2019常微分方程ppt课件

1、常微分方程基础知识一、微分方程的基本概念o0o1oaa. 1. . t=0,u =150 C,10u =100 C,ut.20.u =24 C.例物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中 在时刻时 测量得它的温度为分钟后测量得温度为试求物体的温度 和时间 的关系并计算分钟后物体的温度 这里假设空气的温度保持为第1节 微分方程概念与初等积分法n热力学基本规律n 热量总是从温度高的物体向温度底的物体传导。在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这个物体的温度和其所在的介质温度的差值成比例。研究步骤：利用物理知识建立数学模型微分方程）求解此微分方程用所得的结果解释实际问题并做预测b.基本概念常

2、微分方程 Ordinary Differential Equation (ODE)偏微分方程 Partial Differential Equation (PDE)方程的阶数未知函数的最高阶导数的阶）通解和特解( )( )sin( )nndyd yp x yf xyf xdxdx，u如果一个函数用以代替微分方程中的未知函数能使该方程成为恒等式,那么就说这个函数是微分方程的一个解.u微分方程的解的一般表达式称为通解.一个n阶方程的通解含有n个任意常数.u满足一定具体条件的一个确定的解称为特解.(常见的条件有初始条件)u 4122. 5 40.(0)2,(0)1.xxyc ec eyyyyy例 验

3、证是二阶方程的通解 并求满足初始条件的特解C.一阶常微分方程及其解的几何解释n线素场-一阶常微分方程n积分曲线族-通解n积分曲线-特解2 dyxdx二、一阶可分离变量的微分方程( )( )( ), ( ),dyf xg ydxf xg yx y可分离变量方程：其中分别是的连续函数。 一般的处理办法及注意点(通解未必包含了所有的解)23.00,1.dyxydxxy例 求方程 的通解并求满足初始条件:的特解三、一阶齐次微分方程( ),dyyffdxx齐次微分方程：其中 是连续函数。4. 2 (0) .dyxyxy xdxyux例求微分方程处理方法:变量代换的通解 四、一阶线性微分方程( )( ),

4、( )0dyp x yq xdxdyp x ydx一般形式：对应的齐次方程： 齐次方程的解法(分离变量,凑导数) 非齐次方程的两种解法(常数变易,凑导数) 非齐次方程通解的结构0( )( )(0)yp x yq xyy如何求出初值问题的解的表达式?00000000( )( )( )( )( )( )00( )( )0: ( ( ) )( ), ()( ), |( ), ( )( )xxxxxtxtp s dsp s dsp s dsp s dsxp s dsp s dsxp s dsp s dseyp x yq x eyeq x eyeq t edty xeyq t edt解0).x125.:

5、(1)(1),.6.:.2xndyxnyexdxndyydxxy例 求方程的通解为常数例 求方程的通解作业习题3.5 3(1,3,5,7) 4(2,4)5(2,4,6)111222(1).17.:3a xb ycdydxa xb ycdyxydxxy形如例 求解方程 某些可用变量代换化为已知类型的方程2(2)( )( ),( ), ( )0,1.8.:6.()Bernoullidyp x yq x yp x q xdxdyyxydxx形如其中连续，例 求方程伯努利方的通解程2( ,): ( )2 90,yf x yx yyyx(3)形如例9.求解方程并观察解的图形.五、可降阶的高阶方程( )2

6、5454(1)( ).10.:cos.(2):( ,),.111.:0.nxyf xyexyf x yyd yd ydxx dx形如例求解方程的通解形如不显含未知函数例求解方程的解2(3)( ,),.112.:,2(0)1,(0)0.yf y yxyyyyy形如不显含例求方程满足初始条件的解:( ),Questionyf y对于类的方程 可由上面的方法解出,有没有其它解法?六、微分方程应用举例333113213.100,50 ,3/,2 /,2/,30,?cmgcmg cmcm例一容器盐水含盐现以流量为分钟 浓度为的盐水注入容器 同时又以流量为分钟将混合均匀的溶液流出问分钟后 容器内含盐多少0

7、114.200/10,80/ ,.vm scmvm s例一子弹以速度打入一块厚度为的木板 穿透板时的速度为设板对子弹的阻力与速度的平方成正比 求子弹穿过板所用的时间15.(?)例探照灯反射镜的设计如果从一点发出的光经某个曲面反射后是平行光,问该曲面是什么样的曲面16. I. = , ( ) II. MalthusianLog=istic(1) .dxr xx ttdtdxxrxdtk例生物种群繁殖的数学模型其中表示种群在 时刻的个体数量型.模型模作业习题3.5 6(3,4,7,8) 7(2,4,6,10) 10 11第2节 二阶线性常微分方程本节讨论如下方程:( ) ( )( )(1):( )

