(完整)新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答(全)

1、第一章导数及其应用3.1变化率与导数练习(P6)在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3.它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 C/h的速度下降；在第5 h时，原油温度大约以3 C/h的速率上升.练习(P8)函数h(t)在t t3附近单调递增，在t t4附近单调递增.并且，函数h(t)在t4附近比在t3附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想 练习(P9)函数r(V) j3V(0 V 5)的图象为说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意 义估算两点处的导数.习题1.1 A组(P10)Wl(t0) W1(t0t) W2(t0) W2(t

2、0t)1、在 t0 处，虽然 W1(t0) W2 (t0), 然两 .所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、上 h(J t) h(1)4.9 t 3.3,所以，h(1)3.3.tt这说明运动员在t 1s附近以3.3 m/s的速度下降.3、物体在第5 s的瞬时速度就是函数s(t)在t 5时的导数. s(5-t) st 10,所以，s(5) 10.tt1 2因此，物体在第5 s时的瞬时速度为10 m/s,它在第5 s的动能Ek -3 10150 J.24、设车轮转动的角度为 ,时间为t,则kt2(t 0).2525 o由题意可知，当t 0.8时， 2

3、.所以k 25一 于是-5-t2.88车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度就是函数(t)在t 3.2时的导数. J3t)(32 25 t 20 ，所以(3.2) 20 . tt8因此，车轮在开始转动后第 3.2 s时的瞬时角速度为20 s 1.说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数f(x)在x5处切线的斜率大于零，所以函数在x5附近单调递增.同理可得，函数f(x)在x 4,2, 0, 2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减.说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f (x)的

4、图象如图(1)所示；第二个函数的导数f (x)恒大于零，并且随着x的增加，f (x)的值也在增加;对于第三个函数，当x小于零时，f (x)小于零，当x大于零时，f (x)大于零，并且随着x的增加，f (x)的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种新课程标准数学选修22第一章课后习题解答(第#页共25页)说明本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.习题3.1 B组(P11)1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是说明：由给出的v(t)的信息获得s(t)的相关信息，并据此画出s(t)的图象的大致形状.这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与

5、形之间的相互转换3、由(1)的题意可知，函数f(x)的图象在点(1, 5)处的切线斜率为 1,所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象.同理可得(2) (3)某点处函数图象的大致形状.下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思 想的领悟.本题的答案不唯一.1. 2导数的计算练习（P18）1、 f (x)2x 7,所以,f (2)3,(6) 5.2、（1）1xln 2习题1.21、2、h(t)3、r(V)4、（1）10x43sin x4cosx-sin -;33组（P18）S(r r) S(r)r9.8

6、t 6.5.334S(r)r r) 2r.3x21；xln 2n 1 x nx e2 .33x sin x x cosxsincosx；99(x 1)98;2ex;2sin(2 x 5)4xcos(2x 5).5、 f (x)8 2 .2x.f (Xo)272x0,解得 Xo6、（1）(2) y x7、 y1.8、(1)氨气的散发速度A(t) 500 ln 0.834 0.834t.A (7)25.5,它表示氨气在第7天左右时，以25.5克/天的速率减少.新课程标准数学选修22第一章课后习题解答（第3页共25页）习题1.21、(1)当h越来越小时，yB 组(P19)sin(x h) sinx就

7、越来越逼近函数y cosx.新课程标准数学选修22第一章课后习题解答(第7页共25页)(3) y sin x 的导数为 y cosx.2、当y 0时，x 0.所以函数图象与x轴交于点P(0,0).yex ,所以 y x 01.所以，曲线在点P处的切线的方程为y x.2、d 4sint.所以，上午6:00时潮水的速度为 0.42m/h;上午9:00时潮水的速度为0.83m/h;下午6:00时潮水的速度为1.24m/h.0.63m/h;中午12:00时潮水的速度为1、 3导数在研究函数中的应用练习(P26)1、(1)因为 f(x) x2 2x 4,所以 f (x) 2x 2.当f (x) 0,即x

8、 1时，函数f(x) x2 2x 4单调递增;x 1时，函数f(x)2x 4单调递减.(2)因为 f (x) ex x,所以 f (x) ex 1.当f (x) 0,即x 0时，函数f(x) ex x单调递增;当f (x) 0 ,即x 0时，函数f (x) ex x单调递减.(3)因为 f(x) 3x x3,所以 f (x) 3 3x2 .当f (x) 0,即x 1时，函数f (x) 3xx3单调递增;1或x 1时，函数f (x)3x x3单调递减.322(4)因为 f (x) x x x ,所以 f (x) 3x 2x 1.当f (x) 0,即x 1或x 1时，函数f(x) x3 x2 x单

