【精选】八年级上册全等三角形单元试卷(word版含答案)

1、-X八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1. 如图 1,在和中，AC=BC, AE=DE. ZACB=ZAED=90°.点 E 在 上, F是线段BD的中点，连接CE、FE.（1）请你探究线段CE与圧之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）：（2）将图1中的处D绕点人顺时针旋转，使处D的一边处恰好与"CB的边&C在同 一条直线上（如图2）,连接BD,取BD的中点F,问（1）中的结论是否仍然成立，并说 明理由；（3）将图1中的绕点4顺时针旋转任意的角度（如图3）,连接BD,取BD的中点 F,问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由.【答案】（1）线段CE与圧之间

2、的数量关系是CE=迈FE； （2） （1）中的结论仍然成 立.理由见解析；（3） （1）中的结论仍然成立.理由见解析【解析】【分析】（1）连接CF,直角ADEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF, ZFEB=ZFBE,同 理可得岀 CF=DF=BF, ZFCB=ZFBC,因此 CF=EF,由于ZDFE=ZFEB+ZFBE=2ZFBE,同理 ZDFC=2ZFBC,因此ZEFC=ZEFD+ZDFC=2 （ZEBF+ZCBF） =90°,因此AEFC 是等腰直角 三角形，CF=J EF；（2）思路同（2）也要通过证明AEFC是等腰直角三角形来求解.连接CF,延长EF交CB 于

3、点G,先证AEFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得岀此结论，那么就 要证明EF=FG,就需要证明ADEF和AFGB全等.这两个三角形中，已知的条件有一组对顶 角，DF=FB,只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DEBC,因此ZEDB=ZCBD,由 此构成了两三角形全等的条件.EF=FG,那么也就能得出ACFE是个等腰三角形了，下面证 明ACFE是个直角三角形.由上而的全等三角形可得出ED=BG=AD,又由AC=BC,因此 CE=CG, ZCEF=45°,在等腰ACFE中，ZCEF=45%那么这个三角形就是个等腰直角三角 形，因此就能得出（1）中的结论了：（3）思路同（

4、2）通过证明ACFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE,取AD的中 点M,连接EM, MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF.那么关键就是证明AMEF和 CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得岀EM=PN=丄AD, EC=MF=丄AB,我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结2 2论.我们知道PN是ABD的中位线，那么我们不难得岀四边形AMPN为平行四边形，那么 对角就相等，于是90。+ZCNF二90。+ZMEF,因此ZCNF=ZMEF,那么两三角形就全等T.证明ZCFE是直角的过程与（1）完全相同.那么就能得出ACEF是个等腰直角三角 形，于是

5、得出的结论与（1）也相同.【详解】（1）如图1，连接CF,线段CE与FE之间的数量关系是CE=JJfE:解法1：VZAED=ZACB = 90°.B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，T点F是BD的中点，°点F是圆心,AEF = CF = FD = FBt ZFCB=ZFBc, ZECF = ZCEF,由圆周角立理得：ZDCE=ZDBE, ZFCB+ZDCE=ZFBC+ZDBE=450ZECF=450=ZCEF,cef是等腰直角三角形，ACE= 2 EF解法2：易证 ZBED=ZACB = 90°,T点F是BD的中点，ACF = EF=FB = FDtVZDF

6、E=ZABD+ZBEF, ZABD=ZBEF,ZDFE = 2ZABDt同理 ZCFD = 2ZCBD,ZDFE+ZCFD=2 （ZABD+ZCBD） =90°,即 ZCFE = 90%CE= 2 EF（2）（1）中的结论仍然成立.VZACB=ZAED = 90% DE/7 BC,AZEDF=ZGBFt又VZEFD = ZGFB, DF=BF,EDFGBFtEF=GF, BG = DE=AE,VAC=BC,CE=CG,ZEFC = 90% CF = EF,.,.CEF为等腰直角三角形，AZCEF=45%CE=2 FE：解法2：如图2-2,连结CF、AF,VZBAD=Z BAC+ Z

7、DAE=45°+45°=90°, 又点F是BD的中点，AFA = FB = FD,而 AC=BC, CF=CF,ACFBCF, ZACF= ZBCF= 一 ZACB=45°,2VFA=FB, CA = CB,ACF所在的直线垂直平分线段AB, 同理，EF所在的直线垂直平分线段AD, 又DA丄BA,EF 丄 CF,cef为等腰直角三角形，ce= JJef (3) (1)中的结论仍然成立.图37图3-2囹3-3解法仁 如图3-1,取AD的中点M,连接EM, MF,取AB的中点N,连接FN、CN.CF,TDF = BF,AFM/AB,且 FM=-AB,2VAE

