高等数学A-第1章-8-5（极限存在准则 两个重要极限）

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A1.5 1.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极两个重要极限限 1.5.1 夹逼原理夹逼原理 1.5.2 单调有界准则单调有界准则 1.5.3 Cauchy收敛准则收敛准则 1.5.4 两个重要极限两个重要极限 1.5 1.5 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 1.5.3 Cauchy收敛准则收敛准则 1.5.1夹逼原理夹逼原理 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限Cauchy收敛准则收敛准则应用习例应用习例夹逼原理夹逼原理 应用习例应用习例1-4 单调有界

2、准则单调有界准则 应用习例应用习例51.5.4 两个重要极限两个重要极限1.5.2 单调有界准则单调有界准则 应用习例应用习例6-11 0sinlim1xxx重要极限重要极限 重要极限重要极限1lim 1xxex应用习例应用习例12-16在在给定的变化过程中，如果给定的变化过程中，如果f(x),g(x),h(x)满足满足),()()(,0 0,000 xhxfxgxx 时时当当设设 Axhxg )(lim)(lim)2(.)(lim Axf 则则证明证明: .,0 xx 考考虑虑极极限限过过程程不不失失一一般般性性 ,)(lim)(lim00Axhxgxxxx , 0 ,0 0,101时时当当

3、 xx,)( Axg有有.)( AxgA即即,)( Axh有有一、夹逼原理一、夹逼原理 定理定理1 （夹逼原理（夹逼原理-准则准则I ）)()()()1(xhxfxg ,0 0,202时时当当 xx.)( AxhA即即.,min 021 取取, 0 0时时当当 xx,)()()( AxhxfxgA有有.)( Axf即即.)(lim 0Axfxx 极限过程为极限过程为 同理可证。同理可证。,0 xx,0 xx, x, xx定理定理2 满足满足如果数列如果数列nnnzyx, ), 2 , 1( )1( nzxynnnazynnnn limlim)2(.limaxnn 则则夹逼准则应用习例夹逼准则应

4、用习例).1.211(lim 1.222nnnnnn求例).1.2111(lim 2.222nnnnn求例. 1lim 3.nnn证明例, 0,. 421为正整数设例kaaak,maxlim 2121knnknnnaaaaaa证明).1.211(lim 1.222 nnnnnn 求求例例解解:)1211(222 nnnnn nnn22 22nn, 1lim 22 nnnn又又. 1lim22 nnn由夹逼准则得由夹逼准则得 . 1)1.211(lim222 nnnnnn).1.2111(lim 2.222nnnnn 求求例例解：解：)12111(222nnnn nnn212 nn, 0lim

5、2 nnnn又又. 01lim2 nnn由夹逼准则得由夹逼准则得 . 0)1.2111(lim222 nnnnn. 1lim 3. nnn证证明明例例证明：证明：. 1,1 nnn时时当当),0(1 nnnnhhna记记nnhn)1( 则则有有nnnnhhnnnh 2! 2)1(122)1(nhnn ,1202 nhn,120 nhn,12111 nhann于于是是有有, 1121lim nn而而. 1lim nnn类似可证类似可证,).0( 1lim aann证明证明为正整数为正整数设设例例, 0,. 421kaaak ,maxlim2121knnknnnaaaaaa 证明：证明：,max2

6、1kaaaa 令令nnnnknnnnakaaaa 21 anka , 1lim nnk又又,maxlim2121knnknnnaaaaaaa 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 注意：注意：单增单增数列只需上有界；单减数列只需下有界数列只需上有界；单减数列只需下有界. x1x2x3x1 nxnx几何解释几何解释:AM二、单调有界准则二、单调有界准则定理定理3 (单调有界准则单调有界准则准则准则II) 1x2x3xnxA1 nxm, , 0. 521aaxaxa 证证明明数数列列设设例例,3aaaxaaaxn 的的极限存在，并求其极限极限存在，并求其极限.解：解： ), 2 , 1( 1

7、 nxaxnn, 01 ax,112xaxax , 1 nnxx假设假设nnnnxxaxax 11 则则. 单增单增即即nx, 1 1 nnxx从而从而单调有界准则应用习例单调有界准则应用习例, 1 nnxax又又. 12 nnxax则则nnnxxx2 nnxxa1 nnnxxxa1 1 aa1 a. 上有界上有界即即nx所以数列极限存在所以数列极限存在.,limAxnn 设设.lim)(limlim 112 nnnnnnxaxax则则, 2AaA 即即2411 aA 解得解得.2411lim axnn )(负号舍去负号舍去三、三、Cauchy收敛准则收敛准则定理定理4 (Cauchy收敛准则

8、收敛准则)数列数列 收敛的充分必要条件是收敛的充分必要条件是: nx , , 使得当使得当 时时, 有有 . 0 NN,mN nNnmxx满足上述条件的数列也称Cauchy数列或基本数列数列或基本数列. 这样, Cauchy收敛准则又可叙述成: 数列数列 收敛的充分必要条件是收敛的充分必要条件是: nx 为为Cauchy数列数列. nx证明：证明：必要性必要性 设设 , , 由数列极限的定义，由数列极限的定义， ，axnnlim0 NN当当 时，有时，有 Nn 2 axn同样，当同样，当 时，也有时，也有 Nm 2 axm因此，当因此，当 时时,有有 ,mN nN 22nmnmnmxxxaxa

