南大复变函数与积分变换课件(PPT版)3.2 柯西积分定理

1、1第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 3.2 柯西积分定理柯西积分定理一、柯西基本定理一、柯西基本定理二、闭路变形原理二、闭路变形原理三、三、复合复合闭路定理闭路定理四、四、路径无关性路径无关性五、五、原函数原函数2第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 (?) ggyxyvxuiyxyuxvdddd)()( yuxviyvxuzzf)dd()dd(d)(证明证明green公式公式.0c r方程方程d(?)green公式公式c r方程方程证明证明 yuxviyvxuzzf)dd()dd(d)( ggyxyvxuiyxyuxvdddd)()(.0一、柯西基本定理一、柯西基本定理定

2、理定理 设函数设函数 f (z) 在单连通域在单连通域 d 内解析内解析，g g 为为 d 内的任意一条简单闭曲线，内的任意一条简单闭曲线， 上述定理又称为上述定理又称为柯西柯西-古萨古萨( (cauchy-goursat) )基本定理基本定理。 .0d)( zzf则有则有g gg p60定理定理 3.2 3第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 注注(1) 定理中的曲线定理中的曲线 g g 可以不是可以不是简单简单闭曲线闭曲线。(2) 定理中的条件还可以进一步减弱定理中的条件还可以进一步减弱。定理定理 设单连域设单连域 d 的边界为的边界为 c，函数，函数 f (z)在在 d 内解析内

3、解析，.0d)( czzf则有则有cdcdd 在在 上连续，上连续，d一、柯西基本定理一、柯西基本定理定理定理 设函数设函数 f (z) 在单连通域在单连通域 d 内解析内解析，g g 为为 d 内的任意一条简单闭曲线，内的任意一条简单闭曲线，.0d)( zzf则有则有g gg p60 注注 4第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 二、闭路变形原理二、闭路变形原理 将柯西积分定理推广到二连域将柯西积分定理推广到二连域定理定理 设二连域设二连域 d 的边界为的边界为 ( (如图如图) )，21ccc 函数函数 在在 d 内解析内解析，在在 c 上连续上连续，)(zf czzf0d)(.d

4、)(d)(12 cczzfzzf或或1c2cdab证明证明如图，作线段如图，作线段 a b，则二连域，则二连域 d 变为单连域，变为单连域，,0d)(d)( baabzzfzzf由由,0d)(d)(d)(d)(21 bacabczzfzzfzzfzzf,0d)(d)(21 cczzfzzf czzf0d)(.d)(d)(12 cczzfzzf或或则则从而有从而有 p61定理定理 3.4 5第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 d1c2c 在区域内的在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值区域内作连续变形而改变

5、它的值，称此为称此为闭路变形原理闭路变形原理。二、闭路变形原理二、闭路变形原理 闭路变形原理闭路变形原理如图，设如图，设 在在 d 内解析内解析，在边界在边界 上连续上连续，21ccc )(zfg g 为为 d 内的一条内的一条“闭曲线闭曲线”，.d)(d)(d)(12 cczzfzzfzzf则则p62 6第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 drcg g解解 如图以如图以 为圆心为圆心 r 为半径作圆，为半径作圆，0z则函数则函数 在在nzzzf)(1)(0 因此有因此有 nzzzi)(d0 cnzzz)(d0当当 时，时，1 n,2 i当当 时。时。1 n,0 上解析，上解析， c

6、dd0z重要重要 7第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 三、三、复合复合闭路定理闭路定理 将柯西积分定理推广到多连域将柯西积分定理推广到多连域 czzf0d)(函数函数 在在 d 内解析内解析，)(zf.d)(d)(d)(d)(021 ccccnzzfzzfzzfzzf或或设多连域设多连域 d 的边界为的边界为 ( (如图如图) )，定理定理nccccc 210dc1c2c0c3cn在在 c 上连续，上连续，则则证明证明 ( (略略) ) p62推论推论 8第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 令令解解,12)(2zzzzf 则则,111)( zzzf.1,0 z奇点为奇点为