8、 = DE, ZAED = 90o,AM = EM, ZAME=90°,TCA=CB, ZACB = 90oACN=AN=-AB, ZANC=90%2MFAN, FM=AN = CNt四边形MFNA为平行四边形，/.FN=AM = EM, ZAMF=ZFNA,ZEMF= ZFNC,EMFFNC,FE = CF, ZEFM = ZFCNt由 MFAN, ZANC=90% 可得ZCPF = 90%ZFCN+ZPFC=90o,ZEFM+ZPFC=90ZEFC = 90%.,.CEF为等腰直角三角形，AZCEF=45%CE=2 FE 【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得岀线段的相等，如

9、果没有全等三角形的要根据已知 条件通过辅助线来构建.2. 已知OP平分ZAOB, ZDCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F,射线 CE交射线OB于点G.（1）如图1，若CD丄OA, CE丄OB,请直接写岀线段CF与CG的数量关系：（2）如图2,若ZAOB=I20e, ZDCE=ZAOC,试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理 由.【答案】（i） CF=CG; （2） CF=CG,见解析【解析】【分析】(1) 结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.结论：CF=CG,作CM丄OA于M CNdOB于N,证明 CMFCNG,利用全等三角形 的性质即可解决问题.【详解】解：(I)结

10、论：CF=CG;证明：VOP 平分ZAOB, CFdOA, CG丄0B,ACF=CG (角平分线上的点到角两边的距离相等)；(2) CF=CG理由如下:如图，过点C作CM丄0A, CN丄0B,VOP 平分ZAOB, CM丄0A, CN丄OB, ZAOB=420叫ACM=CN (角平分线上的点到角两边的距离相等)， ZAOC=ZBoC=609 (角平分线的性质),VZDCE= Z AOC, ZAOC= Z BOC= Z DCE=60, ZMCO=90-605 =305, ZNCO=9060 二30纭ZMCN=305+30=605t ZMCn=ZDCE,. ZMCF=ZMCN-ZDCN, ZNCG

11、=ZDCE-ZDCN> ZMCf=ZNCG,1MCF 和ANCG 中，ZCMF = ZCNG< CM = CN乙 MCF =乙 NCG.,.MCFNCG (ASA),ACF=CG (全等三角形对应边相等)：【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握 角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等.3. 如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE, PE 交 CD 于 F（1）证明：PC=PE;（2）求ZCPE的度数：（3）如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当Z ABC=I20。时

12、，连接【答案】(1)证明见解析(2) 90° (3) AP=CE【解析】【分析】、根据正方形得出AB=BC, ZABP=ZCBP=45°,结合PB=PB得岀 ABP CBP,从而得 出结论：、根据全等得出ZBAP=ZBCP, ZDAP=ZDCPt根据PA=PE得出ZDAP=ZE,即 ZDCP=ZE,易得答案；(3)、首先证明AABP和ACBP全等，然后得出PA=PC,ZBAP=ZBCP,然后得出ZDCP=ZE>从而得出ZCPF=ZEDF=60%然后得出AEPC是等边三 角形,从而得岀AP=CE.【详解】、在正方形 ABCD 中，AB=BCt ZABP=ZCBP=45%

13、在ZkABP 和ACBP 中，又 V PB=PB ABPCBP (SAS) , PA=PC. VPA=PE> PC=PE;(2) 、由(1知.ABPCBP, . ZBAP=ZBCp, ZDAP=ZDCP,VPA=PE, . ZDAP=ZE> ZDCP=ZE. VZCFP=ZEFD (对顶角相等)，180° - ZPFC - ZPCF=I80° - ZDFE - ZE, 即ZCPF=ZEDF=90°：(3) 、AP = CE理由是：在菱形 ABCD 中，AB=BCt ZABP=ZCBPt在AABP 和ACBP 中，又T PB=PB ABPCBP (SAS

