意n维向量可由基本单位向量唯一地线性表示。 由 ( , , , , )=可知 , , ,。因此， 可由1 122n12nn =e ,eeeeeaaa, , 唯一地线性表示。显然 第14页/共117页12m12m12mm12m , :,0, ,0 A nAk kkkkkkk k 12和与的概念密切联系。设有如果，使称向量组。 若维向量组存在一组不全为 的数仅当时，有线性相关线性无关线性表示线线4 4. .2 2. .3 3 向向量量的的线线性性相相关关与与线线性性无无性性关关 定定相相关关义义4 4. .3 3 O12mm kkAAk12*给成

11、定立，的向称向量组量组。 ，。 线性相关线性无关二者必或居其一线线性性无无关关O第15页/共117页(1) (2)(3)(4)向量组线性相关可由向量组其他向 量线性表=至少有一个向量部分向量整个 整个任意部分向量组示线性相关仅含一个向量的向量组 线向量组线性相关。 含有零向量的向量组线性相关向量组。 。线性无 关若向量组中；向量组中。性相关性线无关定定理理4 4. .2 2O12m1212:,mmmA kkAAkkkk12判断向量组线性相关与否时，把 当此方程组有非零解时，则向 看成是为未知数的齐次量组 线性相；关 若此方程组只有零解，则向量组 线性无关线性组。方程 a aaO第16页/共11

12、7页2111 1211112121221112,0,1,1 mmmmmmmkkkkmk kkkkkkkk 1若向量线性相关，则存在不全为0的 个数使 不妨设于是 即向量 可用向量组的其它向量线性表示(充分性证毕)。反之，若可用线性表示，即证证( (3 3) ) O 12212212( 1),mmmmmcccc 于是 则线性相关(必要性证毕)。 O 第17页/共117页1 12211 122121212121,0 , ,0,00,(0)kkkmkkkkkmkmc cccccccc ccc 若向量组，中部分向量，如 ，线性相关则存在不全为 的数使因为不全为零，使所以 量+向+组证证 4 4 OO2

13、12, ,mm，线性相关。 反之 若，线性无关, 如果它有某一个部分向量组线性相关，由上述结论，则整个向量组也必定线性相关,出现矛盾所以,它的任意一个部分向量组也必线性无关。 。 第18页/共117页TTT123() ,(1)()2 1 01 2 1()1 2 10 1 2det()0,0 1 20 0 4rank( ) = 3xxx123123123判断向量组2, 1,0,2, 10, 1,2 是否线性相关。考虑齐次方程 求该线性方程组系数矩阵的秩： ，因或，则此方程组只有零解，即向量组线性无关。例例4.4 4.4 解解 3aa,aaaaOa ,a ,aAA第19页/共117页2131TTT

14、r2rrr12(1,2,0) ,(2,4,0)(1,1,1)()1 2 11 21 = ()2 4 10 010 0 10 00rank( ) = 23xx 12312312判断向量组 是否线性相关。若线性相关，哪个向量能表示为其 他向量的线性组合？思路同例4.4 因-，故例例4.5 4.5 解解 aa,aAa ,a ,aAaa31231 21 0 0 01 00 00 0 x xxx 3123有非零解，则向量组 线性相关。 对齐次方程-aOAaaaOA第20页/共117页 若一组向量线性相关，则其中某些向量可用其他向量线性表示，也可能有向量不能用其他向量线性表示。11232331232201

15、00202010,202xxxxxcxxcxcxcxcc123123213312由通解为其中 为任意常数。由通解 = -，= ，= ，得由此得线性表示式但不能表示成 与 的线性组合。aaaO aaa aaaaaa 第21页/共117页121211221212 , (,) , ,mmmmmmmkkkxxxrankrm12 由齐次线性方程组是否有非零解的条件可得出以下定理。 向量组方程有非零解。 向量线性相关线性无关 组定定理理4 4. .3 3O O 112212 (,)mmmxxxrankm方程只有零解定理由齐次方程组是否有非零解的充要条件可证。O 第22页/共117页11212121212d