7、21| 3| z(1) 当当 c 为为 时，时，.0d122 czzzzic;21| 3| z.112222 yx(1)(2) ,d122 czzzzi其中其中 c 为：为：例例 计算计算c3210p62 例例3.7 修改修改 9第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 令令解解c1c2,12)(2zzzzf 则则,111)( zzzf.1,0 z奇点为奇点为(2) 当当 c 为为 时，时，112222 yx令令 c1：,31| z c2：,31| 1| z则则 2211d11d1d11d1cccczzzzzzzzi.42002iii c;21| 3| z.112222 yx(1)(2)

8、,d122 czzzzi其中其中 c 为：为：例例 计算计算c321010第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 的简单曲线，的简单曲线，四、四、路径无关性路径无关性定理定理 设函数设函数 f (z) 在单连通域在单连通域 d 内解析内解析，.d)(d)(21 cczzfzzfc1, c2 为为 d 内的任意两条从内的任意两条从 到到0z1z.d)(d)(d)(221 ccczzfzzfzzf证明证明,0d)(d)(21 cczzfzzf由由 可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，则有则有 p60定理定理 3.3 11第三章

9、复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 计算计算,dsin czzi例例其中其中 c 为为如图所示的一个半圆如图所示的一个半圆。xyci2g g解解 设设 g g 如图所示，如图所示，处处解析，处处解析， czzidsin zzdsin 20dsinxx20cos x .2cos1 问问 是否可以直接计算？是否可以直接计算？20cosz .2cos1 因此有因此有 czzidsin 20dsinzz即即zsin由于由于 在复平面上在复平面上p61 例例3.6 12第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 五五、原函数、原函数设在单连域设在单连域 d 内，函数内，函数 恒满足条件恒满足条件,

10、)()(zfzf 定义定义)(zf则则 称为称为 在在 d 内的内的一个一个原函数原函数。)(zf)(zf1. 基本概念及性质基本概念及性质函数函数 的任何两个原函数相差一个常数。的任何两个原函数相差一个常数。性质性质)(zf设设 和和 是是 的两个原函数，则的两个原函数，则证明证明)(zg)(zh)(zf)()( )()(zhzgzhzg ,0)()( zfzf其中，其中，c 为任意常数。为任意常数。,)()(czhzg 函数函数 的原函数的原函数 称为称为 的的不定积分不定积分，定义定义)(zfczf )()(zf.)(d)(czfzzf 记作记作 p64定义定义 3.2 补补 13第三章

11、 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 0zz d五五、原函数、原函数2. 由变上限积分构成的原函数由变上限积分构成的原函数定理定理 若若 在单连域在单连域 d 内处处解析，内处处解析，)(zf则则 在在 d 内解析，且内解析，且 )(zf. )()(zfzf ,d)()(0 zzfzf ,0dzz 令令,d)(1 zzzfz ,d)(1)( zzzzfzzf 证明证明( (思路思路) )zzfzzfzf )()(1),d| )()(|1)( zzzszffzzfzf zz 直线段直线段 p63定理定理 3.5 ( (跳过跳过?)?)14第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 证明证明(

12、 (思路思路) )(2),d| )()(|1)( zzzszffzzfzf ,|1 zz(当当 充分小时充分小时)| z,0)(lim0 zfzfz. )()(zfzf 即即0zz d五五、原函数、原函数2. 由变上限积分构成的原函数由变上限积分构成的原函数定理定理 若若 在单连域在单连域 d 内处处解析，内处处解析，)(zf则则 在在 d 内解析，且内解析，且 )(zf. )()(zfzf ,d)()(0 zzfzf ,0dzz 令令zz 直线段直线段 15第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 由于由于 也是也是 的一个原函数，的一个原函数，证明证明 zzfzf0d)()( )(zf

13、,)()(00czgzf . )()(0d)()()(010110zgzgzzfzfzfzz ,)()(czgzf 有有,)()(11czgzf 3. newton-leibniz公式公式定理定理 若若 在单连域在单连域 d 内处处解析，内处处解析， 为为 的原函数，的原函数， )(zg)(zf)(zf p64定理定理 3.6 五五、原函数、原函数16第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理 .sinsinab iz 10331.d102 izz例例 求求解解 izz102d.)1(313i bazsin .dcos bazz例例 求求 bazzdcos解解.dcos0 izzz例例 求求