圆心角、弧、弦、弦心距间关系(1)(20210929160910)

1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一)教学目标1. 使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念；2. 使学生掌握圆心角、弧、 弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题；3. 培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认 识规律教学重点和难点圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点；从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点教学过程设计一、创设情景，引入新课圆是轴对称图形圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题今天我们再来究一下圆还有哪些特性1. 动态演示，发现规律投影出示图7-47，并动态显示：平行

2、四边形绕对角线交点0旋转180。后问：(1) 结果怎样？学生答：和原来的平行四边形重合.(2) 这样的图形叫做什么图形 ？ 学生答：中心对称图形.投影出示图7-48，并动态显示：O 0绕圆心0旋转180°由学生观察后，归纳出:以圆心为对称中心的中心对称图形.投影继续演示如图 7-49，让直径AB两个端点A, B绕圆心旋转30°,45°,90°，让学生 观察发现什么结论？图 M8图7-佃得出：不管绕圆心旋转多度，都能够和原来的图形重合进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度a,你发现什么 ？ 学生答：仍然与原来的图表重合 .于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性

3、质：圆的旋转不变性.即圆绕圆心旋转任意个角度a,都能够与原来的图形重合2. 圆心角，弦心距的概念我们在研究圆的旋转不变性时，AOB请同学们观察一下，这个角有什么特点在学生观察的根底上，由学生说出这个角的特点:OO绕圆心0旋转任意角度a后，出现一个角/?如图 7-50.(如有条件可电脑闪动显示图形 . 顶点在圆心上在此根底上，教师给出圆心角的定义，并板书 顶点在圆心的角叫做圆心角再进一步观察，是/ AOB所对的弧，连结AB所对的弦请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么 学生答：过圆心 O作弦AB的垂线AB,弦AB既是圆心角/ AOB也是在学生答复的根底上，教师指出：点O到AB的垂

4、直线段 OM的长度，即圆心到弦的距离叫弦心距如图7-51.教师板书定义 最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、 弦的弦心距之间的关系.引出课题 二、大胆猜测，发现定理 在图7-52中，再画一圆心角/ A'OB如果/ AO=Z A'OB ,变化显示两角相等B图 7-50A/图 7-51再作出它们所对的弦AB, A'B '和弦的弦心距OM OM，请大家大胆猜测，其余三组量川"与AB与A B '，弦心距OM与OM的大小关系如何？学生很容易猜出： 乩8=川副，AB= A 'B' ,OM= OM教师进一步提问：同学

5、们刚刚的发现仅仅是感性认识，猜测是否正确，必须进行证明，怎样证明呢？，弦学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到 让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么 学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧4出和川欢重合呢？皿=心，怎样证明弧相等呢？请同学们想一想，你用什么方法让 学生：旋转F面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明=把/ AOB连同 旋转，使OA与 OA重合，电脑开始显示旋转过程，教师边演示边提问 我们发现射线 OB与射线OB也会重合，为什么？学生：因为/ AO=Z A 'OB', 所以射线OB与射线OB重合1% I I jA与点A',点B与点B'是否分

6、别重合这两对点分要证明与重合，关键在于点别重合吗？学生：重合你能说明理由吗？学生：因为 OA= OA ,OB= OB ,所以点A与点A'重合，点B与点B'重合当两段弧的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢重合，弦 AB与A'B'重合,OM与OM重合学生：与为什么OM也与OM重合呢？ 学生：根据垂线的唯一性于是有结论：H启=川捋,AB= A'B'QMk OM.以上证明运用了圆的旋转不变性.得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字表达这个真命题. 教师板书定理.定理：在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相

7、等 .教师引导学生补全定理内容.投影显示如图7-53 , O O与O O为等圆，/AOB=/ A'O'B',OM与 OM 分别为AB与A'B的弦心距，请学生答复与一,AB与A B ' ,OM与OM 还相等吗?为什么？在学生答复的根底上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆.(投影显示叠合过程)这样通过叠合，把等圆转化成了同圆，教师把定理补充完整 然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么？并答复:条件结论圆心角所对弧相等；在同圆或等圆中 圆心角相等圆心角所对弦相等；圆心角所对弦的弦心距相等定理是在同圆或等圆这个大前提下， 圆心角相等

8、，得出其余三组量相等 请同学们 思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗 ？如何证明？在学生讨论的根底上，简单地说明证明方法.最后，教师把这四个真命题概括起来，得到定理的推论请学生归纳，教师板书推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等EPF的两边交三、稳固应用、变式练习例1判断题，以下说明正确吗 ？为什么？(1) 如图 7-54 :因为/ AOB=Z A'OB ,所以鬲=莎I(2) 在OO和O 0'中，如果弦AB= A B '

9、;.那么' = '分析：(1)、(2)都是不对的.在图7-54中，因为 和不在同圆或等圆 中，不能用定理.对于(2)也缺少了等圆的条件.可让学生举反例说明.例2 例2 如图7-55，点P在O O上，点O在/ EPF的角平分线上，/O O于点A和B.求证：PA= PB.让学生先思考，再表达思路，教师板书示范证明：作 OML PA ONL PB垂足为 M, N./ APO=Z BPOOM 丄 PA . lo »= ON . PA = PB.ON 丄 PB把P点当做运动的点，将例 2演变如下：变式1 (投影打出)：如图7-56，点O在/ EPF的平分线上，O O和/ EPF

10、的两边分别交于点 A, B和 C, D.求证：AB= CD.变式2 (投影打出)：如图 7-57 ,O O的弦AB, CD相交于点 P,Z APO=Z CPQ 求证：AB= CD.由学生口述证题思路也可利用其它方法来证，只不过前者较为简便说明：这组例题均是利用弦心距相等来证明弦相等的问题，当然，图 7-56图7圍r 57练习1 ：如图7-58 , A» BC.求证：AB= CD.师生共同分析后，学生练习，一学生上黑板板演变式练习：如图7-58 , AD= BC求证：AB= CD.四、师生共同小结教师提问：(1) 这节课学习了哪些具体内容 ？(2) 本节的定理和推论是用什么方法来证明的？(3) 应注意哪些问题？在学生答复的根底上，教师总结.(1)这节课主要学习了两局部内容：一是证明了圆是中心对称图形.得到圆的特性一一圆的旋转不变性；二是学习了在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦、所对的 弦的弦心距之间的关系定理及推论.这些内容是我们今后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据(2) 本节通过观察一猜测一论证的方法，从运动变化中发现规律，得出定理及推论，同时 遵循由特殊到一般的思维认识规律，渗透了旋转变换的思想(3) 在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆这