2013年全国中考数学压轴题解析汇编03(粤闽桂海川滇黔省会)

1、2013年全国数学中考压轴题解析汇编03（粤闽桂海川滇黔省会）【2013广州24题】已知AB是O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.（1）当OC=时，求证：CD是O的切线；（2）当OC时，CD所在直线于O相交，设另一交点为E，连接AE. 当D为CE中点时，求ACE的周长； 连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AEED的值；若不存在，请说明理由。解：（1）连接OD。AB是O的直径，AB=4OA=OB=OD=2 OD2=4OA=CDCD=2 CD2=4OC= OC2=8OC2=OD2+CD2OD

2、C是直角三角形，且ODC=90ODCDCD是O的切线（2） 连接OE、OD。D为CE的中点 DE=CDCD=OA=2，OA=OD=OEDE=OD=OE=2ODE是等边三角形 DOE=ODE=60CD=OD=2 DOC=OCDODE=DOC+OCD=60DOC=OCD=30过点D作DFOC于F则OF=CF=ODcosDOC=2=OC=OF+CF=2DOC=30，DOE=60 AOE=90AE=ACE的周长=AE+DE+CD+OC+OA=+2+2+2+2=+2+6 存在四边形AODE为梯形。由题意知，当ODAE时，四边形AODE为梯形。由对称性知，存在两个这样的梯形，即在AC的上下方各一个。ODA

3、E DOC=EAOODC、AOE是等腰三角形又OA=OE=OD=CD=2ODCAOE OC=AE设OC=AE=m(m)，则AC=m+2ODAE ，即m2-2m-4=0解得m=或(舍去)AE=DOC=EAO=OCDCE=AEED=CE-CD=AE-CD=-2=AEED=()()=4【2013广州25题】已知抛物线y1=过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限。（1）使用a、c表示b;（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C()，求当x1时y1的取值范围。解：（1）抛物线过点A（1，0）a+b+c=0b=-a-c（2）点B在第四象限

4、。理由如下：当y1=0时，ax2+bx+c=0由韦达定理得，x1x2=ac x1x21抛物线过点A（1，0）1是方程的根，令x1=1x21抛物线与x轴有两个交点抛物线不经过第三象限抛物线开口向上，即a0顶点B在第四象限（3）点C在抛物线上b+8=a()2+b+c=b=-8a+c=8点C在直线y2=2x+m上m=-顶点B的坐标为（-，）即B（，），且在直线y2上=-由解方程组得： 或 aca=2，c=6抛物线的解析式为y1=2x2-8x+6易知A（1，0）和C（3，0）是抛物线与x轴的交点，顶点B坐标为（2，-2）抛物线开口向上当x1时，y1的取值范围为y1-2【2013福州21题】如图，等腰梯

5、形ABCD中，ADBC，B=45，P是BC边上一点，PAD的面积为，设AB=，AD=（1）求与的函数关系式；（2）若APD=45，当时，求PBPC的值；（3）若APD=90，求的最小值。解：（1）过点A作AEBC于E。B=45，AB=xAE=ABsinB=xAD=y，SAPD=SAPD=ADAE=yx =y关于x的函数关系式为y=（2）APD=45APB+DPC=135B=45，ADBCBAD=180-B=135BAP+PAD=135ADBCPAD=APBBAP+APB=135BAP=DPC四边形ABCD是等腰梯形B=C，AB=CDABPPCD，即PBPC=ABCDy=1 x=AB=CD=PB

6、PC=2（3）取AD的中点F，连接FP，过点P作PHAD于H，则PFPH。当PF=PH时，PF有最小值APD=90，点F为AD的中点PF=AD=yPH=AE=x当y=x时，PF有最小值，即y有最小值y=，即x=y=，得y2=2y0y=，即y的最小值为【2013福州22题】我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y1=ax2+bx(a0) （1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a=_；当顶点坐标为（m，m），m0时，a与m之间的关系式是_（2）继续探究，如果b0，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k0)上，请用含k的代数式表示b；（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，An在

7、直线y=x上，横坐标依次为1，2，n（n为正整数，且n12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长。解：（1）当顶点为（1，1）时，则有-=1，a+b=1a=-1当顶点为（m，m）时，则有-=m，am2+bm=m消去b后即得：am+1=0（2）由抛物线顶点坐标公式可得，过原点的抛物线的顶点坐标为（-，）顶点在直线y=kx(k0)上-=a0，b0b=2k（3）顶点An在直线y=x上由(2)可知，b=2抛物线解析式为y=ax2+2x由题意可设，An坐标为（n，n），并设点Dn所