9、调递增;x单调递减.当 f (x) 0,即 1 x 1 时，函数 f(x) x3 x22、 斗0Jfk ;注：图象形状不唯一.3、因为 f (x) ax2 bx c(a 0),所以 f (x) 2ax b.(1)当a 0时，f (x) 0 ,即 xf (x) 0 ,即 x(2)当a 0时，f (x) 0,即 xf (x) 0 ,即 x时，函数f(x) 2a2时，函数f(x) 2aax2 bx c( aax2 bx c( a0)单调递增;0)单调递减.上时，函数f(x) 2a2时，函数f(x) 2aax2 bx c(a 0)单调递增；ax2 bx c(a 0)单调递减.4、证明：因为f (x)2

10、x3 6x2 7 ,所以 f (x) 6x2 12x.当 x (0,2)时，f (x) 6x2 12x 0,因此函数f(x) 2x3 6x2 7在(0,2)内是减函数.练习(P29)1、x2,x4是函数y f(x)的极值点，其中x x2是函数y f(x)的极大值点，x x4是函数y f(x)的极小值点.2、(1)因为 f(x) 6x2 x 2 ,所以 f (x) 12x 1 .,一 1令 f (x) 12x 1 0 ,得 x .1211 一当x 一时，f (x) 0, f(x)单调递增；当x 一时，f (x) 0, f(x)单调递减. 1212一 .1, 11 o 149所以，当x 时，f(x

11、)有极小值，并且极小值为f (一)6 (一)一2 一 .1212121224(2)因为 f(x) x3 27x,所以 f (x) 3x2 27 .令 f (x) 3x2 27 0 ,得 x 3.下面分两种情况讨论：当f (x) 0,即x 3或x 3时；当f (x) 0 ,即3 x 3时.当x变化时，f (x), f (x)变化情况如下表：x(,3)3(3,3)3(3,)f (x)+0一0+f(x)单调递增54单调递减54单调递增因此，当x 3时，f(x)有极大值，并且极大值为 54;当x 3时，f(x)有极小值，并且极小值为54.(3)因为 f(x) 6 12x x3,所以 f (x) 12

12、3x2.令 f (x) 12 3x2 0 ,得 x 2.下面分两种情况讨论：当f (x) 0,即2 x 2时；当f(x) 0,即x 2或x 2时.当x变化时，f (x), f (x)变化情况如下表:x(,2)2(2,2)2(2,)f (x)一0+0一f(x)单调递减10单调递增22单调递减因此，当x2时，f(x)有极小值，并且极小值为10;当x 2时，f(x)有极大值，并且极大值为 22(4)因为 f(x) 3x x3,所以 f (x) 3 3x2 .令 f (x) 3 3x2 0 ,得 x 1.下面分两种情况讨论：当f (x) 0,即1 x 1时；当f (x) 0,即x 1或x 1时.当x变

13、化时，f (x), f (x)变化情况如下表:x(,1)1(1,1)1(1,)f (x)一0+0一f(x)单调递减2单调递增2单调递减因此，当x 1时，f(x)有极小值，并且极小值为2;练习(P31)当x 1时，f (x)有极大值，并且极大值为21(1)在0,2上，当x 时, 12f(x) 6x2 x 2有极小值，并且极小值为4924又由于 f(0)2, f(2) 20.因此，函数f(x)6x2 x 2在0,2上的最大值是20、最小值是4924(2)在4,4上，当 x3时，f(x) x3 27x有极大值，并且极大值为f( 3) 54;当x 3时，f(x) x3 27x有极小值，并且极小值为 f

14、(3)54;又由于 f( 4) 44 , f (4)44.因此，函数f(x) x3 27xft 4,4上的最大值是54、最小值是 54.1(3)在,3上，当x 2时，f(x) 6 12x x有极大值，并且极大值为f (2) 22.3155又由于f(-)石，f(3) 15.327因此，函数f(x) 6 12x /在1,3上的最大值是22、最小值是 史. 327(4)在2,3上，函数f(x) 3x x3无极值.因为 f(2)2, f (3)18.因此，函数f(x) 3x x3在2,3上的最大值是 2、最小值是 18.习题1.3 A组(P31)1、(1)因为 f(x) 2x 1 ,所以 f (x)2