14、),PA=PCt ZBAP=ZDCPtVPA=PE, A PC=PE, AZDAP=ZDCPt V PA=PC ZDAP=ZE, AZDCP=ZE VZCFP=ZEFD (对顶角相等),180° - ZPFC- ZPCF=I80° - ZDFE - ZE, 即ZCPF=ZEDF=I80° - ZADC=I80° - 120o=60o, EPC 是等边三角形，PC=CE, AAP=CE考点：三角形全等的证明4. 如图，AB=12cn AC 丄 AB. BD 丄 AB, AC=BD=9cm,点 P 在线段 AB 上以 3 cm/s 的 速度，由A向B运动，同

15、时点Q任线段BD上由B向D运动.(1) 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间AI (S) , ACP与ABPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；(2) 将Ae丄AB, BD丄AB''改为“ZCAB=ZDBA”，英他条件不变若点Q的运动 速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使AACP与ABPQ全等.(3) 在图2的基础上延长AC, BD交于点E,使C, D分别是AE, BE中点，若点Q以(2)中的运动速度从点B岀发，点P以原来速度从点A同时岀发，都逆时针沿AABE三 边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇.2【

16、解析】【分析】(1) 利用SAS证得AACP旻厶BPQ,得出ZACP=ZBPCb进一步得岀Z APC+Z BPQ=Z APC+Z ACP=90o得岀结论即可：(2) 由AACPZ 4 BPQ,分两种情况：AC=BP I AP=BQ rAC=BQ r AP=BP,建立方程组 求得答案即可.(3) 因为Vq<Vp,只能是点P追上点Q,即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列岀方 程，解这个方程即可求得.【详解】(1) 当 t=l 时,AP=BQ=3 z BP=AC=9 ,又 T ZA=Z B=90o ,AP = BQ在AACP 与厶BPQ 中，ZA = Z ,AC = BP ACP BPQ

17、( SAS ) f ZACP=ZBPQJ ZAPC+ZBPQ=ZAPC+ZACP二90° ,ZCPQ=90° ,则线段PC与线段PQ垂直.(2) 设点Q的运动速度X,若ACP a BPCb 则 AC=BP , AP=BQ ,-9 = 12-/<t =Xt/ = 3解得<x = l若AACP旻 BPQ,则 AC=BQ r AP=BP I9 = Xt = 12-r7 = 6 解得43 ,X =2 = 3 P = 6综上所述，存在 < ,或<3使得AACP与ABPQ全等.x=l X=-2（3）因为Vq<Vp,只能是点P追上点Q,即点P比点Q多走PB+

18、BQ的路程，设经过X秒后P与Q第一次相遇，VAC=BD=9cn C, D 分别是 AE, BD 的中点：: EB=EA=I 8cm 当VQ=I时，依题总得3×=x+2×9 f解得x=9 ；3当Vq=-时，23依题意得3×=-×+2×9 z2解得×=12.故经过9秒或12秒时P与Q第一次相遇.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.P为线段ABh的一点(1) 如图1，若P为43的中点，点M . N分别是Q4、OB边上的动点，且保持 AM=ON ,则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之

19、间的位置关系与数量 关系，并说明理由.(2) 如图2,若P为线段AB上异于A、3的任意一点，过B点作BD丄OP,交OP、 OA分别于F、D两点，E为04上一点，且ZPEA = ZBDO,试判断线段OD与AE的 数量关系，并说明理由.【答案】(1)PM=PN, PM丄PN,理由见解析；(2) OD=AE,理由见解析【解析】【分析】(1) 连接0P.只要证明P0NPAM即可解决问题：(2) 作AG丄X轴交OP的延长线于G. DBOGOAt推出0D=AG, ZBDO=ZG,再 证明aPAE82PAG即可解决问题：【详解】(1) 结论：PM=PN, PIvl丄PN理由如下：如图1中，连接OP.VA.

20、B 坐标为(6, 0)、(Ot 6),0B=0A=6, ZAOB=90P为AB的中点，1AOP=-AB=PB=PA, OP±AB, ZPON=ZPAM=45°,2ZOPA=90ot在APON 和ZiPAM 中，ON = AM-ZPON = ZPAM ,OP = APPONPAM (SAS),PN=PM, ZOPN=ZAPM, ZNPM=ZOPa二90°,PM丄PN, PM=PN.(2) 结论：OD=AE.理由如下：如图2中，作AG丄X轴交OP的延长线于G.VBD 丄 OP, ZOAG= ZBOD=ZOFD=90°,ZODF+ZAOG=90o, ZoDF+