16、et(,(1) n,det(,)0),(2),rk,0an线性无关 维向量组 它们。当时,线性相关 维向量组必定线性相关。矩阵只有 行 它的秩 nnnmmmnnn定定理理4 4. .3 3推推论论证证( (2 2) ) 122,所以齐次线性方程组有非零解，即向量组线性相关。mmnm 第23页/共117页1212121212121122 ,mmmmmmmmnpnpc ccccc设 维向量组线性相关， 是矩阵，则 维向量组也线性相关。 反之, 若向量组线性无关,则向量组也线性无关。若线性相关 则存在不全为零的数使 定定理理4 4. .4 4证证 AA AAA AA O第24页/共117页12112

17、2121212, ,上式两边左乘矩阵。 反之，若线性无关，原向量组也必线性无线性相关 若原向量组线性相关，由上述结论知，也线性相关 引起矛盾。 关。 mmmmmmcccAO A AAA AAAAA AAA 第25页/共117页112111222T11,11T21,22T1,1212 , , , , n维向量组线性相关维向量组，当时线性相关。 第37页/共117页T12m12m12m1212n12n12m1m2m(,)rank(,)mn,det(,)0(5)n,r(rn)n,xxx 方程只有零解。 维向量组线性无关若 维向量组线性相关，则取其前 个 分量组成的向量组也线性相关；若 维向量组 线性

18、无向量组线性无关的等价性关，则每个向量增加s件个条 O 12m12m12m(6),分量后所得向量组也线性 无关。向量 可由向量组唯一线性表示 线性无关且线性相关。 第38页/共117页1212 :,:,设向量组中每一个向量都可以由向量线性表示组，称可以由向量组 线性表示两个向量组可以相互表示相互等向量组。若，称它们，或称它们是 价等价向量。组stABAB4 4. .3 3. .1 1等等价价向向量量组组定定义义4 4. .4 4 4.3 等价向量组第39页/共117页1112131111231231222322123112232:() , ,112s 若向量组中每一个向量都可以由向量组线性表示

19、，即可以写成 展开后： stittstsstttijABpppppppppppppjsji 1212,或stst P第40页/共117页111212122212121212121ij11212=,:,(4.7)(4.7) (,)(,:,)(),t s向量组 可由向量组 线性表示向量组由组线性表示的充要存在矩阵即反之，若式成立，条件是:使得则。因立。式成此下， ssststtttsstpppppppppABBpppA P12121221212212(,)(,)即 sssttttsppppppp P第41页/共117页121212u1ij2212k1l :,:,(:()() , )(, , ) 向

20、量组可由本身线性表示，即若向量组可由向量组线性表示，向量组 又可由向量组线性表示，则向量组 可由向量组 线性表示。即存在和使ssttu tsssABBCAC pp* * * , E,PP121212u21211212u21 (,)(,)(,(,)()( 故 。即向量组 可由向量组 线性表示sttsAC P , , ,PP,P第42页/共117页1212121211212112n(,)(,)(,)(,)(,)(,(1) (2) (3) ,)(, ,-1等价向量组性质每个向量组都与自身等价； 若 与 等价，则 与 等价； 设都是 维向量组， 若 与 等价与 等价，则 与 等价。 则 sssstts

21、ABBAABBCACA,B,C定定理理4 4. .6 6( () ) E P P 121121211212u2112u121212u212u12212,)()()(,)(,)(,)(,),(,()()()(,)-111-1； (本定理直接由向量组等价 定义证明。 ； )tsstsstt P , ,P , , , ,P P , , P PPP第43页/共117页111111111 (1) (2) (3) 部分向量组 是 的最大线性无关组充要设有 维向量组 ，若 中一个部分向量组 线性无关， 且 与 等价，则称的 向量组 的的有以下几种：线性无关， 且 中任意向量都是 的线性组合；中任意向量可以由

22、 唯一地线性表示；线性无关,将 中任意其它向量加入 后得到线性相条件是关。 向nAAAAAAAAAAAAAAAAAA4 4. .3 3. .2 2 最最大大线线性性无无关关组组定定义义4 4. .5 5最最大大线线性性无无关关组组11量组。 条件(3)说明， 中包含经扩充后线性相关的向量组，这正是称 为最大线性无关组的原因。AAA第44页/共117页12112121211212:()rankrank,rank()1),ii最大线性无关组判断法1 向量组的部分向量组是 的的充分必要条件是必要性 若是 的最大线性无关组,则 若,任取则可表示成的线最大无关组(线性定定理理4 4 7 7证证) ) .

23、 . ( ( , , , , , , , , , ,mrrrmrrAArmArAArmrrim12rijj1,1,2,i1i2irii1i2ir性组合，即存在一组数使 其中。 rjcccccccirrm第45页/共117页1212(1,1)121211211212,),),),),ijmjcirj r rrmmmri mrrmr 第 列乘以加到第 列经初等变换对矩阵()作初等变换矩阵(即 ()rank(rank()所以， O OO,OOO121212211222=()rank,),1),)(,)rmrimirrirrAriArmrA 111充分性 若条件成立，即 rankrank:线性无关，

24、且对 任意 rank(rank 线性相 ，(关可1 1知知是是 的的最最 大大线线证证 , , , , , , O。性性无无关关组组 第46页/共117页121212(2) (1) :,(2) :()(),4.mmmAAAAAA11 任意包含r个线性无关向量的部分最大线性无关组判断法 设有向量组若rank()= r，则 的都是的向量组的任意包含 相同个数的向量。 设部分组含有向量组 中任意r个线性无关向量,则 rankrrank由定最最理向量组定定理理4 4. .8 8 大大线线性性无无关关组组大大线线性性无无关关组组证证( (1 1) )； , , , , , ,AA127mAAAA1知，是

25、 的。 因为 的任意最大线性无关组都恰好包含rank=r个向量，故 最最大大线线性性无无关关组组证证( (2 2) )向向量量组组 中中各各个个最最大大线线性性无无关关组组包包含含的的向向量量个个数数相相同同。 , ,第47页/共117页TTTTT(1,2, 1,3) ,( 2,1,0, 1)(0,5, 3,5)( 1,3, 1,2) ,( 4, 3,2, 7)12014120142153301111103120010031527000001234 求下列向量组的一个最大线性无关组：。只用行初等变换，可同时求出向量组及其所有部分向量组的秩。由- 例例4.114.11解解 5aa,aaa4544

26、531231231233233可知，rank( , , , , )= rank( , , )= 3,因此， , , 是向量组的一个最大线性无关组。 实际上，任何 个包含 在内的向量组都是原向量组的最大线性无关组(如, , ；, , 等)。a a a a aa a aa a aaa a aa a a第48页/共117页TTT1231213123112231(1,2, 1) ,(2, 3,1) ,(4,1, 1)124124,231011111000rank()23,3 求向量组的最大线性无关组。 ,线性相关。但线性无关，是一个最大无关组；也线性无关，也是一个最大无关组。一般来说， 一例例A A

27、个向量组的最大线性无关组不是唯一的。第49页/共117页T12112122()()的秩等于的秩 由定理4.8给出如下定义： 定义为矩阵的秩矩阵列向量组的秩； 矩阵的秩矩阵行向量向量组组 :的的秩。秩mmmmA它它的的最最大大线线性性无无关关组组所所包包含含向向量量的的个个数数。只只有有零零向向量量的的向向量量组组的的秩秩定定义义为为0 0。矩矩阵阵列列向向量量组组的的秩秩 = = 矩矩阵阵行行向向量量组组的的 秩秩定定义义4 4. .6 6AAA = , ,A , ,A = ,AA , ,A ,由定理4.7知第50页/共117页12121212, ,(1)(2)设有向量组 :和向量组 :记可由

28、 线性表示的充要条件是rank() rank( )rank( ) rank() rank( )等价的线性无 与 等价的充要条件是 关向量组含有相 特别地，同rsrsAB 定定理理4 4. .9 9 , , A= , ,B,BABAA BABA BA (3)(4)个数的向量rank( ) rank(。若 可由 线性表示)线性相关，则 。若 可由 线性表示，且sr，则。BABBABA第51页/共117页11111111 4.7()()()()rank()() ()若 可由 线性表示， 可由线性表示，也可由线性表示，也可用线性表示，是的最大线性无关组，由定理知，反之，若rankrank成立，取 中最

