【三维设计】2014届高考数学一轮复习_(基础知识+高频考点+解题训练)二次函数与幂函数教学案

1、第六节二次函数与幂函数知识能否忆起一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)二、二次函数1二次函数的定义形如f(x)ax2bxc(a0)的函数叫做二次函数2二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函数的图象和性质a>0a<0图象图象特点对称轴：x；顶点：性质定义域xR值域yy奇偶性

2、b0时为偶函数，b0时既非奇函数也非偶函数单调性x，时递减，x，时递增x时递增，x时递减小题能否全取1若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是()Af(x)x21Bf(x)5x2Cf(x)x2 D f(x)x2解析：选D形如f(x)x的函数是幂函数，其中是常数2(教材习题改编)设，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有值为()A 1,3 B1,1C1,3 D1,1,3解析：选A在函数yx1，yx，yx，yx3中，只有函数yx和yx3的定义域是R，且是奇函数，故1,3.3(教材习题改编)已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是()A. B.C . D.解析：选C由

3、题意知即得a>.4(教材习题改编)已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为_解析：设幂函数的解析式为yx，则3，得2.故yx2.答案：yx25如果函数f(x)x2(a2)xb(xa，b)的图象关于直线x1对称，则函数f(x)的最小值为_解析：由题意知得则f(x)x22x6(x1)255.答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点2与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2bxc>0，a0恒

4、成立的充要条件是(2)ax2bxc<0，a0恒成立的充要条件是注意当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况幂函数的图象与性质典题导入例1已知幂函数f(x)(m2m1)x5m3在(0，)上是增函数，则m_.自主解答函数f(x)(m2m1)x5m3是幂函数，m2m11，解得m2或m1.当m2时，5m313，函数yx13在(0，)上是减函数；当m1时，5m32，函数yx2在(0，)上是增函数m1.答案1由题悟法1幂函数yx的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)的正负：>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；<0时，图象不过原点，在第

5、一象限的图象下降(2)曲线在第一象限的凹凸性：>1时，曲线下凸；0<<1时，曲线上凸；<0时，曲线下凸2在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键以题试法1(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是()Ayx，yx2，yx，yx1B yx3，yx2，yx，yx1Cyx2，yx3，yx，yx1Dyx，yx，yx2，yx1解析：选B由图知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R，当x>0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(2013·淄博模拟)若a<0，则

6、下列不等式成立的是()A2a>a>(0.2)aB (0.2)a>a>2aC.a>(0.2)a>2a D2a>(0.2)a>a解析：选B若a<0，则幂函数yxa在(0，)上是减函数，所以(0.2)a>a>0.所以(0.2)a>a>2a.求二次函数的解析式典题导入例2已知二次函数f(x)有两个零点0和2，且它有最小值1.(1)求f(x)解析式；(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式自主解答(1)由于f(x)有两个零点0和2，所以可设f(x)ax(x2)(a0)，这时f(x)ax(x2)a(x1)2a

7、，由于f(x)有最小值1，所以必有解得a1.因此f(x)的解析式是f(x)x(x2)x22x.(2)设点P(x，y)是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点P(x，y)必在f(x)图象上，所以y(x)22(x)，即yx22x，yx22x，故g(x)x22x.由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法以题试法2设f(x)是定义在R上的偶函数，当0x2时，yx，当x>2时，yf(x)的图象是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分(1)求函数f(x)在(，2)

8、上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为ya(x3)24，将(2,2)代入可得a2，则y2(x3)24，即x>2时，f(x)2x212x14.当x<2时，即x>2.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)2×(x)212x14，即f(x)2x212x14.所以函数f(x)在(，2)上的解析式为f(x)2x212x14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(，4二次函数的图象与性质典题导入例3已知函数f(x)x22ax3，x

9、4,6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数自主解答(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6所以f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.故a的取值范围为(，64，)本例条件不变，求当a1时，f(|x|)的单调区间解：当a1时，f(x)x22x3，则f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6，且f(x

10、)故f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法以题试法3(2012·泰安调研)已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，则a的值为_解析：f(x)(xa)2a2a1，当a>1时，ymaxa；当0a1时，ymaxa2a1；当a0时，ymax1a.根据已知条件或或解得a2或a1.答案：2或1二次函数的综合问题典题导入例4(2012·衡

11、水月考)已知函数f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在xR使f(x)<b·g(x)，求实数b的取值范围；(2)设F(x)f(x)mg(x)1mm2，且|F(x)|在0,1上单调递增，求实数m的取值范围自主解答(1)xR，f(x)<bg(x)xR，x2bxb<0(b)24b>0b<0或b>4.故b的取值范围为(，0)(4，)(2)F(x)x2mx1m2，m24(1m2)5m24.当0，即m时，则必需m0.当>0，即m<或m>时，设方程F(x)0的根为x1，x2(x1<x2)若1，则x10，即m2；若0，则x20，即1m.综上

12、所述，m的取值范围为1,02，)由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法以题试法4若二次函数f(x)ax2bxc(a0)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间1,1上，不等式f(x)>2xm恒成立，求实数m的取值范围解：(1)由f(0)1，得c1.即f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，则a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，所以解得

