江苏省专转本高等数学模拟试题二

1、2010江苏省专转本高等数学模拟试题二一.选择题：*1.设函数/1) = /-44 + 4, xe2, +s), g(x)是/(x)的反函数，则()A. g(x) = 2->x B. g(x) = 2 + 4C. g(x) =-2-/x D. g(x) = -2 + >x令丁 = f(x) = x2 -4x + 4 = (x-2)2=>x-2 = yy=>x = yy+2,反函数为y = 2 + 77,选 B*2.若的是/(x)的极值点，则()A. 7'(%)必定存在，且/'(%) = 0B.尸(见)必定存在，但尸(X。)不一定等于零C.尸(%)可能不存

2、在D. 7(%)必定不存在应选C。例：y =区在x = 0处取得极小值，但该函数在x =。处不可导，而/'(0)不存在*3.设有直线- = - = ,则该直线必定() 0 4-3A.过原点且垂直于x轴B.过原点且平行于x轴C.不过原点，但垂直于x轴D.不过原点，且不平行于x轴直线显然过(0，0, 0)点，方向向量为7 = 0, 4, 一3，x轴的正向方向向量为v = 1, 0, 0, /- v = 1x0 + 4 x 0 + (-3) xO = 0,故直线与 x 轴垂直，故应选AoOCOC*4,事级数£册/在点x = 2处收敛，则级数£(一1)% () “0(>

3、;A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与%有关88在点x = 2处收敛，推得对V/e(2，2),苫明邸绝对收敛，特别对 n-0 3000X。=一1有=»(T)"绝对收敛,故应选A。 n-0;r-05.对微分方程尸+3)，'+2)，=67 ,利用待定系数法求其特解y*时，下面特解设法正确的是()A, y* = Aex B, y* = (Ax + B)ex C.= Axex D. y* = Ax2ex二.填空题:J/ +x + 1-xlim J*' + X+ 1 7 =hm x->+xJ/2一X1 / 107,设 y = ，则 yl =1 +厂*8.

4、设 F"l2)(x) =edt，则 F(n) (x)=Jx2解：k"T(x) = (F(h-2)(x)'= (£ eldty= 2xexl -exF(n)(x) =(1 Sf(x)>= (2x1 -exy= 2e- +4x2ex2=4x2ex' + 2 J -/*9fXy/l + lnxdxxjl + lnx3/10= 273-2 = 2(73-1) 10.设Z = Jmi + x?+y?),则dz|” u =.*11.已知N = 1, 2, 1, b=2, -1, 1,则过点M0(L 1, 1)且同时平行于向量万 和B的平面的方程为. *_

5、 i j k_而的法向量为两=，xB= 121=37 + -5k2 -1 1平面的方程为 3* 1） + （>一1）一5仁1） = 0即 3x + y-5z+l = O12 ,微分方程空+ 3），= 的通解是.dx8*13.寨级数£H-09的收敛区间是人(x1产“一1严2解：令/ (x) = f，应“幻=一一.一")(1 严29_(1)28 Ult(x)9向(x-l)2n _9（X- ir由一vl解得，一2<x<4,于是收敛区间是（一2, 4）14.设不=1 + 了 + 2，则与万同方向的单位向量不° =.*15.交换二次积分I = jdxj；

6、/（x, yly的次序得/ =.解：积分区域如图所示：D： y<x<, 0<y<i,于是y）力=£力）/（心 心三,解答题：*16.计算JT誓以解：fV + (arCta,nY)/xJ 1 +厂r x f p (arctan x)2 f=-dx + ：-dxJ + x2 J l + x2=；J *1 + ；)+ j (arctan x)2 d(arctan x)=ln(l + x2) + (arctan x)3 +c*17.设/(x) = eV,求之+解：；,/(1 + /；-/(1)=/'()2=e J) i=2/ xr318 .判定函数y = 的单

7、调区间 3-尸19 .求由方程yx2 - £' yl + rdt = 0所确定的隐函数y = y(x)的微分力*20.设函数/*) = Inx JJ(x)公,求 J；/(x)4x解：设A = J；/(x)公，则/(x) = lnx A,两边求定积分得A = f (x)dx = "In x - A)dx=(xlnx-x-Av)； = -Ae+ A +1解得：4 = ,于是 e821.判定级数Z ,n-l + y/n/(x) = lnx- e的收敛性，若其收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛?22 .设z = x2 siny2 +xy,23 .求微分方程尸+3，42），=

8、 X，的通解*24 ,将函数，（x） = arctan2K展开为麦克劳林级数?00解：f'M = (arctan2x/= = 2Y(-4x2)n1 + 4厂公8|1= X(-1)；r22n+1x2n (-1<%<1)n-02230/W-/(0) = J。/力=C£(-1)"22"+YQ n-088, 2n+l= Z(T)”22zj>2z>z(7)"用;r-0n-()乙“十 18,2" + 1即 f M = arctan2x = V(-l)nx仁2w + l25 .设9，）j求小）26 .求函数z = ,j-x2-

9、y2在条件y ； = 0之下的最值。*27.求曲线），=_二.的渐近线（x + 1）-11/10解:H工X3 =6(X+1)-,曲线没有水平渐近线/c、 lim 一 !im-。=一U+1)26,曲线有铅直渐近线工=-12工=%小丁=1=X (X+ 1)x)(X+l)2y-x3 -2x2 -x5+1)2= -2=b所以曲线有斜渐近线 y = x-2*28.设区域为 D： 1</+），242, y>0,计算: U -解：积分区域如图所示（阴影部分）17 办:四产力. h4»丫2 Jo Ji 2=TtV - f-16/（4-r2）=一小I，一 厂一= 7T（a/3 V2）yo参

