相似三角形专题解答题试题精选一附答案

1、相似三角形专题解答题试题精选一附答案一解答题（共30小题）1（2015咸宁）如图，在ABC中，AB=AC，A=36°，BD为角平分线，DEAB，垂足为E（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明2（2015南京）如图，ABC中，CD是边AB上的高，且=（1）求证：ACDCBD；（2）求ACB的大小3（2015宁夏）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点连结AE（1）若AB=AE，求证：DAE=D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值4（2015滨州）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，ABC与DCE都

2、是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）ACEBCD；（2）=5（2015黄石）在AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将OCD绕点O顺时针旋转到OCD（1）如图1，若AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：AC=BD；ACBD；（2）如图2，若AOB为任意三角形且AOB=，CDAB，AC与BD交于点E，猜想AEB=是否成立？请说明理由6（2015乐山）如图1，四边形ABCD中，B=D=90°，AB=3，BC=2，tanA=（1）求CD边的长；（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q（

3、点Q运动到点B停止）设DP=x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围7（2015上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE（1）求证：DEBE；（2）如果OECD，求证：BDCE=CDDE8（2015茂名）如图，RtABC中，ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0t），连接MN（1）若BMN与ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若ANCM，

4、求t的值9（2015厦门）如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DEBC，AD=3，AB=5，求的值10（2015杭州）如图，在ABC中（BCAC），ACB=90°，点D在AB边上，DEAC于点E（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P问：线段CP可能是CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由11（2015绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延长线于点E（1）求证：BD+2DE=BM（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接

5、MF交BD于点G若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=12（2015岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EFAM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N（1）求证：ABMEFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长13（2015淄博）如图，在ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上已知BC=2，SABC=1设BP=x，平行四边形AFPE的面积为y（1）求y与x的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由14（2015

6、大连）在ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且ADF+DEC=180°，AFE=BDE（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0k1）时，若A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）15（2015湘潭）如图，在RtABC中，C=90°，ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处（1）求证：BDEBAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度16（2015抚顺）在RtABC中，BAC=90°，过点B的直线MNAC，

7、D为BC边上一点，连接AD，作DEAD交MN于点E，连接AE（1）如图，当ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图，当ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当ABC=时，请直接写出线段AD与DE的数量关系（用含的三角函数表示）17（2015威海）（1）如图1，已知ACB=DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，CAE=45°，求AD的长（2）如图2，已知ACB=DCE=90°，ABC=CED=CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长18（2015赤峰）如图，直线y=2x+4与坐标轴

8、分别交于C、B两点，过点C作CDx轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且OCP与OBC相似，求过点P的双曲线解析式19（2015连云港）如图，在ABC中，ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DHAB，交BC的延长线于点H（1）求BDcosHBD的值；（2）若CBD=A，求AB的长20（2015泰安）如图，在ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且APD=B（1）求证：ACCD=CPBP；（2）若AB=10，BC=12，当PDAB时，求BP的长21（2015武汉）已知锐角ABC中，边BC长为12，高AD长为8（1）如图，矩形EFGH的

9、边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K求的值；设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在ABC一边上，另两个顶点分别在ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长22（2015邵阳）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度23（2015陕西）晚

10、饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MNNQ，ACNQ，BENQ请你根据以上信息，求出小军身高BE的长（结果精确到0.01米）24（2015崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1

11、，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上（1）求证：AEFABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？25（2015湖州模拟）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：ABEDEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长26（2015镇江）某兴趣小组开展课外活动如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.

