复杂电力系统的潮流计算

1、第四章 复杂电力系统的潮流计算复杂电力系统是一个包括大量母线、支路的庞大系统。对这样的系统进行潮流分析时，采用第三章中 人工计算的方法已不适用。目前，随着计算机技术的发展，计算机算法已逐渐成为分析复杂系统潮流分布 的主要方法，其中包括建立数学模型、确定计算方法和编制计算程序三方面的内容。本章主要讲述前两方面的内容，同时为了方便分析，针对计算机解法作如下规定： 所有参数（功率、电压、电流、阻抗或导纳）都以标幺值表示； 电力系统稳态运行时，可以把负荷作恒定功率处理，也可作恒定阻抗处理； 所有电源（发电机、调相机、电力电容器等）均向母线注入功率（或电流） ，取正号； 作恒定功率处理的负荷，均为从母线

2、“吸取”功率，是向母线注入负的功率（或电流） ，取负号； 母线总的注入功率（或电流）为电源注入功率（或电流）与负荷“吸取”功率（或电流）代数和； 输电线路、变压器用型等值电路表示。第一节 电力网络的数学模型电力网络的数学模型是指将网络的有关参数和变量及其相互关系归纳起来所组成的、 可反映网络性能 的数学方程组。电力网络属于线性网络， 因此，电路理论中关于线性网络的分析方法也适用于分析电力 网络。目前，普遍采用的有两种方法：一是节点电压法；二是回路电流法。一、节点电压方程和回路电流方程1. 节点电压方程是依据基尔霍夫电流定律，通过节点导纳矩阵（或节点阻抗矩阵）反映节点电流与节 点电压之间关系的数

3、学模型。 用节点导纳矩阵描述的节点电压方程：4-1)?I n ） T为节点注入电流的 n 维列向量； UB=（U1Y11 Y 12Y21 Y 22YB =Yi1 Y i2般地，当网络中的独立节点数（即母线数）为n 时，在式（ 4-1 ）中： I B =（ I 1 ， I 2 ，i，?U2， U i Un ）T为节点电压列向量； Y 1i Y 1n Y 2i Y 2nI B YBUB为 n×n 阶节点导纳矩阵 （4-2 ）Y ii Y in由以上分析可知，对 n 母线电力系统有 n 个独立的节点电压方程式（以大地为参考节点） 用节点阻抗矩阵描述的节点电压方程：将式（ 4-1 ）两边同乘

4、 YB1（前提为 YB的逆阵存在） ，则有 YB1IB=YB1YB UB。又令 YB1=ZB为节点阻抗矩阵，其表达Z11 Z 12 Z 1i Z 1nZZB=21Z 22 Z 2i Z 2nZi1Z i2 Z ii Z inZn1Z n2 Z ni Z nn则 n 母线系统的节点方程又表示为：仍为 n×n 阶方阵UB=ZB I B4-3)4-4)2. 回路电流方程是依据基尔霍夫电压定律，通过回路阻抗矩阵ZL 反映回路电流与回路电压之间关系的数学模型，其方程式为：EL=ZLIL4-5 )若网络为 n 母线（即 n 个独立节点）系统，且等值电路有 ? ? ?程数为 L=b-n 。则在式（

5、 4-5 ）中： EL=（ E11， E22 Eiib 条支路，则基本回路数即独立的回路方? E LL ） T 为 L 维回路电势列向量，它的第 i 个元素 Eii是第 i 个回路所含电源电势的代数和， 其中与回路电流的绕行方向相同的支路电势 取正号；反之取负号。回路中没有电源时则为零。? ? ? ?I L =（ I 1 ，I 2 I i I L ）T为 L 维回路电流列向量，其中每个元素为各自回路某一选定绕行方向的电流向量。Z11 Z 12 Z 1i Z 1L21 Z 22 Z 2i Z 2LZL=为 L×L 阶回路阻抗矩阵（4-6 ）Zi1Z i2 Z ii Z iLZL1Z L

6、2Z Li Z LL两种方程在电力系统分析中都有应用，但各有优缺点，现从以下三个方面进行比较。n，支路数为 b 从方程式的数目来说，我们希望方程式的数目越少越好。当网络的独立节点数为 时，节点电压方程数为 n 个，回路电流方程数为 L=b-n 个。当 b2n时，Ln；当 b2n时，Ln。在实际电力系统中，各母线之间的支路一般为变压器或输电线路。如果发电机、负荷、线路电容以及变压器的励磁支路等都用节点对地支路表示时，常有b 2n；但有某些情况下，例如短路计算中常略去线路电容和变压器励磁支路，甚至略去负荷。这样支路数b 大为减少，可能出现 b 2n 的情况。 就状态变量来说，节点方程可以节点电压为