8、在的那条抛物线的顶点坐标为（m，m）由(1)可知，a=-这条抛物线的解析式为y=-x2+2x四边形AnBnCnDn是正方形，AnBnx轴，且CnDn在AnBn右侧点Dn的坐标为（2n，n）n=(2n)2+22n得4n=3mm、n都是正整数，且m12，n12n=3或6或9满足条件的正方形的边长为3或6或9【2013成都27题】如图，O的半径r=25，四边形ABCD内接于O，ACBD于点H，P为CA延长线上一点，且PDA=ABD。（1）试判断PD与O的位置关系，并说明理由；（2）若tanADB=，PA=AH，求BD的长；（3）在(2)的条件下，求四边形ABCD的面积。解：（1）PD与O相切。理由如

9、下：连接DO延长交O于E，连接AE。DE是O的直径DAE=90ADE+AED=90PDA=ABD，ABD=AEDADE+PDA=90PDE=90，即PDDEPD与O相切（2）连接BE。ACBDAHD=90tanADB= DH=AHPA=AH PH=PA+AH=AH在RtPHD中，tanP=P=30P+PDH=90，PDH+BDE=90BDE=30DE是O的直径 DBE=90DE=2r=50BD=DEcosBDE=50=25（3）过点O作OFAC于F，作OGAB于G，则四边形OFHG是矩形FH=OG由(2)可得，FH=OG=OD=OFAC AC=2AF=2AH+25由tanADB=，设AH=3m

10、，DH=4m则AC=6m+25，PA=(4-3)mPC=AC+PA=(4+3)m+25在RtPHD中，P=30PD=2DH=8mPD是O的切线，PAC是O的割线PD2=PAPC64m2=(4-3)m(4+3)m+25解得m=0(舍去)或4-3AC=6m+25=24+7S四边形ABCD=ACBD=(24+7)25=900+【2013成都28题】在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限。（1）如图，若该抛物线经过A、B两点，求抛物线的函数表达式；（2）平移(1)中的抛物

11、线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q。 若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标； 取BC的中点N，连接NP，BQ。试探究是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由。解：（1）由题图知，点B坐标为（4，-1），则 解得抛物线的函数表达式为y=-x2+2x-1（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，则 解得直线AC的解析式为y=x-1设顶点P的坐标为（m，m-1），则平移后的抛物线解析式为y=-(x-m)2+m-1联立y=x-1可得，点Q坐标为（m-2，m-3） 当MP

12、Q是等腰直角三角形时，存在如下三种情况，如图：一、当PM=PQ且P=90时，此时，点M的坐标为（m+2，m-3）点M在抛物线y=-x2+2x-1上m-3=-(m+2)2+2(m+2)-1，即m2+2m-8=0解得m=2或-4 M（4，-1）或（-2，-7）二、当MP=MQ且M=90时，此时，点M的坐标为（m，m-3），则m-3=-m2+2m-1，即m2-2m-4=0解得m=1+或1-(舍去)M（1+，-2+）或（1-，-2-）三、当QM=QP且Q=90时，此时，点M的坐标为（m，m-5），则m-5=-m2+2m-1，即m2-2m-8=0解得m=4或-2 M（4，-1）或（-2，-7）故，符合条

13、件的点M的坐标为（4，-1）、（-2，-7）、（1+，-2+）、（1-，-2-）P（m，m-1），Q（m-2，m-3）PQ=2当NP+BQ有最小值时，有最大值N是BC的中点 N（4，1），BN=2为定值当四边形BNPQ的周长最小时，NP+BQ最小取点B关于直线AC的对称点B(0，3)，取AB的中点D(2，-1)，连接BD交AC于Q，过点N作NPBD交AC于P，连接DN，如图。易证得PQDN，PQ=DN四边形DNPQ是平行四边形 NP=DQBQ=BQ NP+BQ=DQ+BQ点B、Q、D在同一直线上NP+BQ=BD有最小值易得NP+BQ=BD=2的最大值为【2013贵阳24题】在ABC中，BC=a

