2017年第13届中国北方数学奥林匹克试题及解析

1、第13届中国北方数学奥林匹克试题及解析（提高班）1.已知数列满足，求解：对两边同时取对数得 设又记2.在中，为的中点，分别为上的点，且，证明：证明：如图，取的中点，延长至点，使得联结一方面，若则由所以：所以：所以：又因为：若由正弦定理得： 所以：3.记为的若干个排列组成的集合，且满足对于任意的至多存在一个使得在中的下一个数恰为；求集合的元素个数的最大值解:首先,假设。若在某个排列中连续出现，则称为一个“片段”。由于每个排列恰有个片段,于是，集合中共有个片段；而不同的片段只有个，,由抽屉原理，知存在一个片段在集合中出现至少两次，矛盾，从而, 其次，令其中，所有元素均按模处理，；则对于不重复地取遍

2、模的除外的完全剩余系，故对，可唯一找到，使得然后，可找到唯一适当的，使得，从而，此集合满足要求。综上,，的最大值为4.已知个两两互素的正整数满足：可以适当添加或“”使它们的代数和为；问：是否存在一组正整数 (允许相同)，使得对任意正整数两两互素.解：（1）当时（）若中有两个偶数，则当为偶数时，中有两项同为偶数，不互素（）若中至多有一个偶数，则其中至少有三个奇数，设为奇数，考虑，由题设其中至少有两个奇数，不妨设为奇数，则当为奇数时，同为偶数，不互素.综上，不存在（2）当时，由题设，不妨设，注意到由裴蜀定理，知存在整数使得，不妨设，令，则所以：故两两互素。所以，时，这样的整数存在。5.已知正六边形

3、边长为，两个动点分别在边上运动，且满足，证明：恒为定值. 证明：如图，延长，分别与的延长线交于点，联结由正六边形的性质易知：，记：，在中，由正弦定理得所以：在中，注意到则而所以（定值），有6.定义为在进制下的数码和，例如， ；证明：（1）对于任意，存在素数，使得对任意正整数，有（2）对于任意及素数，存在无穷多个正整数满足证明:（1）由，知，从而，有素国子，取任一素因子，于是，任取，在模意义下有，即；（2）设的进制表示为，令，所以所以：存在无穷多个正整数满足7.给定正整数，个实数满足，且；试确定的最大值.解:最大值为令，于是若存在，则若对任意的，有令于是，且不妨设，则；所以：从而又当中恰有个，个

4、为时8.草原上生活着编号为的只羊和编号为的匹狼。在该草原上有如下奇怪的规则:(1)定义为小于的素数个数，仅当时，编号为的狼可以吃掉编号为羊（也可以不吃）(2)若编号为的狼吃了编号为的羊，则它会立刻变成编号为的羊(3)每匹狼在确保不会被吃的前提下都非常想体验作为一只羊的生活。假设每匹狼都很聪明，求最后草原上会剩下多少匹狼？解：首先，考虑有1只羊和匹狼且所有狼均可以吃这只羊的情形：当时，这匹狼当然会把羊吃掉，不用担心自己变成羊后会被吃；当时，这两匹狼均不敢吃羊，否则，会在变成羊之后被另外一匹狼吃掉；当时，这三匹狼均想吃这只羊，因为即使自己变成羊，由情形时的推论，另外两匹狼不敢吃自己；设当时，所有的狼均不敢吃羊，时，所有的狼均想吃羊当时，若某匹狼吃了羊，由的推论，它会立刻被某匹狼吃掉，故时所有的狼均不敢吃羊；当时，若某匹狼吃了羊，由的推论,，其它的狼均不敢吃自己，故时所有的狼均想吃羊；由数学归纳法，知为奇数时，所有的狼均想吃羊，为妈数时,所有的狼均不敢吃羊；（1）其次，记集合，其中，并约定以表示集合的元素个数。由前面的论述，只需