21、ZOBD二90°, ZAOG=ZDB0.VOB=OA,DBOGOA,OD=AG, ZBDO=ZG>VZBDO= Z PEA, ZG=ZAEP, 在ZkPAE 和APAG 中,ZAEP = ZG< ZPAE = ZPAG,AP = APPAEPAG (AAS), AE=AGtAOD=AE 【点睛】團1團2考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判立和性质、坐标与图形性质、直角三角形 的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.6. 在BC中，AB = AC,点D任BC边上,且ZADB = 60o. E是射线DA上一动点（不与点D重合，且DADB在射

22、线Z）B上截取D" = DE,连接EF（1）当点E在线段AD t时， 若点E与点A重合时，请说明线段BF = DC ： 如图2,若点E不与点A重合，请说明BF = DC + AE；图2备用图当点E在线段DA的延长线上（DE> DB）时，用等式表示线段AE.BF.CD之间的数 量关系（直接写出结果，不需要证明）.【答案】（I）证明见解析：证明见解析；（2） BF=AE-CD【解析】【分析】（1）根据等边对等角，求到ZB = ZC,再由含有60"角的等腰三角形是等边三角形得 到ADF是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到ZAFB = ZADC = I2

23、0。，推出AABFAACD,根据全等三角形的性质即可得岀结论：过点A做AG/7 EF交BC于点G,由ADEF为等边三角形得到DA=DG,再推出AE = GF, 根据线段的和差即可整理出结论：（2）根据题意画出图形，作出AG,由（1）可知，AE=GF, DC=BG,再由线段的和差和等 量代换即可得到结论.【详解】（1）证明：.AB = AC. ZB = ZC. DF = DE、ZADB = 60°,且 E 与 A 重合，. AADF是等边三角形. ZADF = ZAFD = 60°:.ZAFB = ZADC = 20Q在ABF和MCD中ZAFB = ZADC< ZB =

24、 ZCAB = AC:.MBFMCD:.BF = DC如图2,过点A做AGEF交BC于点G,BGF D C 图2V ZADB=60o DE = DFDEF为等边三角形T AG EF ZDAG= ZDEF = 60°, ZAGD=ZEFD = 60°ZDAG= ZAGD DA=DGDA-DE = DG-DF,即 AE=GF由易证厶AGBADC BG = CD.BF = BG+GF = CD + AE(2) 如图3,和(1)中相同，过点A做AG/7EF交BC于点G,由(2)可知，AE=GF, DC=BG,.BF+CD = BF + BG = GF = AE故 BF = AE-C

25、D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判左和性 质，正确的作出辅助线是解题的关键.7. 如图1,在MBC中，ZACB = 90 , AC = BC,直线MN经过点C,且AD丄伽 于点D, BE丄MN于点E.易得DE = AD+BE (不需要证明).(1) 当直线AW绕点C旋转到图2的位程时，其余条件不变，你认为上述结论是否成 立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时D£、AD. BE之间的数量关系，并 说明理由：(2) 当直线MN绕点C旋转到图3的位苣时，英余条件不变，请直接写出此时DE、AD. BE之间的数量关系(不需要证明).【答

26、案】不成立，DE=AD-BE,理由见解析:(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1) DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE.由垂直的性质可得到ZCAD=ZBCE,证得ACDCBE,得到 AD=CE, CD=BE,即有 DE=AD-BE；(2) DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD.证明的方法与(1)一样.【详解】不成立.DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE,理由如下：如图，AC = CB, ZACD+ZCAD=90o , 又ZACD+ZBCE=90o , ZCAd=ZBCE, 在Zacd 和 Acbe 中，VADC = ZCEB = 90°<

27、 ZCAD = ZBCEAC = CB Aacd 仝 ZkCBE(AAS), AD=CE, CD=BEf ADE=CE-CD=Ad-BE:(2)结论：DE=BE-AD. ZACD+ZCAD=90° ,又 ZACD+ZBCE二90° ,AD 丄 CE,AC = CB,AZCAD=ZBCEt在Aacd和Acbe中，AADC = ACEB = 9QqZCAD = ZBCEAC = CBADCCEB(AAS),AD=CE, DC=BEtADE=CD-CE=BE-Ad 【点睛本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判左与性质，旋转前后两图形全等，对应点到 旋转中心的距离相等，对应点与旋