12、2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；（1）求小明原来的速度27（2015黄冈校级自主招生）如图，已知锐角ABC的面积为1，正方形DEFG是ABC的一个内接正方形，DGBC，求正方形DEFG面积的最大值28（2015青岛模拟）如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于点O，问AOB与COD是否相似？有一位同学解答下：ADBC，ADO=CBO，DAO=BCOAODBOC又AOB=DOC，AOBCOD请判断这位

13、同学的解答是否正确并说明理由29（2015大庆模拟）如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B两点重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰ACD和等腰BDE，CA=CD，CB=CE，ACD与BDE都是锐角且ACD=BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC（1）求证：ACEDCB；（2）请你判断AMC与DPM的形状有何关系，并说明理由30（2015常州模拟）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，ABE与DEF相似吗？为什么？相似三角形专题解答题试题精选一附答案参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2015

14、咸宁）如图，在ABC中，AB=AC，A=36°，BD为角平分线，DEAB，垂足为E（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定菁优网版权所有【分析】（1）利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符合题意的答案；（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可【解答】解：（1）ADEBDE，ABCBCD；（2）证明：AB=AC，A=36°，ABC=C=72°，BD为角平分线，ABD=ABC=36°=A，在ADE和BDE中，ADEBDE（AAS）；证明：

15、AB=AC，A=36°，ABC=C=72°，BD为角平分线，DBC=ABC=36°=A，C=C，ABCBCD【点评】此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键2（2015南京）如图，ABC中，CD是边AB上的高，且=（1）求证：ACDCBD；（2）求ACB的大小【考点】相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明ACDCBD；（2）由（1）知ACDCBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：A=BCD，然后由A+ACD=90°，可得：BCD+ACD=90°，

16、即ACB=90°【解答】（1）证明：CD是边AB上的高，ADC=CDB=90°，=ACDCBD；（2）解：ACDCBD，A=BCD，在ACD中，ADC=90°，A+ACD=90°，BCD+ACD=90°，即ACB=90°【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理3（2015宁夏）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点连结AE（1）若AB=AE，求证：DAE=D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：FA的值【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质菁优网版权所

17、有【分析】（1）根据平行四边形的对边互相平行可得ADBC，再根据两直线平行，内错角相等可得AEB=EAD，根据等边对等角可得ABE=AEB，即可得证；（2）由四边形ABCD是平行四边形，可证得BEFAFD，即可求得EF：FA的值【解答】证明：（1）在平行四边形ABCD中，ADBC，AEB=EAD，AE=AB，ABE=AEB，B=EAD，B=D，DAE=D；（2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BC，BEFAFD，E为BC的中点，BE=BC=AD，EF：FA=1：2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键4（2015滨州）如图，已

18、知B、C、E三点在同一条直线上，ABC与DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）ACEBCD；（2）=【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；（2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG=CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出

19、一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证【解答】证明：（1）ABC与CDE都为等边三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=DCE=60°，ACB+ACD=DCE+ACD，即ACE=BCD，在ACE和BCD中，ACEBCD（SAS），（2）ACEBCD，BDC=AEC，在GCD和FCE中，GCDFCE（ASA），CG=CF，CFG为等边三角形，CGF=ACB=60°，GFCE，=【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键5（2015黄石）在AOB中，C，D

20、分别是OA，OB边上的点，将OCD绕点O顺时针旋转到OCD（1）如图1，若AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：AC=BD；ACBD；（2）如图2，若AOB为任意三角形且AOB=，CDAB，AC与BD交于点E，猜想AEB=是否成立？请说明理由【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）由旋转的性质得出OC=OC，OD=OD，AOC=BOD，证出OC=OD，由SAS证明AOCBOD，得出对应边相等即可；由全等三角形的性质得出OAC=OBD，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出BEA=90°

21、;，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC，OD=OD，AOC=BOD，由平行线得出比例式，得出，证明AOCBOD，得出OAC=OBD再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出AEB=【解答】（1）证明：OCD旋转到OCD，OC=OC，OD=OD，AOC=BOD，OA=OB，C、D为OA、OB的中点，OC=OD，OC=OD，在AOC和BOD中，AOCBOD（SAS），AC=BD；延长AC交BD于E，交BO于F，如图1所示：AOCBOD，OAC=OBD，又AFO=BFE，OAC+AFO=90°，OBD+BFE=90°，BEA=90°，ACBD；（2）解：AEB

22、=成立，理由如下：如图2所示：OCD旋转到OCD，OC=OC，OD=OD，AOC=BOD，CDAB，又AOC=BOD，AOCBOD，OAC=OBD，又AFO=BFE，AEB=AOB=【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键6（2015乐山）如图1，四边形ABCD中，B=D=90°，AB=3，BC=2，tanA=（1）求CD边的长；（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q（点Q运动到点B停止）设DP=x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取

23、值范围【考点】相似三角形的判定与性质；函数关系式；平移的性质；解直角三角形菁优网版权所有【分析】（1）分别延长AD、BC相交于E，在RtABE中，由tanA=，AB=3，BC=2，得到BE=4，EC=2，AE=5，通过等角的余角相等得到A=ECD，由tanA=，得cosA=，于是得到cosECD=，即问题可得；（2）由（1）可知tanECD=，得到ED=，如图4，由PQDC，可知EDCEPQ，得到比例式，求得PQ=，由S四边形PQCD=SEPQSEDC，于是得到y=PQEPDCED=，于是当Q点到达B点时，点P在M点处，由EC=BC，DCPQ，得到DM=ED=，于是结论可得【解答】解：（1）如

24、图（3），分别延长AD、BC相交于E，在RtABE中，tanA=，AB=3，BC=2，BE=4，EC=2，AE=5，又E+A=90°，E+ECD=90°，A=ECD，由tanA=，得cosA=，cosECD=，CD=；（2）如图4，由（1）可知tanECD=，ED=，如图4，由PQDC，可知EDCEPQ，即PQ=，S四边形PQCD=SEPQSEDC，y=PQEPDCED=，当Q点到达B点时，点P在M点处，由EC=BC，DCPQ，DM=ED=，自变量x的取值方范围为：0x【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，求函数的解析式，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题

25、的关键7（2015上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE（1）求证：DEBE；（2）如果OECD，求证：BDCE=CDDE【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）由平行四边形的性质得到BO=BD，由等量代换推出OE=BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；（2）根据等角的余角相等，得到CEO=CDE，推出BDECDE，即可得到结论【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，BO=BD，OE=OB，OE=BD，BED=90°，DEBE；（2）OECDC

26、EO+DCE=CDE+DCE=90°，CEO=CDE，OB=OE，DBE=CDE，BED=BED，BDEDCE，BDCE=CDDE【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键8（2015茂名）如图，RtABC中，ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0t），连接MN（1）若BMN与ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若ANCM，求t的值【考点】相似三角形的判定与性质；

27、解直角三角形菁优网版权所有【专题】压轴题；动点型【分析】（1）根据题意得出BM，CN，易得BN，BA，分类讨论当BMNBAC时，利用相似三角形的性质得，解得t；当BMNBCA时，解得t，综上所述，BMN与ABC相似，得t的值；（2）过点M作MDCB于点D，利用锐角三角函数易得DM，BD，由BM=3tcm，CN=2tcm，易得CD，利用三角形相似的判定定理得CANDCM，由三角形相似的性质得，解得t【解答】解：（1）由题意知，BM=3tcm，CN=2tcm，BN=（82t）cm，BA=10（cm），当BMNBAC时，解得：t=；当BMNBCA时，解得：t=，BMN与ABC相似时，t的值为或；（2

28、）过点M作MDCB于点D，由题意得：DM=BMsinB=3t=（cm），BD=BMcosB=3t=t（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，CD=（8）cm，ANCM，ACB=90°，CAN+ACM=90°，MCD+ACM=90°，CAN=MCD，MDCB，MDC=ACB=90°，CANDCM，=，解得t=【点评】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键9（2015厦门）如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DEBC，AD=3，AB=5，求的值【考点】平行线分线段成比例菁优网版权所有【分析】根据平

29、行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案【解答】解：DEBC，=，AD=3，AB=5，=【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理此题难度不大，解题的关键是注意准确应用平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用10（2015杭州）如图，在ABC中（BCAC），ACB=90°，点D在AB边上，DEAC于点E（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P问：线段CP可能是CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由【考点】相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题

30、】分类讨论【分析】（1）易证DEBC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三种情况讨论：若CFG=ECD，此时线段CP是CFG的FG边上的中线；若CFG=EDC，此时线段CP为CFG的FG边上的高线；当CD为ACB的平分线时，CP既是CFG的FG边上的高线又是中线【解答】解：（1）ACB=90°，DEAC，DEBC，AE=2，EC=6；（2）如图1，若CFG=ECD，此时线段CP是CFG的FG边上的中线证明：CFG+CGF=90°，ECD+PCG=90°，又CFG=ECD，CGF=PCG，CP=PG，CFG=ECD，CP=FP，PF=PG=CP，线段

31、CP是CFG的FG边上的中线；如图2，若CFG=EDC，此时线段CP为CFG的FG边上的高线证明：DEAC，EDC+ECD=90°，CFG=EDC，CFG+ECD=90°，CPF=90°，线段CP为CFG的FG边上的高线如图3，当CD为ACB的平分线时，CP既是CFG的FG边上的高线又是中线【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键11（2015绥化）如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延长线于点E（1）求证：BD+2DE=BM（2）如图2，连接BN

32、交AD于点F，连接MF交BD于点G若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质菁优网版权所有【专题】证明题【分析】（1）过点M作MPBC交BD的延长线于点P，首先证明DENPEM，得到DE=PE，由BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到结论；（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由BCNFDN，可求出BC=2，再由DFGBMG即可求出DG的长【解答】（1）证明：过点M作MPBC交BD的延长线于点P，四边形ABCD是正方形，BCD=90°，DBC=BDC=45°，PMCN，N=EMP，BDC=MPB

33、=45°，BM=PM，BM=DN，DN=MP，在DEN和PEM中，DENPEM，DE=EP，BMP是等腰直角三角形BP=BMBD+2DE=BM（2）解：AF：FD=1：2，DF：BC=2：3，BCNFDN，设正方形边长为a，又知CM=2，BM=DN=a+2，CN=2a+2，解得：a=2，DF=，BM=4，BD=2，又DFGBMG，DG=故答案为：【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，运用三角形相似求出正方形的边长是解决第2小题的关键12（2015岳阳）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是

34、AM的中点，EFAM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N（1）求证：ABMEFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质菁优网版权所有【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，B=90°，ADBC，得出AMB=EAF，再由B=AFE，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由ABMEFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD，B=90°，ADBC，AMB=EAF，又EFAM，AFE=90°，B=AFE，ABMEFA；（2）解：B=90°

35、;，AB=12，BM=5，AM=13，AD=12，F是AM的中点，AF=AM=6.5，ABMEFA，即，AE=16.9，DE=AEAD=4.9【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键13（2015淄博）如图，在ABC中，点P是BC边上任意一点（点P与点B，C不重合），平行四边形AFPE的顶点F，E分别在AB，AC上已知BC=2，SABC=1设BP=x，平行四边形AFPE的面积为y（1）求y与x的函数关系式；（2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当x取何值时，y有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由【考点】相

36、似三角形的判定与性质；二次函数的最值；平行四边形的性质菁优网版权所有【分析】（1）由平行四边形的性质得出PFCA，证出BFPBAC，得出面积比等于相似比的平方，得出SBFP=，同理：SPEC=（）2，即可得出y与x的函数关系式；（2）由0得出y有最大值，把（1）中函数关系式化成顶点式，即可得出结果【解答】解：（1）四边形AFPE是平行四边形，PFCA，BFPBAC，=（）2，SABC=1，SBFP=，同理：SPEC=（）2，y=1，y=+x；（2）上述函数有最大值，最大值为；理由如下：y=+x=（x1）2+，0，y有最大值，当x=1时，y有最大值，最大值为【点评】本题考查了平行四边形的性质、相