7、状态变量，节点电流可以直接由电源及负荷的情况确 定，且节点导纳（或阻抗）矩阵的形成与修改，从后面的分析可以发现其优越性；节点电压方程中求解出 各母线电压后，支路电流、功率以及母线功率容易算出，而回路电流方程不具备此优点。 应用回路电流方程要预先选定回路方向，使计算机程序设计复杂化，而节点电压方程无此缺点。 基于以上原因，目前的潮流分析计算一般多采用节点电压方程，本书中仅就节点电压法进行分析。二、节点导纳矩阵的形成和修改 节点电压方程是依靠节点导纳（或阻抗）矩阵来建立节点电流与节点电压之间关系的，因此须先确定 节点导纳（或阻抗）矩阵。1. 节点导纳矩阵的形成节点导纳矩阵如式（ 4-2 ）。其中对

8、角元素 Yii （i=1 ，2， n）称为节点 i 的自导纳；非对角元素Yij (i ，j=1，2， n ；i j） 称为互导纳。 自导纳 Yii将式（ 4-1 ）展开得：? n ?Ii =Yik U kk1(i=1 ，2 n)4-7)若在节点 i 加电压 U i ，其它节点都接地，Uk =0k=1，2 n ， k i ），则：所以? i 1I i = Yik ·0 + k1kiYik ·0 + Yii Ui1即 Ii =Yii UiYii=IiYii = ?UiU k =0 ，ki4-8)? ?=I iUk =0，ki；U i=104-9)? I i 当U i=10时，Y

9、ii = ?iUii 注入网络的电所以自导纳 Yii 的物理意义是：在节点 i 施加单位电压，其它节点都接地时，经节点 流。实际计算中，由电路原理课程已知，节点 i 的自导纳在数值上就等于与该节点直接相连的所有支路导 纳的总和。 互导纳 Yij?U k =0（k=1，2 n，kj ），由式（ 4-7 ）可知：?Iij1=Yik ·0k1n+Yik ·0 +k j 1?Yij U j? 即Ii = Yij U j?所以Yij = I?i ij ?UjU k =0，k j?I?当U j =10时，Yij = I i ij ?=Ii若在节点加电压 U j ，其它节点都接地，即U

10、j U k =0，k j ；U j =104-10)4-11)因此，互导纳 Yij 的物理意义是：在节点 j 施加单位电压，其它节点都接地时，经节点 i 注入网络的 电流。实际计算中， 节点 i、j 之间的互导纳 Yij 在数值上就等于连接节点 i 与 j 的支路导纳 yij 的负值。 取 ?依互导纳的物理意义可知负号的原因是节点注入网络的电流为正， 而当 i 接地且 U j =10 时，Ii 的方向为流出网络 （即注入大地） 。Yij =- yij ，即 Yij =Yji ；特别地，当节点i 、 j 之间无直接支路相连时，Yij =Yji =0。在复杂电力网中，这种情况较多， 从而使矩阵中出

11、现大量的零元素，节点导纳矩阵成为稀疏矩阵。一般来说Yii Yij ，即对角元素的绝对值大于非对角元素的绝对值，使节点导纳矩阵成为具 有对角线优势的矩阵。因此，节点导纳矩阵是一个对称、稀疏且具有对角线优势的方阵。这将给以后的分 析计算带来很大的方便，它有利于节省内存、提高计算速度以及改善收敛等。2. 节点导纳矩阵的修改在电力系统中，接线方式或运行状态等均会发生变化，从而使网络接线改变。比如一台变压器支路的 投入或切除，均会使与之相连的节点的自导纳或互导纳发生变化，而网络中其它部分的结构并没改变，因 此不必重新形成节点导纳矩阵，而只需对原有的矩阵作必要的修改就可以了。现就几种典型的接线变化说 明具

12、体的修改方法。 从原有网络的节点 i引出一条导纳为 Yij 的支路，j 为新增加的节点，如图 4-1 （a）。由于新增加 了一个节点，所以节点导纳矩阵增加一阶，矩阵作如下修改： 原有节点 i 的自导纳 Yii 的增量 Yii = yij ； 新增节点 j 的自导纳 Yjj=yij ； 新增的非对角元 Yij =Yji =- yij ；其它新增的非对角元均为零。 在原有网络的节点 i与j之间增加一条导纳为 yij 的支路，如图 4-1( b)。则与 i 、j 有关的元素应 作如下修改： 节点 i、j 的自导纳增量 Yii =Yjj =yij ； 节点 i 与 j 之间的互导纳增量 Yij = Y

13、ji =- yij ； 在网络的原有节点 i 、j 之间切除一条导纳为 yij 的支路，如图 4-1 (c)，其相当于在 i 、j 之间增 加一条导纳为 - yij 的支路，因此与 i 、 j 有关的元素应作如下修改： 节点 i 、 j 的自导纳增量 Yii = Yjj =- yij ； 节点 i 与 j 之间的互导纳增量 Yij =Yji =yij ； 原有网络节点 i 、j 之间的导纳由 yij 改变为 yij ，相当于在节点 i 、j 之间切除一条导纳为 yij 的支 路，再增加一条导纳为 yij 的支路，如图 4-1 ( d)。则与 i 、j 有关的元素应作如下修改： 节点 i、j 的

14、自导纳增量 Yii = Yjj = yij - yij ； 节点 i 与j 之间的互导纳增量 Yij =Yji=yij- yij ；y ij(a)(b)yij(b) 增加支路；(d)(a) 增加支路和节点； 原有网络节点 i、 j 之间变压器的变比由-yij-yijy ij电力网络接线的改变(c) 切除支路；(d)改变支路参数k* 变为 k*，即相当于切除一台变比为k* 的变压器，再投yT为与变压器原边基准电压对应的变压器导纳标幺值，则与i 、 j 有关的元素应作如下修改：入一台变比为 k*的变压器， k*=(U/U)/ ( UB/U B)，如图 4-1 ( e)变压器型等值电路，图中 节点

15、i 的自导纳增量 Yii =0；节点 j 的自导纳增量 Yjj =(k*2 - k 2*)yT； 节点 i 与j 之间的互导纳增量 Yij =Yji =( k* - k *)yT；（1- k *）yTk*（k*-1 ）yT图 4-1 （ e） 改变变压器变比三、节点阻抗矩阵的形成和修改支路追加法节点阻抗矩阵元素的物理意义节点阻抗矩阵如式（ 4-3 ），其中对角元素 Zii （i=1，2 n）称为节点 i 的自阻抗；非对角元素 Zij i、j=1，2 n ；i j ），称为互阻抗。现讨论自阻抗和互阻抗的物理意义。 自阻抗 Zii? n ?将式（4-4）展开得： Ui= Zik Ik（i=1 ，2

16、 n）（ 4-12 ）k1?若在节点 i 加注入电流 I i ，而其它节点的注入电流均为零，即I k =0（k=1，2 n ， k i ），则由式?4-12 ）可知： Ui =Zii Ii所以Zii=U?iii ?Ii4-13）当Ii =10时，Zii=U?iii ?IiI k =0，k i?=U iI =0，k i ； I =10 I kIi4-14 ）因此，自阻抗 Zii 的物理意义是：在节点 i 加单位注入电流，而其它节点的注入电流均为零时，节点? i 的电压 U i 。 互阻抗 Zij?若在节点 j 加注入电流 I j ，而其它节点的注入电流均为零时，即I k =0（k=1，2 n ，

17、k j ），则由? 式（ 4-12 ）可知： Ui= Zij I j?UiI k =0，k j所以 Zij = ? i ? （4-15 ）?当 I j =10时，Zij=U?iij ?Ij? ?=U iIk =0，kj ； I j =104-16 )因此，互阻抗 Zij 的物理意义是：在节点 j 加单位注入电流 I j ，而其它节点的注入电流均为零时，节?点 i 的电压 U i 即是节点 i 与 j 之间的互阻抗 Z ij 。依次在各节点单独注入电流， 计算出网络中的电压分布， 从而可求得阻抗矩阵的全部元素。 由此可见， 节点阻抗矩阵元素的计算是相当复杂的，不可能从网络的接线图和支路参数直观的

18、求出。另外，我们考虑 的电力网络一般是连通的，网络的各部分之间存在着电的或磁的联系。单独在某一点注入电流，网络中任 一独立节点均会出现电压，因此阻抗矩阵没有零元素，是一个满矩阵。又根据线性电路的互易定理可知， 阻抗矩阵是对称矩阵。 用支路追加法形成节点阻抗矩阵目前常用的求取节点阻抗矩阵的方法有两种： 一是间接法， 利用节点导纳矩阵求逆形成； 二是直接法， 利用支路追加法由计算机自动形成。这里主要分析支路追加法。支路追加法是将复杂网络分解， 从简单到复杂。 它根据网络拓朴的原理， 将网络分解成树支与连支 （具 体含义参阅电路原理课程） 。从一条支路 （指接地支路或与参考节点相连的支路） 、一个节

19、点 （母线） 开始， 逐步追加支路、节点而形成网络。在形成网络的过程中，根据节点阻抗矩阵元素的物理意义逐步形成相应 的阻抗矩阵。以图 4-2 （a）所示网络为例，说明用支路追加法形成节点阻抗矩阵的过程。从图（b） 图（h）为一种追加顺序，每次追加一条支路，则依此顺序依次求出相应的节点阻抗矩阵。图（b）对应的节点阻抗矩阵为一阶；在图（ b）的节点 1 新增加一条树支形成图（ c），阻抗矩阵增加为二阶；在原有节点 2 与 0 之间增加连支形成图（ d），矩阵阶数仍为二阶，但需修改图（ c）矩阵的元素；从节点 2 引出一条树支， 新增加一个节点 3形成图（e），阻抗矩阵增加为三阶； 从节点 2 增加