14、，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，ABC是直角三角形；当a2+b2c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究ABC的形状（按角分类）。（1）当ABC的三边长分别为6，8，9时，ABC为 三角形；当ABC的三边长分别为6，8，11时，ABC为 三角形；（2）猜想：当a2+b2 c2时，ABC为锐角三角形；当a2+b2 c2时，ABC为钝角三角形；（3）判断当a=2，b=4时，ABC的形状，并求出对应的c的取值范围。解：（1）如图，ABC为直角三角形，CA=6，BC=8，AB=10。以点C为圆心，6为半径画弧；以点B为圆心，9为半径画弧，两弧相交于点A，连接AC、A

15、B，得到三边长分别为6，8，9的ABC。显然，ABC是 锐角 三角形以点C为圆心，6为半径画弧；以点B为圆心，11为半径画弧，两弧相交于点A，连接AC、AB，得到三边长分别为6，8，11的ABC。显然，ABC是 钝角 三角形（2）由(1)可以猜想得到：当a2+b2 c2时，ABC为锐角三角形当a2+b2 c2时，ABC为钝角三角形（3）根据构成三边长构成三角形的条件知：a+bc c6b-ac c22c6a=2，b=4a2+b2=20当c2=20时，a2+b2=c2，ABC是直角三角形，此时，c=2当c220时，a2+b2c2，ABC是锐角三角形，此时，0c2则c的取值范围为2c2当c220时，

16、a2+b2c2，ABC是钝角三角形，此时，c2则c的取值范围为2c6【2013贵阳25题】如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：y=-x+4与x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移。（1）在平移过程中，得到A1B1C1，此时顶点A1恰好落在直线l上，写出A1点的坐标 ；（2）继续向右平移，得到A2B2C2，此时它的外心P恰好落在直线l上，求P点的坐标；（3）在直线l上是否存在这样的点，与(2)中的A2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形。如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由。解：（1）过A1作x轴的垂线，垂足为

17、D。则A1D=A1B1sin60=3=点A1恰好落在直线l上当y=时，=-x+4，得x=4-A1点的坐标为（4-，）（2）过A2作x轴的垂线，垂足为E；过点B2作A2C2的垂线，垂足为F。由等边三角形性质可知，A2E与B2F的交点就是A2B2C2的外心P。B2E=B2C2=，PB2E=30PE=B2Etan30=点P恰好落在直线l上当y=时，=-x+4，得x=4-P点的坐标为（4-，）（3）存在满足题述条件的点。由直线l得，OM=4，ON=4，易得OMN=30在(2)的条件下，点C2与点M重合点P是A2B2C2的外心，且在直线l上PA2=PB2=PC2点P（4-，）是满足条件的点以A2B2为边

18、，在A2B2C2的另一侧作等边A2B2Q1，因为直线lA2B2，所以点Q1在直线l上，显然点Q1是满足条件的点。过点Q1作Q1H1x轴于H1，易得Q1H1=，由(1)知，点Q1与点A1重合，坐标为（4-，）以C2为圆心，3为半径画圆，与直线l交于Q2、Q3，显然点Q2、Q3是满足条件的点。过点Q2作Q2H2x轴于H2，易得Q2H2=，C2H2=，Q2的坐标为(，-)过点Q3作Q3H3x轴于H2，易得Q3H3=，C2H3=，Q3的坐标为(，)故，满足条件的点的坐标为（4-，）、（4-，）、(，-)、(，)【2013昆明22题】已知：如图，AC是O的直径，BC是O的弦，点P是O外一点，PBA=C。

19、（1）求证：PB是O的切线；（2）若OPBC，且OP=8，BC=2，求O的半径。解：（1）连接OB。AC是O的直径ABC=90OBA+OBC=90OB=OCOBC=COBA+C=90PBA=CPBA+OBA=90OBP=90OBPBPB是O的切线（2）令OP与AB交于点DOPBC，OA=OC，BC=2AD=BD，OD=BC=1OP=8PD=OP-OD=7ABC=90，即ABBC，且OPBCBDOPOBP=90BD2=ODPD(射影定理)AD=BD=OA=O的半径为【2013昆明23题】如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛

20、物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D。（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。解：（1）由题意得，A（4，0），C（0，3），B（4，3）抛物线经过O、A两点可设抛物线的解析式为y=ax(x-4)抛物线的顶点在BC边上由抛物线和矩形的对称性可知，顶点E为BC的中点，点E坐标为（2，3）将点E坐标代入解析式可求得a=-抛物线的解析式为y=-x2+3x（2）设直线AC的解析为y=kx+b，则 解得k=-，b=3直线AC的解析式为