37、似三角形的判定与性质、二次函数的最值；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似得出关系式是解决问题的关键14（2015大连）在ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且ADF+DEC=180°，AFE=BDE（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0k1）时，若A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）【考点】相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）如图1，连结AE先由DE=DF，得出DEF=DFE，由ADF+DEC=180&

38、#176;，得出ADF=DEB由AFE=BDE，得出AFE+ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出DAE=DFE=DEF，ADF=AEF再由ADF=DEB=AEF，得出AEF+AED=DEB+AED，则AEB=DEF=BAE，根据等角对等边得出AB=BE；（2）如图2，连结AE由A、D、E、F四点共圆，得出ADF=AEF，由DAF=90°，得出DEF=90°，再证明DEB=AEF又AFE=BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出BDEAFE，利用相似三角形对应边成比例得到=在直角DEF中，利用勾股定理求出EF=DF，然后将AF=m，DE

39、=kDF代入，计算即可求解【解答】解：（1）如图1，连结AEDE=DF，DEF=DFE，ADF+DEC=180°，ADF=DEBAFE=BDE，AFE+ADE=180°，A、D、E、F四点共圆，DAE=DFE=DEF，ADF=AEFADF=DEB=AEF，AEF+AED=DEB+AED，AEB=DEF=DFE=BAE，AB=BE；（2）如图2，连结AEAFE=BDE，AFE+ADE=180°，A、D、E、F四点共圆，ADF=AEF，DAF=90°，DEF=90°，ADF+DEC=180°，ADF=DEBADF=AEF，DEB=AEF在

40、BDE与AFE中，BDEAFE，=在直角DEF中，DEF=90°，DE=kDF，EF=DF，=，BD=【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理等知识，有一定难度连结AE，证明A、D、E、F四点共圆是解题的关键15（2015湘潭）如图，在RtABC中，C=90°，ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处（1）求证：BDEBAC；（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有【分析】（1）根据折叠的性质得出C=AED=90°，利用DEB=C

41、，B=B证明三角形相似即可；（2）由折叠的性质知CD=DE，AC=AE根据题意在RtBDE中运用勾股定理求DE，进而得出AD即可【解答】证明：（1）C=90°，ACD沿AD折叠，C=AED=90°，DEB=C=90°，又B=B，BDEBAC；（2）由勾股定理得，AB=10由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，AED=C=90°BE=ABAE=106=4，在RtBDE中，由勾股定理得，DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8CD）2，解得：CD=3，在RtACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得：AD=【点评】本题

42、考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解16（2015抚顺）在RtABC中，BAC=90°，过点B的直线MNAC，D为BC边上一点，连接AD，作DEAD交MN于点E，连接AE（1）如图，当ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图，当ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当ABC=时，请直接写出线段AD与DE的数量关系（用含的三角函数表示）【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性

43、质菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）首先过点D作DFBC，交AB于点F，得出BDE=ADF，以及EBD=AFD，再得出BDEFDA（ASA），求出即可；（2）首先过点D作DGBC，交AB于点G，进而得出EBD=AGD，证出BDEGDA即可得出答案；（3）首先过点D作DGBC，交AB于点G，进而得出EBD=AGD，证出BDEGDA即可得出答案【解答】（1）证明：如图1，过点D作DFBC，交AB于点F，则BDE+FDE=90°，DEAD，FDE+ADF=90°，BDE=ADF，BAC=90°，ABC=45°，C=45°，MNAC，EBD=1

44、80°C=135°，BFD=45°，DFBC，BFD=45°，BD=DF，AFD=135°，EBD=AFD，在BDE和FDA中，BDEFDA（ASA），AD=DE；（2）解：DE=AD，理由：如图2，过点D作DGBC，交AB于点G，则BDE+GDE=90°，DEAD，GDE+ADG=90°，BDE=ADG，BAC=90°，ABC=30°，C=60°，MNAC，EBD=180°C=120°，ABC=30°，DGBC，BGD=60°，AGD=120°