29、大线性无关组，则rankrank取 中最大线性r无关组rankrankank证证( (1 1) ) BAAABAABAAABA BAAAAAAA BAABAA111() 4.7 rank由由定理知，是的最大无关组可由线性表示，所也可由 线性表示。以BAAAABBA第52页/共117页 ( )()( )( )(3)(4)BAABA BAA BBBBABA BAAABBABABABB=, 关 注 意： 。(等由(2)知，价向量组的秩等价向量组的秩相等，但反相等,但秩相等的向量组未之则不成立。必等价)。第53页/共117页TTTT1234TTT123 :(1,0,2,1) ,(1,2,0,1) ,(

30、2,1,3,0) ,(2,5, 1,4):(1, 1,3,1) ,(0,1, 1,3) ,(0, 1,1,4)()11221000215111()20313111104134证明下列：用初等行变换将矩阵化为阶梯型矩阵。 向量组等价AB例例4 4. .1 12 2证证 A BA B314121122100021511102151110022034 rrrr第54页/共117页324311221000215111002203400000001 001 00111011034007000000 ( )()()( )( )3( )3行变换则rankrankrank所以，向量组 与向量组 等得 rank

31、rankra k价n rrrrABBAA BBA BAB。第55页/共117页12121212121221ij(:,:,),=()r s 若向量组中的每一个向量均可由向量组线性表示，则称。若两向量组 和 可相互线性表示，则称它们可由线性表示的充要条件是存在矩阵。 ，使 可由 线性表示等 价*trssrsrBAABp等等价价向向量量组组与与最最大大线线性性无无关关组组小小结结：等等价价向向量量组组 P121212221211,),可由线性表示的充要条件是 rank()=rank()*rrsrsr P 第56页/共117页1212121212121212121212,srsrsrssrsrrank

32、()=rank() =ra 与等价的充要条件是 若可由线性nk()rank()rank表示，则若 * * ()可 1212s r,rs由线性表示，且，则 线性相关。 等价的线性无关向量组所含的向量个数相同(秩相 同的向量组未必等价)。* 第57页/共117页12121212121212121212,rrrrrmiiiiiimiiimiiiiiim 向量组中若存在r个向量满足： (1)线性无关； (2)中任一向量均可由线性表示， ()则称的一个。向量组最大线性无与等价为关组 * 最最大大线线性性无无关关组组11221212,rrmiiimiiim的部分组是的最大线性无关组的充要条件是 rank(

33、)=ra nk()=r 第58页/共117页12121212,设有向量组，若，则中任意r个线性无关向量都是的一个。向量* * * 组的任意最大线性无关组包含。向量组的最大线性无关组所含的向量个数称为该向量最大线性无关组相同个数的向量秩列向量的秩行向量的ran组的。矩阵 的秩等于 的，也等于 的 * k(。) =r秩mmmm AAA 第59页/共117页1111221nn2112222nnm11m 22mnTij12nmnnaxaxax0axaxax0axa,ax,xa0 xxx,， 设记则 齐 次 线 性 方 程 组 可 写 成 。由的 分 量 可 知 ， 该 方 程 组n解 是 一 个维 向

34、 量 。4 4. .4 4. .1 1 齐齐 次次 性性 方方 程程 组组OXXXAA有 齐 次 线 性 方 程 组4.4 线性方程组的结构第60页/共117页1112211221211212112222, ()都是的解，是任意数，则解的线性组合也是方程组的解。因为则所以，是方程组的解。 若 定定理理 4 4. .1 10 0 ( (齐齐次次线线性性方方程程组组解解的的性性质质1 1) ) 证证 c cccccccccXXXXXXAXOAXOAXOAAAOAOXXXXX 第61页/共117页12121221, n, (1) , (2) , , 类似于最大线性无关组，现引进的概念。设 维向量都是

