《方程的根与函数的零点》教学设计初稿

1、方程的根与函数的零点教学设计初稿一、教学目标1、知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念。 领会函数零点与相应方程的根的关系，掌握零点存在的判定条件。2、过程与方法通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。让学生归纳整理本节所学知识。3、情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生的观察能力和抽象概括能力。二、教学重点、难点重点 零点的概念及存在性的判定。难点 零点的确定。三、教学方法发现法。一、引入环节：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们

2、可以从教科书中了解各式各样的方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月。我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题。约公元50100年编成的九章算术就以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法；7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法； 11世纪，北宋数学家贾宪在黄帝九章算法细草中提出了“立成释锁法”来解三次或三次以上的高次方程式。13世纪，南宋数学家秦九韶在数书九章中提出了“正负开方术”，此法可以求出任意次代数方程的正根。 国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪，阿拉伯数学家花拉子米给出了一次方程和二次方程的一般解法；1541年，意大利数学家塔尔

3、塔利亚给出了三次方程的一般解法；1545年意大利数学家卡尔达诺的名著大术一书中，记载了四次方程的一般解法。数学史上，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果。1778年，法国数学大师拉格朗日提出了五次方程根式解不存在的猜想。1824年，挪威年轻数学家阿贝尔成功证明了五次以上一般方程没有根式解。1828年，法国天才数学家伽罗瓦巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程。虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程不能用代数运算求解，但其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如二分法等。设计意图：讲清为什么学习本章节内容创设问题情境：

4、二次方程3456x2 - 3458x+1=0有无根？若有，你能否说出其中一个根大概在哪两个整数之间？（0，1），（1，2）发现从函数角度研究方程感觉较易，让我们系统研究一下。思考一、二次函数与相应方程的关系1、 二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象与 x 轴的交点有几种不同情况？x2、 交点个数、交点坐标与相应方程的根有什么联系？xxyoxyoyo无实根无交点一个交点(x1 ,0)两相等实根x1 =x2两不等实根x1 ,x2两个交点(x1 ,0),(x2 ,0)二次方程ax2+bx+c=0 (a 0)的根交点情况二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图<0=0>0让学生填

5、表并回答这2个问题。结论：二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象与X轴交点的横坐标就是相应的二次方程的根。思考二、一般函数与相应方程的关系观察函数图象与相应方程的根的关系；f(x)=2x-4与2x-4=0 f(x)=(x2-1)(x+2)(2x-6) 与(x2-1)(x+2)(2x-6)=0 f(x)=2x-8与2x-8 =0 f(x)=ln(x-2)与 ln(x-2)=0演示课件 结论：函数y=f(x)的图象与X轴交点的横坐标就是相应的方程f(x)=0的根。 给出零点定义，并出课题1、零点：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。2、方程f(x)=

6、0有实数根 <=>函数y=f(x) 的图象与x轴有交点 <=> 函数y=f(x)有零点二、探究环节：求方程的根就是找函数的零点，那么怎样才能判断函数存在零点呢？看下面的例子思考三、下图是某地从0点到12点的气温变化图，假设气温是连续变化的，思考这段时间内是否一定有某时刻的气温为0度？为什么？时间气温8-4012提示：气温连续变化反应函数图象有什么特征？此问题抽象成一般函数，怎样限制条件得到有零点的结论？学生讨论总结。结论：零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)

7、内有零点，即存在c (a,b) ，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。三、辨析环节：针对定理有什么疑问、想法谈谈。疑问：1、若函数图象不是连续不断的，结论还成立吗？2、若f(a)f(b)>0，则函数在区间(a,b)上一定没有零点吗？3、满足定理条件时，函数在区间(a,b)上只有一个零点吗？4、增加什么条件可确定函数在区间(a,b)上只有一个零点？学生举反例说明。四、练习环节：例1、求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。 1个x1234567 f(x)-4-1.31.13.45.67.89.9 例2、已知函数y=f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪个区间内有零点？为什么？x1234610f(x)20-5 .5