向量解题技巧完整版

1、“LaHEN system office 100m、【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENHI688 团结.奉献.一、怎么样 求解向 量的有 关概念 问题掌握并理解向量的基本概念I.判断下列各命题是否正确(1)若不=尻3 =3则7两向量入B相等的充要条件是问=忖且小B共线；(3)同=忖是向量i = B的必要不充分条件；(1)若A、B、C、。是不共线的四点，则A与是四边形A8C。为平行四边形的 充要条件；(2) A至=。力的充要条件是A与C重合，8与£重合。二、向量运算及数乘运算的求解方法两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相 同起点的向量的差

2、是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：不与B不共线，则7 + 5与B是以不与B为邻边的 平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐 标等终点坐标减起点坐标，即若4x,乃),832，月)，则人8 =。8 。力=(，为)一(*，») = (今一玉，)'2一)1)。例1若向量。=(3,2)/=(0,-1),则2-的坐标是例 2 若向量a = (l1)/ = (l,_l),c = (_l,2"UJc =例3在平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点A(3,1),8(-1,3),若点 。满足。e=&q

3、uot;9底+仇就，其中。/£/?且+尸=1,则点C的轨迹为()例4 0是平面上一定点，力、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足- AB AC0尸=04 + _= + 一)，2 e O,+oo),则 P 的轨迹一定过 A48C的() AB ACA外心8.内心C.重心。.垂心例5设G是八48c内的一点，试证明：(1)若 G 是为AA8C重心，则GZ + G4 + 8e = 0；(2)若gN + G4+ “ = ,则G是为AA8C重心。三、三点共线问题的证法证明A,B,C三点共线，由共线定理(A月与Ae共线)，只需证明存在实数4,使AB = AACf ,其中必须有公共点。共线的坐标表

4、示的充要条件，若, =(N，y)石=(如)3)，则例1已知A、B两点，P为一动点，且07 = 0田+ /“，其中t为一变量。 证明：必在直线AB上；取何值时，P为A点、B点？例2证明：始点在同一点的向量,、B、37-2B的终点在同一直线上例3对于非零向量，、氏求证一卜卜。+同+ 四、求解平行问题两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们 模长的大小无关，只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方 向决定。例 1 已知M(l,0),N(0,l),P(2J),Q(l,y)且/疝尸。，求 y 的值。例2已知点A(-2),若向量A分与刁= (2,3)同向(丽=2

5、屈，则B点的坐标是例3平面内给定三向量力=(3,3 = (-1,2),? = (4,1),则：(1)求3a + Z?-2c;求满足力=必的实数7、n(3)若3 + kb)/(2b-a),求实数k;(4)设"=",)，)满足(2-？)(7 + 8)且口一£ =1,求".例4(1)已知点A(4,0),8(4,4),(7(26),求A己与。月的交点，尸的坐标。(2)若平行四边形ABCD的顶点4-1,-2), B(3-1),C(5,6),求顶点。的坐标。五、向量的数量积的求法求数量积:定义法：，叱叩咽cosJ坐标法：= xx2 + yy2当不B时，6 = 0。和

6、8 = 180。两种可能。故。5 = ±同忖一些重要的结论：言=万1=|万广；(7土杨2=，2土质工+庐；(a+b)(a-b) = a2-b2例1设万E是任意的非零的向量，且相互不共线，则()其中是真命题的为()例2 已知平面上三点A、B、C ,满足m耳=3出0 = 4,|例=5,则A至86+ 8(?d+。文4月的值等于 例3已知向量7和5的夹角为120°,且同=2利=5,则(27B)万=六、如何求向量的长度形如|而+可的模长求法：先平方一转化为含数量积运算-开方，即： 例1已知向量“，同=网=4Z与很的夹角为60。,则口 +可=, B B卜,其中 例2设向量26满足同=忖

7、=1,桓-2b = 3,求桓+4的值。七、如何求两向量的夹角夹角公式:再-1 一一例1已知同=10,|/?| = 12,且宙)(_) = -36,求，力的夹角 例 2 若石与瓦是夹角为60。的单位向量，且 a = 2a +e2,b =-3et +2瓦,求7及7与B的夹角。八、垂直问题的求解向量垂直的充要条件：刁=0 =再入2 +乃乃=。例1若向量。万满足口+5卜归-耳则。与B所成的角。例2在AA8C中“ =(2,3), AC = (l,k且A48C的一个内角为直角，求女的值。例3已知7_L反同=2,呵=3.且。30+ 25与龙垂直，求2例4已知0(0,0),A(0,5), 8(6,3), A力

8、J.O与于点D求O点的坐标。九、向量的数量积的逆向应用求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。例1已知打=(4，-3),忖=1,且2 。= 5,则3 = ?例2求与向量1(%T)和5 = (1,曲)的夹角相等，且模长为网勺向量？的坐标例3若平面向量B与向量d=(1,-2)的夹角是18。，且忖=36，则3 =()例4已知向量3与向量7 = (-3,4)垂直，且恸=15,则3 =.十、线段定比分点公式的运用技巧求解定比分点问题，要注意结合图形，分清是内分点是外分点，不能混淆起点和终点,定比分点坐标公式：1+，中点坐标公式:重心坐标公式：,_X+)W3尸3T3T例1设点P分有向

9、线段pp2所成的比为2,则P,分p2p所成的比为例2已知两点P(4,-9),0(-2,3),则P0与y轴的交点分有向线段所成的比为一.十一、利用平移公式解题点A(x,y)按向量不=(,攵)平移，得到点(x+,y + %)，而函数y = /(x)的图像按向量不二 (,心平移得到的函数的解析式为)，= /'*-/?)+攵，解题时要注意理解图像平移 前后的关系。例1已知两个点尸(1,2),产(一2,14),向量7 = (3,12),则：把P按向量7平移得.某点按心得到P,求这个点坐标。(3)P按某向量平移得到产，求这个向量坐标。例2将函数y = log3(2x +1) - 4的图像按向量a平

10、移后得到的是函数y = log3(2x)的图像，那么。的坐标是.例3将函数y = 2sin2x的图像按向量不平移，得)，= 2sin(2x +马+ 1的图像，则向量)的坐标是()十二、怎样利用正、余弦定理求三角形的边与角主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角变换，诱导公式。sin A sin B sinC正弓玄 定理： -=-=27? ； = 2/?sin A , b = 2R,sin B , c = 2RsinC三角形面积公式：= absinC = /?csiii A = -acsin B。2hc下面关系式需熟记：在A48C中 例 1 在AA8C中,sinA:sin8:sinC = 2:3:4,则ZABC = ?例2已知AA8c中的最大角A是最小角C的二倍，且以b、c成等差数列，则 a :b:c =例3已知4、氏C是AABC中ZA,NB,NC的对边，、c成等差数列，3ZB = 30°, A48C的面积为二，那么 =o2例4在R"8C中，C = q为+ B = 求|4一回的值。十三、如何判定三角形的形状原则上是将角化成边或将边化成