21、y=-x+3则，解方程组得： 或 （此为点A）点D坐标为（1，）（3）存在。 过点D作DMx轴交抛物线于M，在x轴上取AN=DM，则四边形ANMD是平行四边形易得DM=2，则AN=2当点N在点A右侧时，点N坐标为（6，0）当点N在点A左侧时，点N坐标为（2，0） 向左平移AC，与x轴交于点N3，与抛物线交于点M，当MN3=AD时，四边形ADN3M是平行四边形。过点D作DHx轴于H，过点M作MKx轴于K，易证得AHDN3KMMK=DH=，N3K=AH=3点M在x轴下方点M的纵坐标为-由-x2+3x =-得x=2+或2-当x=2+时，MN3AD，故舍去点M的坐标为(2-，-)点K的坐标为(2-，0

22、)N3K=3点N3的坐标为(-1-，0)综上所述，存在以A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为(-1-，0)或（2，0）或（6，0）【2013南宁25题】如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC，AB是O的直径，O交BC于点D，DEAC于点E，BE交O于点F，连接AF，AF的延长线交O于点P。（1）求证：DE是O的切线；（2）求tanABE的值；（3）若OA=2，求线段AP的长。解：（1）连接AD，OD。AB是O的直径ADB=90ADBCBAC=90，AB=ACABC是等腰直角三角形点D是BC的中点DEAC，BAACDEBA点E是AC的中点DE=AB=OADEOA四边形AOD

23、E是平行四边形OAE=90，OA=OD四边形AODE是正方形ODDEDE是O的切线（2）四边形AODE是正方形AE=OA=ABtanABE=（3）AB是O的直径AFB=90ABE+FAB=90FAB+PAE=BAC=90PAE=ABEtanPAE=tanABE=tanPAE=，且AE=OA=2PE=1AP=【2013南宁26题】如图，抛物线y=ax2+c(a0)经过C（2，0），D（0，-1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点。直线l过点E（0，-2）且平行与x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N。（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究： 当k=0时，

24、直线y=kx与x轴重合，求出此时的值； 试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数。解：（1）抛物线过C（2，0），D（0，-1）两点 解得a=，c=-1抛物线的解析式为y=x2-1（2）设点A坐标为(m，m2-1)，则OA2=m2+(m2-1)2=m4+m2+1由题意得，AM=m2-1+2=m2+1AM2=(m2+1)2=m4+m2+1OA2=AM2OA=AM（3） 由y=x2-1=0得x=-2或2当k=0时，A（-2，0），B（2，0）AM=2，BN=2=1 由x2-1=kx得，x2-4kx-4=0设A的坐标为(m，km)，B的坐标为(n，kn)由韦达定理得，m+n=4k，mn=-4由题意得

25、，AM=km+2，BN=kn+2=1=1，与k无关无论k取何值，的值都等于同一个常数，此常数为1.【2013海南23题】如图1，点P是正方形ABCD的边CD上的一点（点P与点C、D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP、DE。（1）求证：BCPDCE；（2）如图2，直线EP交AD于点F，连接BF、FC，点G是FC与BP的交点。 当CD=2PC时，求证：BPCF； 当CD=nPC（n是大于1的实数）时，记BPF的面积为S1，DPE的面积为S2，求证：S1=(n+1)S2.解：（1）ABCD是正方形BC=DC，BCP=DCE=90CE=CPBCPDCE（SAS）（2） CD=2PC

26、P是CD的中点PD=PCPDF=PCE=90，FPD=EPCPDFPCEDF=CEDF=CPBC=CD，BCP=CDF=90BCPCDFPBC=FCDPBC+BPC=90FCD+BPC=90CGP=90BPCE 因为CD=nPC，不妨设PC=m则CE=m，CD=AD=AB=nm，DP=(n-1)mSDPE=DPCES2=(n-1)mm=(n-1)m2CP=CEPCE是等腰直角三角形FPD=CPE=45PDF是等腰直角三角形DF=DP=(n-1)mSPDF=DFDP=(n-1)2m2AF=AD-DF=nm-(n-1)m=mSABF=ABAF=nmm=nm2S梯形ABPD=(AB+DP)AD=nm+(n-1)mnm=(2n2-n) m2S1= SBPF= S梯形ABPD-SABF-SPDF=(