13、因此，f(x)x2x1.(2)f(x)>2xm等价于x2x1>2xm，即x23x1m>0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m1>0得，m<1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)1已知幂函数f(x)x的部分对应值如下表：x1f(x)1则不等式f(|x|)2的解集是()Ax|0<xBx|0x4Cx|x Dx|4x4解析：选D由f，即f(x)x，故f(|x|)2|x|2|x|4，故其解集为x|4x42已知函数yax2bxc，如果a&g

14、t;b>c且abc0，则它的图象可能是()解析：选Da>b>c，且abc0，a>0，c<0.图象开口向上与y轴交于负半轴3已知f(x)x，若0<a<b<1，则下列各式中正确的是()Af(a)<f(b)<f<fBf<f<f(b)<f(a)Cf(a)<f(b)<f<fDf<f(a)<f<f(b)解析：选C因为函数f(x)x在(0，)上是增函数，又0<a<b<<，故f(a)<f(b)<f<f.4已知f(x)x2bxc且f(1)f(3)，则(

15、)Af(3)<c<f Bf<c<f(3)Cf<f(3)<c Dc<f<f(3)解析：选D由已知可得二次函数图象关于直线x1对称，则f(3)f(5)，cf(0)f(2)，二次函数在区间(1，)上单调递增，故有f(3)f(5)>f>f(2)f(0)c.5设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是()A(，0 B2，)C(，02，) D0,2解析：选D二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，则a0，f(x)2a(x1)0，x0,1，所以a>0，即函数图象的开口向上，对

16、称轴是直线x1.所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.6若方程x22mx40的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是()A. B.C(，2)(2，) D.解析：选B设f(x)x22mx4，则题设条件等价于f(1)<0，即12m4<0，解得m>.7对于函数yx2，yx有下列说法：两个函数都是幂函数；两个函数在第一象限内都单调递增；它们的图象关于直线yx对称；两个函数都是偶函数；两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；两个函数的图象都是抛物线型其中正确的有_解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较答案：8(2012·北京西城二

17、模)已知函数f(x)x2bx1是R上的偶函数，则实数b_，不等式f(x1)<x的解集为_解析：因为f(x)x2bx1是R上的偶函数，所以b0，则f(x)x21，解不等式(x1)21<x，即x23x2<0得1<x<2.答案：0x|1<x<29若x0，y0，且x2y1，那么2x3y2的最小值为_解析：由x0，y0，x12y0知0y，令t2x3y23y24y2，则t32.在上递减，当y时，t取到最小值，tmin.答案：10如果幂函数f(x)xp2p(pZ)是偶函数，且在(0，)上是增函数求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式解：f(x)在(0，)上是增函

18、数，p2p>0，即p22p3<0.1<p<3.又f(x)是偶函数且pZ，p1，故f(x)x2.11已知二次函数f(x)的图象过点A(1,0)、B(3,0)、C(1，8)(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x0,3上的最值；(3)求不等式f(x)0的解集解：(1)由题意可设f(x)a(x1)(x3)，将C(1，8)代入得8a(11)(13)，得a2.即f(x)2(x1)(x3)2x24x6.(2)f(x)2(x1)28，当x0,3时，由二次函数图象知，f(x)minf(1)8，f(x)maxf(3)0.(3)f(x)0的解集为x|x1，或x312已知函数f(x)a

19、x22ax2b(a0)，若f(x)在区间2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)f(x)m·x在2,4上单调，求m的取值范围解：(1)f(x)a(x1)22ba.当a>0时，f(x)在2,3上为增函数，故当a<0时，f(x)在2,3上为减函数，故(2)b<1，a1，b0，即f(x)x22x2.g(x)x22x2mxx2(2m)x2，g(x)在2,4上单调，2或4.m2或m6.1已知yf(x)是偶函数，当x>0时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为()A. B.C. D1解析：选D当x<

20、;0时，x>0，f(x)f(x)(x1)2，x，f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，m1，n0，mn1.2(2012·青岛质检)设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f(x)x23x4与g(x)2xm在0,3上是“关联函数”，则m的取值范围为_解析：由题意知，yf(x)g(x)x25x4m在0,3上有两个不同的零点在同一坐标系下作出函数ym与yx25x4(x0,3)的图象如图所示，结合图象可知，当x2,3时，yx25

21、x4，故当m时，函数ym与yx25x4(x0,3)的图象有两个交点答案：3(2013·滨州模拟)已知函数f(x)ax2bxc(a>0，bR，cR)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，F(x)求F(2)F(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围解：(1)由已知得c1，abc0，1，解得a1，b2.则f(x)(x1)2.则F(x)故F(2)F(2)(21)2(21)28.(2)由题意得f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又当x(0,1时，x的最小值为0，x的最大值为2，故2b0.1比较下列各组中数值的大小(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.1，3.8，(1.4)；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y3x是增函数，故30.8>30.7.(2)yx3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.1