2020届衡水中学高三数学试卷含答案

1、on2020 届衡水中学高三数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。1. 已知全集 U =R, 集合A =x | -2£x £3, B =x | x <-1或x >4, 那么集合A I(C B)U等于2.若1 +7ii=a +bi ( a, b ÎR, i是虚数单位， 满足i 2 =-1)，则 ab 的值是3. 若sinq=-45, tanq>0 ，则cos q =4. 设f (x)是定义在R上的奇函数，当x ³0时，f (x)=log(1+x)，则f(-2)=35. DABC 中，若 ÐB =

2、30，AB =2 3 ， AC =3 ，则 BC =6. 若直线 l 经过点P(2,3)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线 l 的方程为7.已知1- cos2 asin acos a= 1， tan( b- a) = -13，则 tan(b-2a) 等于 ì8. 已知 a =íîn-1 n为奇数 n n为偶数a +a +a +a +L +a +a = 则 1 2 3 4 99 1009. 甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为 a ,再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b,且a, b Î0,1,2,3, L 9,若a -b &#

3、163;1,则称甲乙“心有灵犀”。现任意找两个人玩这个游戏,得出他们”心有灵犀”的概率为10. 已知方程x 2+m 2 2y 2+m=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是11. 在DABC中 ,M 是 BC 的 中 点 ， AM=1, 点 P 在 AM 上 且 满 足 学uuur uuuurPA =2 PM, 则uuur uuur uuur PA ×(PB +PC )等于12. 给定下列四个命题：1 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；2 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；3 垂直于同一直线的两条直线相互平行；4 若两个平面垂

4、直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中正确的个数有个。13.设 a是等差数列，从a, a ,L , an12则这样不同的等差数列的个数最多有20中任取 3 个不同的数，使这 3 个数仍成等差数列， 个。为 的中点 ）求证：（114. 给出定义:若m -1 1<x £m + (其中 m 为整数)，则 m 叫做离实数 x 2 2最近的整数，记作x，即x =m. 给出下列关于函数f ( x) =|x - x|的四个命题：函数y = f ( x )的定义域是 R，值域是10, 2；函数y = f ( x )的图像关于直线x =k2( k ÎZ )

5、对称；函数y = f ( x)是周期函数，最小正周期是 1； 函数y = f ( x) 在 -1 1, 上是增函 2 2数； 则其中真命题是 （写出所有真命题的序号）.二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分15. （本小题满分 14 分）如图 AB 是单位圆 O 上的点，且点 B 在第二象限. C 是圆 O 与xæ3 4 ö轴正半轴的交点，A 点的坐标为 ç , ÷，è5 5 øAOB为直角三角形. （1）求sin ÐCOA；（2）求BC的长度yABCox17. （本小题满分 14 分）如图所示，在直三棱柱ABC -

6、A B C 1 1 1中，AB=BB , AC1 1平面A BD , D1AC B C /1平面A BD1B C ；（2）求证： 1 1平面ABB A1 1；（3）设 E 是CC1上一点，试确定EA BD 的位置使平面 1平面 BDE ，并说明理由B1C1A1BCAD17. （本小题满分 14 分）据行业协会预测：某公司以每吨 10 万元的价格销售某种化工产品， 可售出该产品 1000 吨，若将该产品每吨的价格上涨 x% ，则销售量将减少 mx % ，且该化 工产品每吨的价格上涨幅度不超过 80% ，（其中 m 为正常数）2+ =（1）当m =12时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总

7、金额最大？（2）如果涨价能使销售总金额比原销售总金额多，求m的取值范围.18. （本小题满分 16 分） 已知 an是公差为 d 的等差数列，它的前 n 项和为 Sn, 等比数1 4b =， T =列b 的前 n 项和为 T ， S =2 S +4 ,2n n 4 29 9（1）求公差 d 的值； （2）若对任意的 n ÎN *，都有 围Sn³ S8成立，求 a 的取值范1（3）若 a = 112,判别方程S +T =2009 n n是否有解？说明理由x 2 y 219. （本小题满分 16 分）设椭圆 M：a 2 b 212(ab0)的离心率为 ，长轴长为26 2，设过右