15、 0 .因此，函数f(x) 2x 1是单调递减函数.(2)因为 f (x) x cosx, x (0,),所以 f (x) 1 sin x 0, x (0, ). 22因此，函数f(x) x cosx在(0,一)上是单调递增函数.2(3)因为 f(x) 2x 4,所以 f (x)2 0.因此，函数f(x) 2x 4是单调递减函数.(4)因为 f(x) 2x3 4x,所以 f (x) 6x2 4 0.因此，函数f (x) 2x3 4x是单调递增函数.2、(1)因为 f(x) x2 2x 4,所以 f (x) 2x 2.当f(x)0,即x1时，函数f(x)x22x4单调递增.当f(x)0,即x1时

16、，函数f(x)x22x4单调递减.(2)因为 f (x) 2x2 3x 3,所以 f (x) 4x 3.当f(x)0,即x2(2)因为 f(x) x 12x,所以 f (x) 3x 12.令 f (x) 3x2 12 0 ,得 x 2.F面分两种情况讨论:时，函数f (x)2x23x3单调递增.43当f (x) 0,即x 时，函数f (x) 2x2 3x 3单倜递减.4(3)因为 f (x) 3xx3 ,所以 f (x) 33x20.因此，函数f(x) 3x x3是单调递增函数.(4)因为 f (x) x3x2x,所以 f (x)3x22x1.当f (x) 0,即x1或x 1时，函数f (x)

17、x3x2x单调递增.31 .当f (x) 0,即1x鼻时，函数f (x)xxx单倜递减.3、(1)图略.(2)加速度等于0.4、(1)在x x2处，导函数y f (x)有极大值；(2)在x x1和x x4处，导函数y f (x)有极小值；(3)在x x3处，函数y f(x)有极大值；(4)在x x5处，函数y f(x)有极小值.5、(1)因为 f(x) 6x2 x 2,所以 f (x) 12x 1 .1令 f (x) 12x 1 0 ,得 x -.121 一当x时，f (x) 0, f(x)单倜递增；12一 1 一当x 时，f (x) 0, f(x)单倜递减. 124924一1. 11 C 1

18、所以，x 一时，f (x)有极小值，并且极小值为f ( 一)6 ( 一)212121212当f (x) 0,即x 2或x 2时；当f (x) 0 ,即2 x 2时.当x变化时，f (x), f (x)变化情况如下表:x(,2)2(2,2)2(2,)f (x)+0一0+f(x)单调递增16单调递减16单调递增因此，当x 2时，f(x)有极大值，并且极大值为16;当x 2时，f(x)有极小值，并且极小值为16.(3)因为 f(x) 6 12x x3,所以 f (x)12 3x2.令 f (x)12 3x2 0,得 x 2.下面分两种情况讨论：当f (x) 0,即x 2或x 2时；当f (x) 0

19、,即2 x 2时.当x变化时，f (x), f (x)变化情况如下表:x(,2)2(2,2)2(2,)f (x)+0一0+f(x)单调递增22单调递减10单调递增因此，当x 2时，f(x)有极大值，并且极大值为 22;当x 2时，f(x)有极小值，并且极小值为 10.(4)因为 f(x) 48x x3,所以 f (x) 48 3x2.令 f (x) 48 3x2 0 ,得 x 4.下面分两种情况讨论：当f (x) 0,即x 2或x 2时；当f (x) 0 ,即2 x 2时.当x变化时，f (x), f (x)变化情况如下表:x(,4)4(4,4)4(4,)f (x)一0+0一新课程标准数学选修

20、22第一章课后习题解答(第#页共25页)f(x)单调递减128单调递增128单调递减因此，当x4时，f(x)有极小值，并且极小值为128;当x 4时，f(x)有极大值，并且极大值为128.,1476、(1)在1,1上，当x 时，函数f(x) 6x x 2有极小值，并且极小值为 一.1224由于 f( 1) 7 , f(1) 9 ,47所以，函数f(x) 6x2 x 2在1,1上的最大值和最小值分别为 9, 一.24(2)在3,3上，当x 2时，函数f(x) x3 12x有极大值，并且极大值为 16;当x 2时，函数f(x) x3 12x有极小值，并且极小值为 16.由于 f( 3) 9 , f