9、xaxa即得即得 为为Cauchy数列数列. nx充分性的证明要用到实数理论充分性的证明要用到实数理论, , 这里从略这里从略. . 注意注意:（1）Cauchy收敛准则的几何意义收敛准则的几何意义: 数列数列 收敛的充分必要条件收敛的充分必要条件是是: 对于任意给定的正数对于任意给定的正数 , 在数轴上一切具有足够大号码的点在数轴上一切具有足够大号码的点 中中, 任意两点间的距离小于任意两点间的距离小于 . nxnx（2）由于）由于Cauchy收敛准则是判断数列收敛的充分必要条件收敛准则是判断数列收敛的充分必要条件, 因此因此, 它不但可以用来判断数列的收敛性它不但可以用来判断数列的收敛性,

10、 而且也可以用来判断数列的发散而且也可以用来判断数列的发散 （3）应用上常使用）应用上常使用Cauchy收敛准则的一个等价形式收敛准则的一个等价形式: 数列数列 收收敛的充分必要条件是敛的充分必要条件是: , ,使得当使得当 时时, 对一切对一切正整数正整数 , 有有 . nx0 NNnNpnpnxxCauchy收敛准则应用举例收敛准则应用举例Cauchy收敛准则应用举例收敛准则应用举例1sinlim0 xxxAC)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的

11、圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 x, 1coslim0 xx又又. 1sinlim0 xxx四、两个重要极限四、两个重要极限1.第一重要极限第一重要极限注意：注意： , 1)()(sinlim )1(0)( xxx 常用的形式是常用的形式是并以此为并以此为工具可求出相应的其它一些函数的极限工具可求出相应的其它一些函数的极限.,1)()(sinlim )2(0不一定成立不一定成立 xxx . 0)(不一定趋于不一定趋于因为因为x 第一重要极限第一重要极限1sinlim0 xxx第一

12、重要极限应用习例第一重要极限应用习例.1sinlim)3( ;cos1lim)2( ;sinlim) 1 ( :. 6200 xxxxxxxx求极限例.1arcsinlim . 7xxx求极限例.cos1lim. 80 xxx计算例.sin)4(lim. 922xxxx计算例.sincossin1lim.100 xxxxxx计算例.2tan)1 (lim.111xxx计算例.1sinlim)3( ;cos1lim)2( ;sinlim)1( :. 6200 xxxxxxxx 求求极极限限例例解解: xxxxxxsinlimsinlim)1(00 0sinlimlim00 xxxxx220202

13、sin2limcos1lim)2(xxxxxx 220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 21 xxxxxx11sinlim1sinlim)3( 1 .1arcsinlim . 7xxx 求极限求极限例例解：解：,1arcsin tx 令令. 0, tx时时则当则当ttxxtxsinlim1arcsinlim 0 . 1sinlim1sin1lim00 tttttt.cos1lim. 80 xxx 计算计算例例解：解： xxxx2sin2cos1 xxxxxx2sin2limcos1lim00 xxx2sin2lim0 22 xxxxxx2sin2limcos1

14、lim00 xxx2sin2lim0 22 .cos1lim0不存在不存在xxx .sin)4(lim. 922xxxx 计算计算例例解：解： xxxxxxxxx sin)2)(2(limsin)4(lim222 )2(sin)4()2(lim02ttttttx 令令ttttt sin)4()2(lim0 ttttt sin)4)(2(lim0.8 .sincossin1lim.100 xxxxxx 计算计算例例解：解： )cossin1(sincossin1limsincossin1lim200 xxxxxxxxxxxxxxx)cossin11sinsinsin(lim20 xxxxxxxx

15、x . 1)sin1(lim210 xxx.2tan)1(lim.111xxx 计算计算例例解：解：)1(2tanlim2tan)1(lim011ttxxtxtx ttt2cotlim0 tttt2sin2coslim0 22cos2sin2lim0 tttt .2 exxx )11(lim下面分三步进行讨论下面分三步进行讨论. (1)设设x依次按自然数依次按自然数n变化，则函数为变化，则函数为nnnnfx)11()( 21! 2) 1(1! 11nnnnnxn).11 ()21)(11 (!1)11 (! 2111nnnnnn nnnnnnn1!) 1() 1( 2.第二重要极限第二重要极限

16、).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显显然然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是是有有界界的的nx.lim存存在在nnx ennn )11(lim记记为为)71828. 2( e类似地类似地, )2(时时x1 nxn设设,1111 nxn 于是于是,1111111nxn ,)11()11()111(1 nxnnxn11)111()111(lim)111(lim nnnnnnn而而e )11()11(lim)11(lim1nnnnn

17、nn e .)11(limexxx , )3(时时x yyx , 则则设设yyxxyx )11(lim)11(limyyyy)1(lim yyy)111(lim )111()111(lim1 yyyye 注意：注意：,)(11(lim )1()()(exxx 常用的形式是常用的形式是并以此为并以此为工具可求出相应的其它一些函数的极限工具可求出相应的其它一些函数的极限.)1(lim,1 )2(10ezxzzz 有有令令.)11(lim.12xxx 计算计算例例.)12(lim.1312 xxxx计算计算例例第二重要极限应用习例第二重要极限应用习例.1lim.1422xxxx 计算计算例例.coslim.150 xxx 计计算算例例., 9)(lim.16aaxaxxx求求设设例例 .)11(lim.12xxx 计算计算例例解解: xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e .)12(lim.1312 xxxx计算计算例例解解: 1212)111(lim)12(lim xxxxxxx1)1(2)111(lim xxx12)1()111()111(lim xxxx12)1()111(lim)111(lim xxxxx.e2 例例14. 计算计算.1lim22xxxx 解：解：xxxxxxx