20、一条树支， 新增一节点 4 形成图（ f ）， 阻抗矩阵增加为四阶；在节点 3 和 4之间增加一条连支形成图（ g），矩阵阶数仍为四阶，但需修改图（ f ） 矩阵的元素；在（ g）图中的原有节点 4 和 0 之间增加一条连支形成图（ h），矩阵阶数仍为四阶，但需作 再一次的修改，从而形成了整个网络的节点阻抗矩阵。从上述追加过程可得出几点结论： 直接利用自、互阻抗的物理意义形成节点阻抗矩阵；30(c)(a)(b)(d)(e)4(h)图 4-2 支路追加法 追加支路分两种形式：一是追加树支，增加新节点，阻抗矩阵需增加一阶；二是追加连支，不增加新节点，矩阵阶数不变，但要对矩阵元素作修改； 追加顺序是

21、任意的，因此中间过程随追加顺序的不同而不同，但最后结果是唯一的，其间有一个最佳顺序问题。面推导一般公式：设原有无源网络已形成了p 个节点的阻抗矩阵 ZBp，即已知：Z11121i1P21222i2P 追加树支ZBp=Zi1ZP1现从节点 i 引出一条树支i2iiIpP2PiPPziq ，新增加一个节图 4-3 追加树支点 q（见图 4-3 ），这时网络的节点阻抗矩阵将扩大 一阶，即由 p 阶变为 p+1=q阶，设为 ZBq，其形式 如下：Z21Z 22 Z 2i Z 2PZ2qZBq= Z i1Z i2 Z ii Z iPZiqZP1Z P2 Z Pi Z PPZ pqZq1 Z q2 Z q

22、iZ qp Z qq其中第 q 行及第 q 列为新增的，现讨论阻抗矩阵中各元素的计算。在网络原有部分的任一节点k 单独注入电流 Ik ，而其余节点的电流均为零时，由于支路ziq 并无电流通过，因此该支路的引入并不会ZBq中对应于网络原有部分的全部元素（即矩阵中虚ZBP中的对应元素。矩阵中新增的第q 行和第 q 列改变网络原有部分的电流、电压分布，即阻抗矩阵线左上方部分）将保持原有数值不变，即仍等于元素可以这样求得 互阻抗 Zqk网络原有部分的任一节点k 单独注入电流 Ik 时，因 ziq 中无电流通过，则节点 q 的电压 Uq 等于节点 i 的电压Ui，即Uq=Ui；而根据互阻抗的定义式4-1

23、2 )知：Uq =Zqk Ik，Ui =Zik Ik ，所以有 Zqk Ik =Zik Ikqk =Zik ( k=1， 2 p)(4-17)Zqk为第 k行的互阻抗。又根据阻抗矩阵的对称性，ZBq中第 q列的互阻抗 Zkq=Zqk（k=1，2 p）。 自阻抗 Zqq? ? ? ? ? 由其定义可知，应等于节点 q单独注入电流 I q时，节点 q的电压 Uq与Iq的比值，即 Zqq=Uq/ Iq。? ? ? ? ?而Uq=Ui+ Ziq Iq ；对于式中的电压 Ui ，由于从节点 q 注入电流 I q直接流入节点 i ，相当于节点 i 的注Uq = Z ii Iq + Z iq IqZii +

24、 Z iq ) I q = Z qq Iq? ? ? ? ? ?入电流 Ii=Iq，而 Zii =Ui/ Ii=Ui / Iq，所以 Ui= Zii Iq。由此可得Zqq = Z ii + Z iq（ 4-18 ）综上所述，当增加一条树支时，节点阻抗矩阵的原有部分保持不变，新增的一行（列）各非对角元素 分别与引出该树支的原有节点的对应行（列）各元素相同。而新增的对角元素则等于该树支的阻抗与引出 该树支的原有节点的自阻抗之和。特别地，如果节点 i 是参考节点（接地点） ，则称新增支路为接地树支。?由于 Ui 0，根据自阻抗和互阻抗的定义可知：Zkq = Zqk=0k=1，2 p )4-19) 追

