曲面积分曲线积分习题课ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法 线面积分的计算 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示: 计算,d22syxL其中L为圆周.22xayx提示提示: 利用极坐标利用极坐标 ,)22(cos:arLdd22rrs原式 =sxaLd22dc

2、os22aa22a说明说明: 若用参数方程计算若用参数方程计算,:L)20(tOxayrda)cos1 (2txatyasin2t那么tyxsdd22 tad2P244 3 (1)目录 上页 下页 返回 结束 ttad)cos1 ( P244 3(3). 计算,dd)2(Lyxxya其中L为摆线, )sin(ttax)cos1 (tay上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2目录 上页 下页 返回 结束 zyx1OP244 3(6). 计算其

3、中 由平面 y = z 截球面22yx 提示提示: 因在因在 上有上有,1222yx故:原式 = tttdsincos2022221tttd2022221)cos1 (cos4221432212162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx从 z 轴正向看沿逆时针方向.,12所得 z目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .2. 基本技巧基本技巧目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算

4、计算,d)(22szyxI其中 为曲线02222zyxazyx解解: 利用轮换对称性利用轮换对称性 , 有有szsysxddd222利用重心公式知sysydd0szyxId)(32222sad322334azyxO( 的重心在原点) 目录 上页 下页 返回 结束 CyxABLO例例2. 计算计算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆时针方向以原点为中心、解法解法1 令令,22xyQyxP那么xQ这说明积分与路径无关, 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 为半径的上半圆周.目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 ,BA它与L所围区域为D,Dyxdd0y

5、xyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)考虑考虑:(2) 假设 L 同例2 , 如何计算下述积分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:BALyxyxyxId)(d)(22那么添加辅助线段CyxABLO目录 上页 下页 返回 结束 思考题解答思考题解答:LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (2222y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a132

6、23 a32a0:t332aIDCyxABLO目录 上页 下页 返回 结束 DayLxOBA计算,d)2cose (d)2sin(eLxxyyxyyI其中L为上半圆周, 0,)(222yayax提示提示: :2cose,2sineyQyyPxxyxQyyPxxcose, 2coseyxDdd202a沿逆时针方向.ABABLI练习题练习题: P244 题题 3(5) ; P245 题题 6; 11. 3(5).用格林公式: 目录 上页 下页 返回 结束 P245 6 . 设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, ,22yx 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示:)

7、dd(3yyxxkWL令33,ykQxkP易证53yxkyPxQ)0(x),(3yxkFF 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为目录 上页 下页 返回 结束 P245 11. 求力沿有向闭曲线 所作的其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示提示: BAzyxCOzxyzxyWdddABzxyzxyddd3ABzxd310d)1 (3zz23方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,),(xzyF 功,目录 上页 下页 返回 结束 OBAzyxC设三角形区域为 , 方向向上,那么zxyzxyWdddzyxSd313131yzx1:zyxSd

8、)3(31) 1, 1, 1 (31n方法方法223yxDyxdd33公式 n目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 选择积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面目录 上页 下页 返回 结束 思思 考考 题题1) 二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例第一类曲面积分的特例.2) 设曲面,),( ,0:Dyxz问下列等式是否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不对 !

9、 对坐标的积分与 的侧有关 Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(目录 上页 下页 返回 结束 2. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化目录 上页 下页 返回 结束 zyxO练习练习:P244 题题4(3) ,ddddddyxzxzyzyx其中 为半球面222yxRz的上侧.且取下侧 , 原式 =3323R032 RP244 题题4(2) , P245 题题 10 同样可利用高斯公式计算同样可利用高斯公式计算.0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx记半球域为 ,高斯公式有计算提示提