8、焦点 F 倾斜角为q的直线交椭圆 M 于 A，B 两点。（1）求椭圆 M 的方程； （2）求证| AB | =16 2+sin 2q；（3）设过右焦点 F 且与直线 AB 垂直的直线交椭圆 M 于 C，D，求|AB| + |CD|的最小值。20. （本小题满分 16 分） 已知函数f ( x ) =( x2 -3 x +3) ×ex，其定义域为 -2,t（t>-2）,设 f ( -2) =m, f (t ) =n .（1）试确定t的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 -2,t上为单调函数；（2） 试判断 m , n 的大小并说明理由；（3） 求证：对于任意的 t >-

9、2,总存在 x Î( -2, t ) ，满足0f ' ( x ) 20 = (t -1)2 e x0 3,并确定这样的x0的个数.2 2 22参考答案及评分标准1.x | -1£x £32.-7 3.-354.-15. 3 6.x +y -5 =0或x -y +1 =07.-18.5000 9.72510.m >2或-2 <m <-111.4912.2 13. 18014. æ3 4 ö 415. 解：（1）因为 A 点的坐标为 ç , ÷，根据三角比的定义可知 sin ÐCOA = -4

10、 分è5 5 ø 5（2）因为三角形 AOB 为直角三角形，所以ÐAOB =90osin ÐCOA =45，cos ÐCOA =35，-8 分所以cos ÐCOB=pcos( +ÐAOC ) =-sin ÐAOC =- 245sinÐBOC=sin(p 3 +ÐAOC ) =cos ÐAOC =2 510 分解法 1：BC = OC +OB -2 OC ×OB ×cos ÐBOC-11 分=185-12 分BC =3510-14 分解法 2：由定义知3 4

11、 4 3 A( , ) B ( - , )5 5 5 5-12 分由两点间的距离公式得90 18BC = =25 5-13 分BC =3510- 14 分16. （）证明：如图，连接 AB 与 A B 相交于 M ，则 M 为 A B 的中点，连结 MD ，又 D1 1 1为 AC 的中点，B C / MD 又 1B C Ë1平面 A BD ，MD Ì平面 A BD ， B C / 1 1 1平面A BD15 分（）Q AB =B B ，四边形 ABB A1 1 1为正方形， A B AB1 1，又Q AC 1面A BD1，AC1A B ， A B 1 1面AB C ， A

12、 B B C 1 1 1 1 1，又在直棱柱ABC -A B C 1 1 1中BB B C1 1 1， B C 1 1平面ABB A110 分）（）当点E为C C1的中点时，平面A BD 1平面BDE，n18Q D 、 E 分别为 AC 、 C C 的中点， DE / AC ，Q AC 平面 A BD ，1 1 1 1 DE 平面 A BD1，又DE Ì平面BDE，平面A BD 1平面BDE14 分17.解：（1）设该产品每吨的价格上涨 x% 时，销售总金额为 y 万元-1 分由题意得y =10 ´1000 ´(1 +x %) ´(1 -mx%)-3 分

13、即y =-mx2+100(1 -m ) x +10000(0 <x £80)当m=1 1时y=- ( x -50) 2 +11250 2 2当 x=50 时，ymax=11250万元.即该吨产品每吨的价格上涨 50%时，销售总最大. -7 分（2）由（1）得y =-mx2+100(1 -m ) x +10000(0 <x £80)如果涨价能使销售总金额比原销售总金额多则有当0 <x £80% 时 y>10 ´1000-9 分即-mx2+100(1 -m ) x +10000 >100000 <x £80-mx

14、 +100(1-m ) >0 0 <x £80恒成立-11 分注意到 m>0100(1-m )m>( x)max既100(1-m )m>80求得 0 <m <59m 的取值范围是0 <m <59-14 分18. 解：（1） S =2 S +4 ， 4 a4 2 1+3´24d =2(2 a +d ) +4 -2 分1解得 d =1 -3 分 （2）解法 1： a =a +( n -1)d =n +a -1n 1 1a +a 1S = 1 n n = n 2 +(2 a -1)n 2 2-4 分对任意的 n ÎN

15、 *，都有 S ³S ，n 8152£-2a -1 171 £2 2 -8 £a £-71 a 的取值范围是 -8, -7 -8 分1解法 2：由于等差数列 a的公差 d =1 >0, S 要取得最大值，n nìa £0必须有 íîa ³09ìíîa +7 d £0 1a +8d ³0 1求得 -8 £a £-71 a 的取值范围是 -8, -7 1n 112ïï= 1 -( ) -n1ï&