25、加连支在已有的节点 k 和 m之间追加一条阻抗为Zkm 的连支（如图 4-4 ），由于不增加新节点，因此节点阻抗矩阵的阶次不变。如果原有各节点的注入电流不变，连支 Zkm的接入将改变网络中的电压分布，从而原有矩阵的Ik - IkmIk kkmIkm m各元素要作相应的修改，具体修改方法阐述如下。I?m+Ikm I m如果保持各节点的注入电流不变，连支的引入对网络原图 4-4追加连支有部分的影响就在于，把节点k 和 m 的注入电流分别从Ik 和 Im 改变为（ IkIkm )和( I m+ Ikm )。这时网络中任一节点 i 的电压可以利用原有的阻抗矩阵元素写出如下式：Ui = Z i1 I 1

26、 +Zi2 I 2 + + Z ik ( Ik - Ikm )Z im ( I m + Ikm ) + + Z ip Ipp?Zij Ij j1- ( Zik - Zim ) Ikm(4-20)现在要设法将Ikm 用原有的节点注入电流代替，就可以建立起各节点电压和节点注入电流的对应关系，从而确定接入连支后节点阻抗矩阵的各元素。由于式（4-20 )对网络的任何节点都适用，现将它用于节点k 和 m可得：?pUk =Zkjj1?Ij -Z kkZ kmIkm又知?pUm =Zmjj1Ij -Z mkZ mmIkm? ? ?Uk - Um =zkm Ikm将、式代入式可得出：IkmZkk Zkm 2Z

27、km zkm(Zkjj1Zmj ) Ij将 Ikm的表达式代入式 （4-20 ），经整理得U?i = p Zij (Zik Zim)(Zkj Zmj) j1Zkk Zmm 2ZkmzkmIjp?Z ij Ij j1所以Z ij =（Zik Zim）（Zkj Zmj）Z ij =ZijZkk Zmm 2Zkm zkm这就是追加连支 zkm后阻抗矩阵元素 Zij 与原有阻抗矩阵元素以及追加支路阻抗的关系式，用来i 、 j=1 ， 2 p)4-21)确定追加连支后的节点阻抗矩阵。特别地，如果追加连支所接的节点中，有一个是零电位，例如是接地点，即 Um =0，则称此连支为接地连支。设其阻抗z km=z

28、 k0 ，则公式（ 4-21 ）变为（注意：此时，原节点阻抗矩阵中无互阻抗 Zim 即 Zim=0 ）。顺便指出，如果在节点Zij =ZijZik ZkjZkkzk0(4-22)k、m之间接入一条短路线 （zkm= 0） ，则相当于k、m合为一个节点，根据式4-21 ）可知：另外，第 k 列和第 m列的元素分别为：ZikZim ZkjZmjZkkZmm2Zkm(Zik - Zim)( Z kk- Z mk)Zkk +Z mm - 2Zkm(Z ik -Z im )( Zkm - Z mm)Zkk+ Z mm- 2Z kmZij =ZijZ im= Z im-Z ik = Z ik -(4-23

29、)4-24 )Zik= Z im ，根据互易定理，又由于 k、m 合为一点，因此其电压及注入电流分别相等，所以Z ki Z mi Z ik 这一关系说明，如果 k、 m两节点短接，第 k 行（列）和第 m行（列）完全相同，因此可 以删去其中一个节点（ k 或 m）对应的行和列，使矩阵降低一阶，其它元素的修改仍按式（4-23 ）进行。由以上分析可见，追加连支的计算量大大超过追加树支的计算量，因此，在计算机形成节点阻抗矩阵 时，其速度主要取决于追加连支的计算速度。应合理安排追加支路的次序。一般第一步从接地树支开始， 尽可能在阶数低（节点少）时追加连支，以减少计算工作量。利用支路追加法避免了矩阵求逆

30、，同时能适应系统运行方式的改变，如果切除一条阻抗为zij 的线路时，可利用原有矩阵追加一阻抗为 -z ij 的连支（与 z ij 并联）对矩阵进行修改即可。各阻抗参数如下： Z1=Z2=Z3=-j20 ，Z4=j2 ， 例 4-1 用支路追加法形成图中三母线系统的节点阻抗矩阵。Z5=j4 ， Z6=j3 。解：（ a）追加树支， i=1Z11=z 1=-j20形成矩阵 ZB1=-j20b）追加树支，引入新节点j=2 （接地树支）Z 11 不变， Z12=Z21=-j20 ， Z22 =z 2=-j20z4ZB2=0 -j20c）追加连支，k=1 ， m=2 z 1 z 3 z 2 例 4-1

31、图( -j20-0 )( -j20-0 ) = -j9.47-j20-j20+j2( -j20 )( j20 ) = -j10.53 -j20-j20+j2-j20 )(j20 ) = -j9.47 -j20-j20+j2(Z 11 Z 12)( Z 11 Z 21)11 = Z 11- = -j20 -Z 11 + Z 22 - 2Z 12 + Z 4(Z 11 Z 12)( Z 12 Z 22 )12 = Z 21 = Z 12 - = 0 -Z 11 + Z 22 - 2Z 12+ Z 4(Z 21 Z 22)( Z 12 Z 22)22 = Z 22 - = -j20 -Z 11 +