21、(3)9 ,所以，函数f(x) x3 12*在3,3上的最大值和最小值分别为 16, 16.11(3)在,1上，函数f(x) 6 12x x3在,1上无极值.331269由于 f( 1) 269，f。)5，327一 3.1269_所以，函数f(x) 6 12x /在1,1上的最大值和最小值分别为 卓9,5.327(4)当x 4时，f(x)有极大值，并且极大值为128.由于 f( 3)117 , f(5) 115 ,所以，函数f(x) 48x *3在3,5上的最大值和最小值分别为 128,117.习题3.3 B组(P32)1、(1)证明：设 f (x) sin x x, x (0,).因为 f

22、(x) cosx 1 0, x (0,)所以f(x) sin x x在(0,)内单调递减因此 f (x) sin x x f (0) 0, x (0,)，即 sinx x, x (0,). 图略(2)证明：设 f(x) x x2 , x (0,1).因为 f (x) 1 2x, x (0,1),1所以，当x (0,)时，f(x) 1 2x 0, f(x)单倜递增, 2f (x) x x2f (0) 0;1当 x (1,1)时，f(x) 1 2x 0, f(x)单调递减, 2-2-f (x) x x f (1) 0;图略1 12又 f(-) 0.因此，x x 0 , x (0,1).2 4证明：

23、设 f (x) ex 1 x, x 0.因为 f (x) ex 1 , x 0所以，当x 0时，f (x)ex 1 0, f(x)单调递增,新课程标准数学选修22第一章课后习题解答(第1侦共25页)f (x) ex 1 x f (0) 0;当 x 0 时，f (x) ex 10, f(x)单调递减,f (x) ex 1 x f (0) 0;综上，ex 1 x, x 0.图略(4)证明：设 f (x) Inx x , x 0.一1一因为 f (x) - 1 , x 0x1所以，当0 x 1时，f (x) 11 0, f(x)单调递增, xf (x) In x x f (1)1 0;一 一，1当x

24、 1时，f (x) 1 0, f (x)单倜递减，xf (x) In x x f (1)1 0;当x 1时，显然ln1 1.因此，In x x.由(3)可知，ex x 1 x, x 0.综上，In x x ex, x 0图略2、(1)函数f(x) ax3 bx2 cx d的图象大致是个“双峰”图象，类似“八力”或“6的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估 计它的单调区间.(2)因为 f (x) ax3 bx2 cx d ,所以 f (x) 3ax2 2bx c.下面分类讨论：当a 0时，分a 0和a 0两种情形：当a 0 ,且b2 3ac 0时，设方

25、程f (x) 3ax2 2bx c 0的两根分别为x1,x2，且x x2,当 f (x) 3ax2 2bx c 0,即 x x1 或 x *2时，函数 f (x) ax3 bx2 cx d 单调递增；当 f (x) 3ax2 2bx c 0,即 x1 x x2 时，函数 f(x) ax3 bx2 cx d 单调递减.当 a 0 ,且 b2 3ac 0 时，此时 f (x) 3ax2 2bx c 0,函数 f (x) ax3 bx2 cx d 单调递增.当a 0,且b2 3ac 0时，设方程f (x) 3ax2 2bx c 0的两根分别为x1,x2，且为 x2,当 f (x)3ax22bxc0,

26、即为 x x2 时，函数 f (x) ax3 bx2 cx d 单调递增；当 f (x)3ax22bxc0,即 xx1 或 x x2 时，函数 f (x) ax3 bx2 cx d 单调递减.当 a 0 ,且 b2 3ac 0 时，此时 f (x) 3ax2 2bx c 0,函数 f (x) ax3 bx2 cx d 单调递减1. 4生活中的优化问题举例习题1.4 A组(P37)1、设两段铁丝的长度分别为 x, l x,则这两个正方形的边长分别为两个正方44 一YclVclCC形的面积和为 S f (x) (-)2 (-)2 (2x2 2lx l2), 0 x l.4416令 f (x) 0

27、,即 4x 2l 0, x -.2当 x (0)时，f (x) 0;当 x (；l)时，f (x) 0.22因此，x L是函数f(x)的极小值点，也是最小值点.2h(第3题)4、证明：由于f (x)可以得到，xai是函数f(x)的极小值点，也是最小值点所以 V (x) 12x2 8ax an 1 ai表示这个物体的长度是合理的,n i 1这就是最小二乘法的基本原理. 5、设矩形的底宽为xm,则半圆的半径为-m,半圆的面积为-m2,28.令V(x) 0,得x a (舍去)，或x a . 26当 x (0,a)时，V (x) 0;当 x (a,a)时，V (x) 0. 66 2因此，x a是函数V

28、(x)的极大值点，也是最大值点所以，当x a时，无盖方盒的容积最大.63、如图，设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积S 2 Rh 2 R2,_2V由 V R h ,得 h 2.RE uV2 2V2因此，S(R) 2 R2 2 R 一 2 R , R 0.R2R令 S (R) 2V 4 R 0 ,解得 R 31. R2当 R (0,小)时，S(R) 0；当 R (若，)时，S(R) 0.因此，R是函数S(R)的极小值点，也是最小值点.此时，h -V2 2吐 2R.所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省 .1n22 n一 (x ai),所以 f (x) 一 (x ai).n i in i i令

29、 f (x) 0,得 x新课程标准数学选修22第一章课后习题解答(第17页共25页)这个结果说明，用n个数据的平均值矩形的面积为am1 2 * * 5,矩形的另一边长为(-x新课程标准数学选修22第一章课后习题解答(第1侦共25页)2a n0 x因此，x詈是函数l(x)的极小值点，也是最小值点.2a x因此铁丝的长为l(x) (1 一)xx 44令l(x) 1 - 21 0,得x J-8a-(负值舍去) 4 x1 4当 x (0,，4竺_)时，l(x) 0;当 x (/詈-里)时，l (x) 0.所以，当底宽为 a-m时,所用材料最省.6、利润L等于收入R减去成本C ,而收入R等于产量乘单价.

30、由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润一、11 2收入 R q p q(25 -q) 25q -q ,881 21 2利润 L R C (25q -q ) (100 4q)-q 21q 100 , 0 q 200 .88，一 r1求导得L q 21680.4b x利润 L(x) (x a)(c c b4) c(x令 L (x)8c 4ac 5bc一 x (a,b4a 5b8)时,L(x)0,解得0;当x4a 5 b竺二b是函数L（x）的极大值点,8所以，销售价为1. 5定积分的概念 练习（P42）8 .34 a)(5 -x) b 4a 5b5bx 一4x .8(加,史84也是

31、最大值点.竺9元/件时，可获得最大利润. 8说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤, 练习（P45）1、SiSi山2n(i)2n于是sSi山2n- n取极值,L(x) 0.体会“以直代曲”和“逼近”的思想1,2,L ,n.(1)2n、1(n-)2 n凸2n22 Ln2n1 n(n 1)(2n 1)3n13(1得1-)(1 n61 2n)limn1 iv(-)lim3(11)(1 n5)22n说明：进一步体会“以不变代变”“逼近”的思想2、22 km.3说明：进一步体会“以不变代变” 和步骤.练习（P48）2 3x dx 4.0“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法说明：进一步熟悉

32、定积分的定义和几何意义从几何上看，表示由曲线y x3与直线x0, x 2,y 0所围成的曲边梯形的面积 S4.新课程标准数学选修2 2第一章课后习题解答（第15页共25页）习题1.5 A组(P50)21001、(1) (x 1)dx (1 i 12500 1 (x 1)dx (1i 121000(3) (x 1)dx (11 i 1i 11)10.495 ;100100i 11)10.499 ;500500i 11)10.4995 .10001000新课程标准数学选修22第一章课后习题解答（第1项共25页）说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18

33、 1 12 1 7 1 3 1 0 1 40 (m);距离的过剩近似值为：27 1 18 1 12 1 7 1 3 1 67 (m)3、证明：令f(x) 1 .用分点a 比 x L x 1 x L xn b将区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi 1,xi上任取一点i(i 1,2,L ,n)nn b a作和式 f( i) xba b a ,i 1i 1 n叱，.n b a .从而 1dx lim b a ，an i 1 n说明：进一步熟悉定积分的概念.0, x 1 , y 0以及曲线y4、根据定积分的几何意义，0由x2dx表示由直线x所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此1

34、VT-x7dx -.040 315、(1x3dx1.140由于在区间1,0上x3 0,所以定积分x3dx表示由直线x 0, x 1, y 0和曲线1y x3所围成的曲边梯形的面积的相反数.1 30 31 31 1(2)根据积分的性质，得 x dx x dx x dx 一一 0. 11044co1 O由于在区间1,0上x3 0,在区间0,1上x3 0,所以定积分1x3dx等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积.一一 2 o0 o2 o115(3)根据积分的性质，得 x dx x dx x dx - 4 一 11044cc2 O由于在区间1,0上x3 0,在区间0,2上x3 0,所以定积分1x3dx等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积说明：在(3)中，由于x3在区间1,0上是非正的，在区间0,2上是非负的，如果直接利用定义把区