16、#239;îï解法 3： 对任意的 n ÎN *，都有 S ³Sn 8n( n -1) 8 ×(8-1)所以 S =na + d ³8a +2 2d由于d =1所以( n -8) a ³1(8-n)×(72+n)当当n =8n >8时时a ÎR1a ³( -1n +72)max=-8当1 £n <8时a £( -1n+27)min=-7综合：-8 £a £-71（3）由于等比数列b n满足b =21 4， T =9 9ì 1b q =

17、ï1 9íb +b q = ïî1 149-10 分b =11 1q =3 3Tn=1 11 -( ) n 3 3 1 1 n 1 2 3131 1S =na + n(n -1)d = n2 22-12 分则方程S +T =2009 转化为： n n n21+1-( ) n =4018 3令：由于所以1nf ( n ) =n 2 +1 -( )，3f ( n +1) -f ( n ) =2 n +1 + f (n)单调递增-2 1( )3 3n>0当1 £n £63时，f ( n) £6321+1-( ) 63 <

18、;632 3+1 =3970当n ³64时，1f ( n ) ³64 2 +1-( ) 64 >64 2 =40963综合：方程S +T =2009 n n无解-16 分19. 解：（）ì2a =6 2ï ìa =3 2 ïc 2 ïí = Þ íc =3 a 2b =3b 2 =a 2 -c 2î所求椭圆 M 的方程为x 2 y 2+18 9=14 分p（）当q2，设直线 AB 的斜率为 k = tanq，焦点 F ( 3 , 0 )，则直线 AB 的方程为1 12 21 21

19、 2éæë÷-+18 k1 6 21kûqqy = k ( x 3 )ìï有 íïîy =kx -3k x 2 y 2+ =118 9Þ( 1 + 2k2)x2 12k2x + 18( k2 1 ) = 0设点 A ( x , y ) , B ( x , y )有 x + x =12k 21 +2 k2, x x =( ) 18 k 2 -11 +2 k 2|AB| =(1+k2)êç êè12 k 21 +2 k2ö÷

20、48;2-4 ´( )ù ( )2 2ú=1 +2 k 2 ú 1 +2 k 2* 6 分又因为 k = tan q=sin qcos q代入*式得|AB| =cos26 2 6 2 6 2= =q+sin 2 q 1 -sin 2 q+2sin 2 q 1 +sin 2 q 8 分当q=p2时，直线 AB 的方程为 x = 3，此时|AB| =3 2 10 分而当q=p2时，| AB| =16 2+sin 2q=3 2综上所述所以| AB| =16 2+sin 2q（）过右焦点 F 且与直线 AB 垂直的直线交椭圆 M 于 C，D，( )6 21 +k

21、 2 6 2同理可得 |CD| = = 12 分2 +k 2 1 +cos 2有|AB| + |CD| =16 2 6 2+sin 2 1 +cos 2q=18 211 + sin 24q因为 sin2 q0，1，所以 当且仅当 sin2 q=1 时，|AB|+|CD|有最小值是8 220. 解：（）因为f ¢(x) =( x 2 -3 x +3) ×ex +(2 x -3) ×ex =x( x -1) ×ex1 分由f¢(x) >0 Þ x >1或x <0；由f¢(x) <0 Þ 0 &l

22、t;x <1,所以f ( x )在( -¥,0),(1, +¥)上递增,在(0,1)上递减3 分要使f ( x) 在 -2,t上为单调函数,则-2 <t £04 分（）n >m.因为f ( x )在( -¥,0),(1, +¥)上递增,在(0,1)上递减，所以f ( x )在x =1处取得极小值e6 分0 022又f ( -2) =13e2<e ，所以 f ( x) 在 -2, +¥)上的最小值为f ( -2)8 分从而当t >-2时,f ( -2) < f (t )，即m <n9 分（）证：因为f ' ( x ) 0e x0=x 2 -x ，所以 0 0f ' ( x ) 2 20 = (t -1)2 ，即为 x 2 -x = (t -1)2 e x0 3 3,令g ( x) =x2-x -23(t -1)2,从而问题转化为证明方程g (