定积分的简单应用——求体积

1、定积分的简单应用一一求体积(北师大版)选修2-2：定积分编写教师：焦旭利4.2定积分的简单应用(二)复习：(1)求曲边梯形面积的方法是什么？(2)定积分的几何意义是什么？(3)微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用一一求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。 下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。1 .简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线y = /(x)和直线x = a, x = 及工轴围成的平面图形(如图甲)绕x轴 旋转一周所得旋转体的体积为V,如何求V?分析:在区间凡切内插入一 1个分点，使VX xT vx” 二b，把曲线y = /(x)分割成个垂直于x轴的“

2、小长条”，如图甲所示。设第，个“小长条”的宽是i = L2,这个“小长条”绕无轴旋转一周就得到一个厚度是人;的 小圆片，如图乙所示。当心,.很小时，第i个小圆片近似于底面半径为升=/(七)的小圆柱。 因此，第i个小圆台的体积匕近似为匕二句飞“的该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和：V 比/2(3)e +/2(x2)Av2 +.+/2U)Ar,J 这个问题就是积分问题，则有：V = f zr/2 (x)dx = b f2 (x)dx2(北师大版)选修2-2：定积分编写教师：焦旭利（北师大版）选修2-2：定积分 归纳：设旋转体是由连续曲线）=/（幻和直线X = ，X = 及工轴围成的曲边梯形绕X

3、轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为公2 .利用定积分求旋转体的体积（1）找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2）分清端点（3）确定几何体的构造（4）利用定积分进行体积计算3 . 一个以轴为中心轴的旋转体的体积若求绕）、轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为.V,其公式为V = g2y）dy类型一：求简单几何体的体积例1:给定一个边长为。的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积 思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定 积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为尤轴建立如图所示

4、的平面直角坐标系,如图3c则该旋转体即为圆柱的体积为：yV = zr x a1 dx = 7tax I； = Tta00 A x规律方法：求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为/。）。确定积分上、下限凡3则体积V =练习1：如图所示，给定直角边为。的等腰直角三角形，绕.V轴旋转一周，求形成的几何体的体积。解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。V = 7ra2*a - 7ry2dy =2%3313 1a 2 4rca -Try L=3 - 3类型二：求组合型几何体的体积 例2：如图，求由抛物线)，2=8x(y0)与直线1+)，-6 = 0及)，=。所围成的图形绕

5、X轴旋转一周所得几何体的体积。思路：解答本题可先由解析式求出交点坐标。再把组合体分开来求体积。解：解方程组y=83。)得x+y-6 = 0口 = 4/. y2 = 8x与直线x + y 6 = 0的交点坐标为(2,4)所求几何体的体积为：V = Jj (/8x)2 dx + (6 - x)2 dx = 164- =规律方法：解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或 差，然后，分别利用定积分求其体积。练习2：求由直线)，= 2x,直线无=1与x轴围成的平面图形绕无轴旋转一周所得旋转体的体积。解：旋转体的体积：ri 94V =，产(2x)-dr = -7T3类型

6、三：有关体积的综合问题：例3：求由曲线y =与y =后所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。思路：解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差。画出草图确定被积函数的边界确定积分上、下限y=j2x用定积分表示体积一求定积分解：曲线)，=;与y=后所围成的平面图形如图所示:4012（北师大版）选修2-2：定积分编写教师：焦旭利6设所求旋转体的体积为V根据图像可以看出V等于曲线），= 岳，直线K = 2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积（设为匕）减去曲线y =直线x = 2与X轴围成的平面图形绕X轴旋转一周所得的旋转体的体积（设为匕）匕二 L 7r(叵看dx =

7、xdx = 2tt*x2 l；= 4乃 oo2 乃24 1 w 84cix = x ax = x-x h= 4。4 55彳 87 124V=V.-V. =4) =1255反思:结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为求定积分问题是解决此类问题的一般方法。练习3：求由），= ?!,以及），轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。解：由V = f4(x +1)公一4.士/公二卫)JoJo 8110误区警示：忽略了对变量的讨论而致错例：已知曲线y =y=一和直线y = 0, x = a（a0）.试用。表示该四条曲线围成的x平面图形绕X轴旋转一周所形成的几何体的体积。 思路：掌握对定积分的几何意义，不要忽视了对变量。y =尸1y =-x由示意图可知：要对。与1的关系进行讨论:(北师大版)选修2-2：定积分编写教师：焦旭利 当。 1 时，V = 乃(r )2 dx = 7UX4dx = - a5 58当。1时,V = tc(x2 )2dx + 7t dx = - 5所得旋转体的