32、Z 22 - 2Z 12 + Z 4修改矩阵 -j9.47 -j10.53ZB2=10.53 -j9.47d）追加树支， j=3 （接地树支），不变Z11=-j9.47 ， Z12 =Z21=-j10.53 ，Z22= -j9.47Z13=Z31 =Z23=Z32=0，Z33 =Z3=-j20形成矩阵-j9.47-j10.53 0ZB3=-j10.53 -j9.47 00 0 -j20e）追加连支，k=1， m=3(Z 11 Z 13)( Z 11 Z 31)11 = Z 11- Z= -j9.47 -j9.47 )( -j9.47 ) = -j5.5912= Z21Z= Z1213= Z 3

33、1= Z 13(Z22Z= Z 22 -11 + Z 33 - 2Z 13 + Z 5-j9.47-j20+j421(Z 11 Z 13)( Z 12 Z 32) = -j10.5311 + Z 33 - 2Z 13+ Z 5(Z 11 Z 13 )( Z 13 Z 33)Z11 + Z 33 - 2Z 13+ Z 5= 0 -j9.47-j20+j4 Z23)( Z 12 Z32) = -j9.47-j9.47-j20+j411 + Z 33 - 2Z 13 + Z 5-j9.47 )( -j10.53 ) = -j6.61-j9.47-j20+j4-j9.47 )( j20 ) = -j7

34、.44-j10.53 )( -j10.53 ) = -j5.1223 = Z 32 = Z 23(Z 21 Z 23 )( Z 13 Z 33) = 0 -j10.53 )( j20 ) = -j8.2733 = Z 33 - Z修改矩阵(Z 31 Z 33)( Z 13 Z 33)11 + Z 33 - 2Z 13+ Z 5( j20 )( j20 )= -j20-j9.47-j20+j4= -j4.30-j5.59 -j6.61-j7.44ZB3=-j6.61-j5.12 -j8.27-j7.44 -j8.27 -j4.30f ）追加连支， k=2 ， m=311= Z 11-Z(Z 12

35、 Z 13)( Z 21 Z 31) = -j5.59 -j5.12-j4.30-222 + Z 33 - 2Z 23 + Z6(Z12 Z 13)( Z 22 Z 32)12= Z21 = Z12Z22 + Z 33 - 2Z 23 + Z613= Z31 = Z1322= Z2223-j6.61+j7.44 )( -j6.61+j7.44-j8.27 ) +j3-j6.61+j7.44 )( -j5.12+j8.27= -j6.61 - -j5.12-j4.30-2(Z 12 Z 13)( Z 23 Z 33) = -j7.44Z22 + Z 33 - 2Z 23+ Z 6-j5.12-j

36、4.30-2(Z 22 Z 23) ( Z 22 Z 32) = -j5.12-j5.12-j4.30-2Z22 + Z 33 - 2Z 23+ Z 6=Z32 =Z23-j8.27 ) +j3-j6.61+j7.44 )( -j8.27+j4.30-j8.27 ) +j3-j5.12+j8.27)( -j5.12+j8.27)-j8.27 ) +j3)= -j6.02)= -j6.87)= -j7.11= -j6.10(Z 22 Z 23) ( Z 23 Z 33) =-j8.27-j5.12-j4.30-2Z22 + Z 33 - 2Z 23 + Z6-j5.12+j8.27 )( -j8

37、.27+j4.30 )= -j7.03-j8.27 ) +j3(Z 32 Z 33) ( Z 23 Z 33)-j8.27+j4.30)( -j8.27+j4.30)33= Z 33Z22 + Z 33 - 2Z 23 + Z6=-j4.30 - -j5.12-j4.30-2= -j5.86-j8.27 ) +j3例 4-1 图的节点阻抗矩阵j6.02-j6.87 -j7.11ZB3=-j6.87 -j6.10 -j7.03-j7.11 -j7.03 -j5.86第二节 功率方程和变量节点的分类一、功率方程前面已知节点电压方程为 I B=YBUB。在建立了节点导纳矩阵 YB 后，如 UB或 I

38、 B 已知，则方程可解。由第三章可知，在工程计算中 I B是未知的， UB 中的元素大多数也未知，因此无法直接应用公式（4-1 ）进行求解。电力系统分析计算中常以节点注入功率SB代替电流 I B（ SB为节点注入功率的列向量） 。根据复功率的* 注 * S ，所以节点电压方程为 YBUB= S ，从而将各节点的 UB? ? SiS定义 SB=Ui Ii ，所以 I i = ? 。对应有 IB =U?iU B注入功率 S 引入了节点电压方程。参照式（ 4-1 ），将SYBUB=展开可得功率方程的一般形式为：Pi jQi= n YijU?jUi j 1i=1 ， 2， n）4-25）以下面两端供电