28、转中心的连线段所夹的角等于旋转角.BD与EC交于点F，则ZBFE的度数是度；如图，» E分别是边ACf BA延长线上的点，且AE = CD, BD与EC的延长线交于点、F，此时Z3FE的度数是度；（2）如图，在AABC中，AC = BC, ZACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D, E分别在AC, OA的延长线上，且AE = Cr>, BD与EC的延长线 交于点若ZACB = a.求ZBFE的大小（用含法的代数式表示）【答案】(1) 60；(2) 60；(3) ZBFE = a【解析】【分析】(1) 只要证明 ACECBD,可得ZACE=ZCBD,推出ZBFE

29、=ZCBD+ZBCF二ZACE+ZBCF =ZBCA二60° :只要证明 ACECBD,可得ZACE=ZCBD=ZDCF.即可推出ZBFE=ZD+ZDCF=ZD+ZCBD=ZBCA=60° :(2) 只要证明厶AECCDB,可得ZE=ZD,即可推岀ZBFE=ZD+ Z DCF= Z E+ Z ECA= Z OAC= 【详解】阁VABC是等边三角形，AC=CB, ZA=ZBCD=60° ,VAE=CD,ACE 竺 ZkCBD, ZACE=ZCBD, ZBFE=ZCBD+ZBCF=ZACE+ZBCF=ZBCA二60° 故答案为60：如图，图VABC是等边三角

30、形，AC=CB, ZA=ZBCD=60 ,ZCAE= Z BCD=r 120°VAE=CD,ACECBD. Zace=ZCBD=ZDCF, ZBFE=ZD+ZDCF=ZD+ZCBD=ZBCA=60o .故答案为60；（2）如图中，图点O是人C边的垂直平分线与BC的交点,:.OC = OA , :.ZOAC = ZACO = a :.ZEAC = ADCB = S0o-a,V AC = BC, AE = CD,AEC 三 CDB, ZE = ZD,. ZBFE = ZD+ZDCF = ZE+ZECA = ZOAC = a.【点睛】本题考査全等三角形的判左和性质和等腰三角形的性质和判定以

31、及等边三角形的性质、线 段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.9. 操作发现：如图，已知"BC和"DE均为等腰三角形，AB=AC, AD=AE,将这两个三 角形放置在一起，使点B, D, E在同一直线上，连接CQ图2（1）如图 1,若ZABC= ZACB= ZADE= ZAED=SS 求i正：'BADJbCAE;（2）在（1）的条件下，求Z8EC的度数：拓广探索：（3）如图2,若ZCAB=ZEAD=I20 BD=4, CF为'BCE中BE边上的高，请 直接写出FF的长度.【答案】（2）见解析：（2） 70°；（3） 2

32、【解析】【分析】（1）根据SAS证明ABAD9kCAE即可.（2）利用全等三角形的性质解决问题即可.（3）同法可证厶BADCAE,推出 EC=BD=4,由ZBEC=ZBAC=I20% 推出ZFCE=30°即可 解决问题.【详解】（I）证明：如图1中， Z ABC=A ACB = A ADE=Z AED9：.Z EAD=Z CAB,：.Z EAC=A DAB,. AE=AD. AC=AB9 BAD 厶 CAE (SAS).(2)解：如图1中，设AC交BE于0'： ABC=A ACB = 55：.Z BAC=I80Q - 110o = 70% . A BAD 厶 CAE,. Z

33、ABo=Z ECOfT Z EoC=Z A0B. Z CEo = Z 340=70°, 即 Z BEC= 70。(3)解：如图2中，图2 Z CAB = EAD = I20% Z BAD=A CAE9:AB=AC. AD=AE. BAD 厶 CAE (SAS),乙 BAD=ZACE, BD=FC=4, 同理可证Z BEC=Z BAC=I20 Z FEC= 60°, CF丄 EF, Z F= 90°, Z FCF= 30°,2【点睛】本题属于三角形综合题，考査了全等三角形的判立和性质等知识，解题的关键是正确寻找 全等三角形解决问题，属于中考常考题型10. 如图，AABC是等边三角形，点Z）在边AC ± （“点D不与AC重合），点E是射 线BC上的一个动点（点E不与点SC重合）,连接DE,以DE为边作作等边三角形HDEF 连接CF（1）如图1，当DE的延长线与43的延长线相交，且CF在直线DE的同侧时，过点D 作 DG/AB DG 交 BC 于点 G ,求证：CF = EG;(2)