35、方程组的解，而且满足：线性无关；的为齐次线性方程组的一个 任意一个解可由线性基础 齐次方程组的解通解为系示。 。表 称基基础础解解系系定定义义4.74.7ssssXXXAXOXXXAXOXXXAXOOX XXAX112212 ,其中，是任意常数。ssscccc ccXXXX第62页/共117页 ()mnrnnrn-1 设 是齐次线性方程组的系数矩阵,若是变量个数 ,那么且任意一个基础解系包含个解向量。 由定理2.9，存在阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 ，使于是等价于 齐ra 次线性方程组基本定理 有基础解系 )，nk(定定理理4 4. .1 11 1 ( () )证证 rrAAXO AXO PQE

36、O PAQ =OOAXPAOEOOO111000rPE-1-1-因可逆 r PPQ X = OPEOQ X =O Q X = OOO第63页/共117页 121211T121 ,(,)-1-121-11221n22n2把分块，得 =。即的通解为 其中是任意n - r维向量。设 的列向r行n - r量是,，则行00(,) nrrnc ccccrrrrYQ X = Q XYEOEO Q X = O OOOOOYEYO YO E Y = O Y = O AYOX = QYX =X = O YQQQQYQQQ12r+1r+2nn rcccQQQ第64页/共117页,r+1r+2nr+1r+2n12nr

37、+1r+2nr+1rr+2n1即方程的任意一个解都是向量的线性组合，反之，向量的任意一个线性组合都是方程的解。 又因可逆，则det,故线性无关，因此也线性无关。所以,。 如果向量组 是方程是方程的一个基础的另一个基础解系，则解与系BBAX = OXQQQQQQAX = OQQOQ QQQQQQQAQAXOQOX =Q,r,nr+2nr+1r+2n等价，且它们都线性无关，因而向量组 与有相同个数的向量，即有n - r个向量。所以基础解系都包含个线性无关的解。 BQQQQ第65页/共117页1234512345234512345 032530 226054330111111011532113010

38、122654331求下列齐次方程组的一个基础解系：现用行初等变换简化系数矩阵 例例4.134.13解解 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx A134523452260000000000502260得到：，并解同解方程之：组xxxxxxxx第66页/共117页1345112323452123333144425553123123124555226226 ,1122100100得到：其中是任意常数，解的: 通解向量形式 xxxxxcccxxxxxcccxxxcxxxcxxxcc c cxxxccxx356001c第67页/共117页T1T2T3TTT1122331231,2,1,0,01,2,0

39、,1,05,6,0,0,11,0,00,1,00,0,1,取 () ， () ，() ，则它们是由线性无关向量组() ，() ，() 添加分量所得，因而是线性无关的。 又因方程组的任意解可表示为的形式，所以是上述齐次线性方程组的一个基础解。系 ccc第68页/共117页1234123412341234123412341234 230 204430(1)20(2)2460 2502340121112111215(1)求下列齐次方程组的一般解：-；-化系数矩阵为阶梯型矩阵：-xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx例例4 4. .1 14 4解解 A1231234412100001

40、000020200rank( )= 2。同解方程组的解为-，即xxxxxxxx A第69页/共117页21321122112324TT12,2211001000(2,1,0,0)( 1,0,1,0)102012311144301022461000112340000令得一般解它的一个基础解系为，xc xcxccxcccxcx ( )解解 2 2 A第70页/共117页1323431234T32120()2211,221001= ( 2,1,0)2rank( )= ，得同解方程组令 为任意常数 ，得一般解其基础解系仅含一个向量，为。xxxxxxc ccxxccxcx A 第71页/共117页123

41、3211231231232 ( + 3) 20 (1)03(1)(3)031212110113(1)3312011 (1)00001令求 的值，使下列齐次方程组有非零解，并 求其通解。det当或cccrrrxxxxxxxxx例例4 4. .1 15 5解解 A时，方程组有非零解。第72页/共117页123231311322331213320 033031 21 010110113030 000 0 0，原方程组为-由得：是任意常数1其：1 ，或 (当时通解通解的向量形式1 xxxxxxxxcxxxccxxxcxxcxx A TT23,)( 1, 1, 1)。x xc第73页/共117页1231