39、网络为例，分析功率方程的展开式I1S1U11012y20I2S2a）简单系统b）等值网络图 4-5简单系统及其等值网络如图 4-5 所示两端供电网络，节点 1、2 的注入功率为S1=SG1- SD1=（PG1-PD1）+j （ QG1-QD1）S2 =SG2- SD2=（ PG2-P D2）+j （ QG2-QD2）从而可知节点 1、2 的注入电流为I?1= S1U1I?2 = S2U2网络的节点导纳矩阵元素4-26）4-27）Y11=y10+y12=y20+y21=Y2212=Y21=-y 12UBUB从而网络的节点电压方程为可得? ? ?S2=I 2= Y21U1+ Y22U 2U24-2

40、8)2S1=U1 Y11U1+U1Y12U2= U12Y11+U1U2 Y122S2=U2Y21U1+U2 Y22U2= U22Y22+U1U2 Y214-29)如设 U1=U1ej 1；U2=U2ej 2；Y11 Y22 ySe j 90 S ； Y12 Y21 yme j 90 m (均为极坐标形式），并将它们代入式（ 4-29 ）展开，将有功功率、无功功率分别列出，可得P1=PG1-P D1=y sU12sin s+ymU1U2sin(1-2)-mP2=PG2-PD2=ysU22sin s+ymU2U1sin(2-1)-mQ1=QG1-QD1=ysU12cos s-y mU1U2cos(

41、1-2)-m(4-30)Q2=QG2-QD2=ysU22cos s-y mU2U1cos(2-1)-m这就是图 4-5（a） 简单系统的功率方程。U和功率方程的特点 由式（ 4-30 ）可见，功率方程是反应节点注入功率和节点电压之间关系的数学模型，是关于 的非线性方程组，一般无法用解析法求解，应立足于迭代求解。 将式（ 4-30 ）的第一、二式相加，第三、四式相加，可得这个系统的有功功率、无功功率平衡关 系：s-2y mU1U2cos( 1- 2)sin mPG1+PG2=PD1+PD2+ys(U12+ U22) sin QG1+QG2=QD1+QD2+ys( U12+ U22)cos s-2

42、y mU1U2cos( 1- 2)cos m(4-31)两等式右边第三项、第四项为系统的有功功率损耗 P、无功功率损耗 QP= y s（ U12+ U 22）sin s-2y mU1U2cos（ 1- 2）sin mQ= ys（U12+ U22） cos s-2y mU1U2cos（ 1-2）cos m 在功率方程中，母线电压的相位角以12=1- 2 的形式出现，即决定功率大小的是相对角而不是? 绝对角，因此在所有电压相量 Ui 中，应选定一个电压参考相量。 四个方程中，除去网络参数 ys、ym、s、 m外共十二个变量，它们分别是： 负荷消耗的有功、无功功率 PD1、PD2、QD1、 QD2；

43、 电源发出的有功、无功功率 PG1、PG2、QG1、 QG2； 母线或节点电压的大小和相位角U1、 U2、 1、 2。因此，除非已知或给定其中的八个变量，否则无法求解，即为 n 母线系统将会列出 2n 个方程，但变 量有 6n 个。必须根据运行条件，给定其中6n-2n=4n 个变量才可解方程。、变量的分类变量的分类： 前面分析已知， 为了使功率方程有解， 必须要给定某些变量， 而其余变量作为未知量。 给定哪些变量才合理呢？这首先要求我们要了解变量的性质。实际变量按控制理论可分为三类：不可控变 量、可控变量和状态变量。 不可控变量 dPD、无功功率 QD。它们取对电力系统来说是指无法由运行方面来

44、控制的变量。这里指负荷消耗的有功 决于用户，对系统来说是随机的，又叫扰动变量。它们的变化将引起系统运行状态的变化。一般可根据运,即 d=( PD1、QD1、PD2、QD2、行经验或预测做出估计， 作为已知量给定。 对 n 母线系统共有 2n 个不可控变量PDn、 QDn) 。 控制变量 u可由运行人员根据需要来决定或改变的变量，这里指电源发出的有功PG、无功功率 QG。对 n 母线系统共有 2n 个控制变量 , 在方程组中一般起自变量的作用， u=(PG1、QG1、 PG2、QG2、 PGn、 QGn) 。 状态变量 x能描述和确定系统运行状态的变量。这里指各母线电压的大小u 及相角。 它们是