45、，EBD=AGD，BDEGDA，=，在RtBDG中，=tan30°=，DE=AD；（3）AD=DEtan；理由：如图2，BDE+GDE=90°，DEAD，GDE+ADG=90°，BDE=ADG，EBD=90°+，AGD=90°+，EBD=AGD，EBDAGD，=，在RtBDG中，=tan，则=tan，AD=DEtan【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，得出EBDAGD是解题关键17（2015威海）（1）如图1，已知ACB=DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，CAE=45°

46、，求AD的长（2）如图2，已知ACB=DCE=90°，ABC=CED=CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理菁优网版权所有【分析】（1）连接BE，证明ACDBCE，得到AD=BE，在RtBAE中，AB=6，AE=3，求出BE，得到答案；（2）连接BE，证明ACDBCE，得到=，求出BE的长，得到AD的长【解答】解：（1）如图1，连接BE，ACB=DCE=90°，ACB+ACE=DCE+ACE，即BCE=ACD，又AC=BC，DC=EC，在ACD和BCE中，ACDBCE，AD=BE，AC=BC=

47、6，AB=6，BAC=CAE=45°，BAE=90°，在RtBAE中，AB=6，AE=3，BE=9，AD=9；（2）如图2，连接BE，在RtACB中，ABC=CED=30°，tan30°=，ACB=DCE=90°，BCE=ACD，ACDBCE，=，BAC=60°，CAE=30°，BAE=90°，又AB=6，AE=8，BE=10，AD=【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握性质定理和判定定理是解题的关键，正确作出辅助线是重点18（2015赤峰）如图，直线y=2x+4与坐标轴分别交于C

48、、B两点，过点C作CDx轴，点P是x轴下方直线CD上的一点，且OCP与OBC相似，求过点P的双曲线解析式【考点】相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式菁优网版权所有【分析】由直线y=2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，易得OC=2，OB=4，再分两种情况当OBC=COP时，OCP与OBC相似，当OBC=CPO时，OCP与OBC相似分别求出点的坐标，再求出过点P的双曲线解析式【解答】解：直线y=2x+4与坐标轴分别交于C、B两点，令y=0，可得2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，如图1，当O

49、BC=COP时，OCPBOC，=，即=，解得CP=1，P（2，1），设过点P的双曲线解析式y=，把P点代入解得k=2，过点P的双曲线解析式y=，如图2，当OBC=CPO时，OCPCOB，在OCP和COB中，OCPCOB（AAS）CP=BO=4，P（2，4）设过点P的双曲线解析式y=，把P点代入得4=，解得k=8，过点P的双曲线解析式y=综上可得，过点P的双曲线的解析式为y=或y=【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数求反比例函数，解题的关键是分两种情况正确画出图形19（2015连云港）如图，在ABC中，ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点

50、D作DHAB，交BC的延长线于点H（1）求BDcosHBD的值；（2）若CBD=A，求AB的长【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形菁优网版权所有【分析】（1）首先根据DHAB，判断出ABCDHC，即可判断出=3；然后求出BH的值是多少，再根据在RtBHD中，cosHBD=，求出BDcosHBD的值是多少即可（2）首先判断出ABCBHD，推得；然后根据ABCDHC，推得，所以AB=3DH；最后根据，求出DH的值是多少，进而求出AB的值是多少即可【解答】解：（1）DHAB，BHD=ABC=90°，ABCDHC，=3，CH=1，BH=BC+CH，在RtBHD中，cosHBD=，BD

51、cosHBD=BH=4（2）CBD=A，ABC=BHD，ABCBHD，ABCDHC，AB=3DH，解得DH=2，AB=3DH=3×2=6，即AB的长是6【点评】（1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握20（2015泰安）如图，在ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且APD=B（1）求证：ACCD=CPBP；（2）若AB=10，BC=12，当PDAB时，求BP的长【考点】相似三角形的判定与性质菁优网版