42、312311322331213420 06404121 011010126140000 2 1 20121通解通解的向，原方程组为由得：是任意常数其：，或 (当量形式时 xxxxxxxxxcxxxccxxxcxxcxx A TT23,1,2,1)()。x xc第74页/共117页121212121 , ,(,=,= ,)(),i若，矩阵有，证明设rankrank，令由则有：可见，。的rankrank基础解系包含列的每一列都是方程组n - r个解，列=的解即 的向量例例4 4 . . 1 16 6证证 ppppnnrsAB = OAABBABA AAAOAO AOAOAB = OABBBOAX2

43、,中有n - r个线性无关向量，则 sr + s 。至 n - r，即 n多 p第75页/共117页T121212112212s12s12s12s()(1)(2),),的解，则对于任意数，的解。 若,线性无关的* *基础 设,，若，是齐次线性方程组也是齐的解的一任一解可由,线性次线表示,性方程组满足：；。则称为。系个解ijm nnaxxxcccc齐齐次次线线性性方方程程组组解解的的结结构构小小结结AXAXOAXOAXOAXOAXO第76页/共117页12n r11122n rnn rr2,(1)VArVrrVVrAVAVssrABVrir n若的子空间 的一组基 包含 个向量， 称 是 维子空

44、间， 称为 的是的 维子空间，,是 的一组基， 是 中包含 个向量的向量组，且，由定理4.9(4)知, 线性相关。 又若 :是 中包含 个向量的线性无关向量组,则向量组线性。若相关,可知 定定义义4 4. .1 10 0 子子空空间间的的维维 数数定定义义为为0 0 维维数数 , O R RR RiBABVBBV可用向量组 线性表示。这说明向量组 可用向量组 线性表示，因而 中任意向量也可用向量组 线性表示，即向量组 也是 的一组基。第95页/共117页1n12122n r2n rn1,|, rank(),()n-n中基本单位向量线性无关，且可线性表示中任意向量，因此是中的一组基。方程的解集。

45、设，方程的基础解系包含个线性无关解， 基础解系是的子空间 记为，则中任意解向量是它们的线 性组合构。成的n nn n例例4 4. .2 25 5 例例4 4. .2 26 6 解解n rccWrcWnnrWe eeAXOXAXO XAAXOXR RR R 中任意个线性无关解都是的一组基,因而也是方程的一组基系组础。解一基。WnrWAXO第96页/共117页112233123TTT2333123123123|,1,2,0,2,3,1,1, 1, 1, ,121121,2310110110001 设，其中，证明 是的子空间，且求它的一组基。，它是的子空间。为求 的一组基，只要求出与的一个最大线性无

46、关组即可。由于 例例4 4. .2 27 7证证 Vxxxx xxVVLV n nn nR RR RR R1212313,4.7,由定理知，是的也就一个最大线性无关组，是 的一。也是。组基V 第97页/共117页n12121212121212122122,:,:,若都是的子空间，且,则的维数的维数，等号当且仅当时成立。 设的维数分别为 和 ，且向量组和分别是和的一组基。因向量组 的每个向量属于，所以向量组 可用向量组线性表示。又因 线性无关，因而。若,显然。 反之，若，则向量组 是rsV VVVVVVVV VrsABVVAVABArsVVrsrsAV定定理理 4.14 4.14 证证 n nR

47、 R2112122 (,)(,)中包含 个向量的线性无关组,因而 也是的一组与基。由此, 。可知等以价所rssAVVABLLV 第98页/共117页12T12n121122,), ，由此引出向量坐标的概念。设是子空间 的一组基唯一设是子空间 的一组基，则 中任意向量可以唯一地表示为基向量的线性组合(这组基下，则 中任意向量 可地表示为有序数组称为向标量 在。的坐nrnnnVVxxxVVx xx定定义义4.14.1 1 1 R R第99页/共117页Tn12TTT12n1 122T1212T3T1 =,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1 , ( 1,2,4) :1,0,0,nnnnnnx x