45、受系统的控制变量所控制的因变量，其中电压 u 主要受无功功率 QG的控制；相角主要受有功功率PG的控制。对 n 母线系统共有 2n 个状态变量 , x=( u1、 1、 u2、2、 un、n)功率方程给定变量的调整4-25 )求解出状态对变量作如上分类后，似乎只要已知扰动变量和控制变量，就可以运用功率方程(变量，其实不然。因为在上述功率方程中，母线(节点)电压的相位角以相对值出现，以致使当1、2已发生变化，但 ( 1- 2) 不变时，功率的数值不变，从而不能用它们求取绝对相位角1、2，当然还有其它原因，如功率损耗与相对角的关系等。为克服以上困难，可对变量的给定稍作调整： 在具有 n 个节点的系

46、统中 , 只给定 (n-1) 对控制变量 PGi 、QGi，余下一对控制变量 PGS、QGS待定，由这 一对控制变量维持系统功率平衡。? 指定某节点的电压相量为基准相，一般取与PGS、 QGS相同的节点，即 Us =Uss=1 0(Us 也可按实际需要取 1 附近的某一值 ) 。 给定所有的不可控变量 PDi、QDi 。变量的约束条件在已知了以上 4n 个变量后，就可根据 2n 个功率方程解出 2n 个未知量，其中包括 2(n-1) 个状态变量 和 2 个控制变量。这在抽象的数学思维中已经满足方程的要求，但实际电力系统还要受某些条件的约束，当方程的解超出这一约束条件时， 对实际系统就无意义了，

47、 即这些约束条件是保证系统正常运行所必须的。 对控制变量的约束条件是PGimin PGi PGimax；Q Gimin QGi QGimax若为没有电源的节点则为PGi=0； Q Gi=0其中 PGimax、 PGimin 、 QGimax、 QGimin 的确定由一些技术条件所确定，在后面两章将有讨论。 对状态变量 Ui 的约束条件是Uimin Ui Ui max 即系统中各节点电压都要满足电压质量的要求。 对某些状态变量的相对角 ij=i-j 须满足i - j <i- j max这是为保证系统运行稳定性所要求的。除此以外，还可根据某些要求考虑其它一些约束，如某些线路 的功率限制、经济

48、性要求等。考虑到这些约束条件后，有时对某些节点还得调整它的给定量，如给定PGi和 Ui ，而 QGi和i 待求等。三、节点的分类从前面的叙述已知， 对不同节点， 给定量也不同。 这样， 系统中的节点就因给定量的不同而分为三类： PQ节点。这类节点给定节点注入功率 Pi 、Qi ，待求的是节点电压 Ui 及相角 i 。属于这一类节点的有 固定发电功率的发电厂母线和没有其它电源 （无功电源） 的变电所母线。 这类节点在电力系统中大量存在。 PV节点。这类节点给定节点注入有功功率Pi和电压 Ui ，待求的是节点注入无功功率 Qi 和电压相角i。这类节点要求有充足的可调无功电源来维持给定电压Ui 。属

49、于这类节点的有具有一定无功储备的发电厂和有一定可调无功电源设备的变电所母线。这类节点在电力系统中为数不多，甚至可能没有。?平衡节点。 在潮流计算中所选的电压参考节点， 即 Us=U s s U s 0 的节点， 也就是电压大小给 定、相角为零的节点。待求量是节点注入功率Ps、 Qs，整个系统的功率平衡由该节点承担，一般选择系统中的主调频发电厂母线作为平衡节点。这类节点在计算中必不可少，但一般只有 1 个。第三节 高斯塞德尔法潮流计算一、高斯塞德尔迭代法设有 n 个联立的非线性方程f 1(x 1，x2，x n)=0f 2(x 1，x2，x n)=0f n（x 1，x2，x n）=0（4-32）x

50、1=g1（x 1， x2，x2=g2（x 1， x2， xn）， xn）xn=gn（x 1， x2， xn）（4-33）若已经求得各变量的第k 次迭代值 x1（k）、 x2（k）、 xn（k）, 则其第（ k+1 ）次迭代值为（k+1）（ k）x1= g 1（x 1 ，（k）x 2 ，（k） ， xn ）x（ k+1）= g （x （k+1），2 = g 2（x 1，x （k ）， x2， xn（k）解此方程组得x式（ 4-34 ）可缩写为（ k+1）（k+1） （ k+1）x i = g i（x1，x2，只要给出变量的初值 x1（ 0），x2（0），收敛条件： xi（k+1）- x i（k）<即可例 4-2 已知非线性方程组为k+1）（ k+1） （ k+1 ）= gn（x 1，x2，x i-1 （k+1），xi （ k），xn（0）就可按式（k+1），x n-1，x（k） ， xn）k）（i=1， 2， ， n）4-34）4-34 ）迭代计算，一直进行到所有变量都满足为预先给定的允许误差） 。