10、考答案1 .令丁 = /(x) = - - 4x + 4 = (x-2)2=x-2 = Jy=>x = yy+2,反函数为y = 2 + J7,选 B2 .应选C。例：)，=闵在x = 0处取得极小值，但该函数在x =。处不可导，而/'(0)不存 在3 .直线显然过(0，0, 0)点，方向向量为7 = 0, 4, -3 . x轴的正向方向向量为v = 1, 0, 0, /- v = 1x0 + 4 x 0 + (-3) xO = O>/*±v,故直线与 x 轴垂直，故应选 A«884 . 在点x = 2处收敛，推得对Vx°e(2, 2),绝对收

11、敛，特别对n-0/r-0X00%0 =-1有1)"绝对收敛，故应选A。 n-0n-05 ./+3r + 2 = 0特征根为a =7, r, =-2 ,由此可见a = 1 (./'=/一皿="怎) 是特征根，于是可设y* = x4eT = Are-x,应选C0lim “+x + l-x _lim 1 (/(1 + /) /(1 + /)' _ (1 + x2 -2x)/ _ 11尸/* y 7z- 7z ，一八 2、，(1 + x)(1 + x) (1 + x)8 .解：F(M-1>(x) = (F(,-2)(x)'= (£ e(dty

12、= 2xe户-e'F(n)(x) =("s-D(x)y= (2xexl -exy=2ex" +4x2e?=4x2ev +2/' e"9 .解=等3=2标7 J xVl + Inx J1 Vl + lnx'= 2y/3-2 = 2(y/3-l) di x10 . =59戊 l + jr+y-戊 y z I i / i 7 囱=*7工7="九广产+y/ j Ijj、“ n =一 dx + 一dy )0(11) 分(1. y)_ijk_IL平面的法向量为n= NxB=121=3F + J-5k2-11平面的方程为 3(x-1)4- (&

13、gt;>-l)-5(z - 1) = 0即 3x + y 5z + 1 = 012.解：p(x) = 3, q(x) = e2x通解为 y ="(x)/"""飞, + c)="'(J e2xedx clx + c)=eix (j e5xdx + c)皿,/、 (x-l)2,r/、 (x-l)2,+213.解：令(x) = f，向(幻=一1%。）9"由":"一1解得,2 14.同=+ I2 +22 =715.解：积分区域如图所示: ）'）山'=x (x-l)2n9<x<4,于

14、是收敛区间是(2, 4)G "=0=/+专"寻D： y<x<yy, 0 < y < 1,于是X1lim 一(x) nm (I 严 29” di= =三r x +(arctan x)2 , 16,解：I一二-dxJ1 + JC=JF+J 1 +厂1 f 6/(l + X2) -2' + x2r (arctan x)2 f-l"二' + x+ J (arctan x)2 "(arctan x)191a= ln(l + X*) +-(arctan x) +c，7 械)im /(I +/?)-/(D r,zn17 .解：g

15、o= f (1)h-二 2=e勺).V-1=e-ix (e5x + c)）s 跳31（3-厂）一/（3_1），.解：，耳西2(9-/)=(37)2当一3vxv3时，函数单调增加；当工一 3或冗3时，/0,函数单调减少, 故函数的单调递减区间为(一8, 3) = (3, +s),单调递增区间为(一3, 3)19 .解：方程两边对x求导(注意y = y(x)是x的函数)：户2+2k_11 + )，2 y，=02xy=dy = ydx =J +)3 _dx>) 厂20 .解：设A = J；/(x)"x,则/(x) = lnx A,两边求定积分得 A = £ fxdx = J

16、ln x - A)dx= (xnx-x-= -Ae+ A + l解得：A = -,于是 e/(x) = lnx-,、 > y/n2 +n J( + I)2n=l1X2L解：(1)先判别级数Z81=z：、 的收敛性 ；i=i +n =v.XX I发散1n 十 1=£-7=发散n-l n-1 y/tr + It(2)由于所给级数是交错级数且1 1<l>z/ = . >， ，= It.ln2 +n J(- + 1尸 + (" + 1)<2>%与=。由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。22 .解：=2xsiny2 + y3 戊ad 砥

17、d. 2 . 3x)= (2xsiny +y )axcy ox,出=4x),cos y2 +3y223 .先求方程V'+3V+2y = 0的通解：特征方程为r2+3r + 2 = 0,特征根为八=-1, r2 = -2 ,于是齐次方程通解为 y = cxex +ce2x (1)方程中的/(x) = x/ =我6,其中。=1不是特征根，可令 y* = (ax + b)ex则 *' = (ax + a+ b)e ", y*'' = (ax + 2a + b)e x 代入原方程并整理得(6" + 5a + 6l)ex = xex => 6n

18、= 1,5rz += O = a = L b = 636y* = (-%->A (2)636-,15所求通解为 y = y += qe " +" + (- x - -)ex63624,解:/'(x) = (arctan 2x),=2l + 4x2= 2f(-4/)“n-0x11= Z(T)"227/( 一一 <x< )n-022/U)-/(0) = J 力=口 £(-1)"22“2”团 n-0oooo, 2n+l=£(-1)嗖+炉1=£(_i)«x2n+,“0n-02 + 1ooq 2n+li即 f(x) = arctan 2x = V (- 1)"x2n < x < 士2 + l2225 .解:因/(x) = J '(x) , 2x 由/ (厂)=得 axaxx) 1 1/'(/) =充，从而/。)=云26 .解：把条件极值问题转化为一元函数的最值z(x) = Jl-x2-l