48、xxxxx xxE求向量() 在中的基下的坐标。因为在中任意 =所以 在基下的坐标为 ()求向量-在中的两组基例例4 4. .2 28 8解解 例例4 4. .2 29 9 eeeeeee ee =eR RR RR RTT23TTT1230,1,0,0,0,1 :(1,1,1) ,(0,1,1) ,(1, 1,1)A；-下的坐标。ee第100页/共117页T1231233123TTT123 , 1 0 1 11 0 0 2,|1 1 1 20( 1,1 0 51 1 1 42,1)0 0 14AxxxxxxAxExAx12设 在基 下的坐标为( ,) 则+解这个方程组：-得到方程组的解( ,)

49、(-2,5,1)所在基 下的坐标为在基 下的坐标为(-2,以5,1解解 T)。同一向量在不同基下的坐标不同。第101页/共117页TTT12T12nn(1,0,0)(0,1,0) ,(0,0,1)(,)n 由于，所以。 通常，在中取基，这时向量的坐标就是它本身。设同一向量在不同基下的坐标有的两组不基相同 讨讨论论一一个个向向量量在在两两组组基基下下坐坐标标给给出出向向量量坐坐标标时时必必须须指指出出该该坐坐标标是是哪哪组组基基下下的的坐坐标标之之间间的的关关系系 nx xx e,ee =1212111212112122221122:,:,12n： (4. 19)nnnnnnnnnnnABppp

50、pppppp 第102页/共117页12n1T1121111121122222122212122n12 其称为基 到基 的=使用过渡矩阵则基 到基 的线性(,)=(,)(,变换(4.19)可以写成 即系系数数矩矩阵阵的的转转置置矩矩阵阵过过渡渡矩矩阵阵nnnnnnnnnnnnABppppppppppppppppppAB ,PP,P ,P1112121222n12n12,)=(,)nnnnnnppppppppp第103页/共117页12n1212n12nn()()()行初等变换变换=( , ,) ( ,)这是求即，由于向量组 和 都是线性无关的，故矩阵( , ,)， =( ,)都是可逆矩阵。因此

51、，即 通常用行初等变换求过渡矩阵，即。 过渡矩阵 的简单方法 利利用用 可可以以建建立立两两ABB APP = A BP = A= B , ,PA BPP= AEPBA BE。组组基基下下的的坐坐标标变变换换公公式式第104页/共117页Tn12n1122n12T12n12n1122nn112212n12nnn,nnxxxyyyxyxxyxyxxy yy设中向量 在基, ,下的坐标为，则有 在基 ,下+的(, ,)=坐标为，也(,于是)有, , = = = , 12n两边左乘(, ,) ，得 第105页/共117页111112212211111212222222nnnn12n12nnn111n

52、nnnnnpppxyyypppxyyxyxyyxyyypppxy-1(, ,) ( ,)即或即 XA BY = PYYB AX ,= PXA B= P11112111111212222222nT12nT12nnnn12(,)(,)nnnnnnpppyxxxpppyxxxBy yyAx xyxxpppxx-使用座标变换公式可由基 下座标,求出基或 下座标,，或反之 。B A= P坐标变换公式第106页/共117页32211323TTT123TTT1231211222 :1,1,1,0, 2, 2,2, 2,3:3, 2,3,2, 2,1,1, 2, 21 0 2 3 2 11 02321()1 2 2 2 2 20201 011 2 3 3 1 200111 010014101000011过渡设有中两组基：求从基到基的-矩阵 例例4 4. .3 30 0解解 rrrrrrrABABPA BR R10 11-221 41则过渡矩阵01 -10P第107页/共117页TTT11112TTTT123T1233123(1,0,0) ,(0,1,0) ,(0,0,1), ( 1,2,4)1,1,1,0,1,1,1, 1,1( 1,2,4)( 1,2,4) (), ,利用坐标变换公式求向量在基下的坐标。由于向量在基下的坐标为，现在要求 在基下的座标。设从