8、 ( )0(2)yp x yq x yf xyp x yq x y这类方程在物理上特别是力学上及电路理论上有关振动的问题,具有重要的意义,此外纯粹数学中的许多深刻的思想都是从研究和对应的齐次方程这类方程产生出来的.注:和一阶方程不一样,一般来说,(1)不能用已知初等函数的显式表出它的解,甚至也不能用积分号来表示它的解.为求它的解,一般用的是无穷级数.本章中,对(1)的实际解法的讨论,大部分限于系数为常数的特殊情形.另外,本章的方法都可以推广到高阶线性方程上去.00010( ), ( ),( ) , ,:( ) ( )( ), (),(), , ,( ), , .p x q xf xC a by

9、p x yq x yf xy xyy xyxa byy x xa b如果则初值问题存在定理1.方程(1)解的存在唯一性解唯一后面讨论中要用的存在唯一性定理.*2:( )(2),( )(1),(1).y xyxyy定理若是齐次方程的通解 而是非齐次方程的任一特解 那么是的通解n这就说明线性方程理论的中心问题是求解齐次方程的问题.一、齐次线性方程(2)的解的结构n对于(2),恒等于零的函数总是它的解,我们把这个解称为平凡解,一般没有什么意义.关于(2)的解的结构,请看下述定理.121122123.( )( )(2) ( )( ),y xyxc y xc yxcc定理 若和是的任何两个解,则也是一个

10、解 其中 及 是任意常数.11221212( )( )( )( )3( )( )c y xc yxy xyxy xyx我们把解称为解和解的线性组合.那么定理 的结果可改述为:如果我们通过某种方法得到了(2)的两个解,那么就可能得到一个含有两个任意常齐次方程的两个解的线性数的解,除非或等于另一个的常数倍,此时相当于只有组一合也个任是一个解.意常数.:( ), ( ) , , , ,.:( )0,( ),( )( ).f x g xa ba bf xg xf xg x定义 若函数定义在上 且其中一个是另外一个的常数倍 则称它们在上是线性相关的 否则称它们线性无关注 若则对每个函数和总线性相关121

11、12212.( )( ) ( ) ( )0 , , ( )( ) , , ,. 4 y xyxyp x yq x ya bc y xc yxa ba bc c设和是齐次方程在上的线性无关的解 则是该方程在上的通解.即方程在上的每个解可由选取适当的常数而得出核心定理定理1211220120110220:( ) , ,:, , : ( )( )( ).1, , , , ,: ()()(), y xa bc cxa by xc y xc yxa ba bxc cy xc y xc yx 分析 设是上的任一解 我们要证 可找出常数对有由定理 知 整个上的一个解 由该解及其导数在单独一点处的值确定.那就

12、只要证明对于中某个 能找到使得0110220 ()()().y xc yxc yx121020102012121200,() ()0.() ()( ) ( )(,),.( ) ( )0.ccy xyxyxyxy xyxW y yWronskianyxyxxx为了使这个方程组能解出 和就只要行列式 记称为行列式我们要关注的是它在 是否等于 下面的引理说明的位置无关重要1212A:(2) , ,(,) , yya bW y ya b引理若 和 是方程在上的任何两个解 则在上或者恒等于零,或者恒不等于零.12121221B:(2) , , , (,).yya ba bW y yy yy y引理若 和

13、 是方程在上的任何两个解 则它们在上线性相关的充要条件是在该区间上恒等于零Question(请考虑如下问题)n方程(2)确有两个线性无关的解.n定理1-4可推广到高阶线性方程.n请举例说明两个函数线性无关,它们的Wronskian行列式可能是零.*1212:( )5.( )( ),1,2, .:( ) ( )( )( )(.()kknnyyp x yq x yfxknyyyyp x yq x yf xfxfx设为方程的特解则是定理线性方程的叠加方程理的特解原21231.:( ) ( )( ):,(0)1, (0)3.xxyp x yq x yf xyx yeyeyy例 已知二阶线性方程的三个特

14、解求满足条件的特解利用一个已知的解求出别的解11( )2121212.(1)( )( ) ( )0( ):1 ( )( ).( ):0,. p x dxy xyp x yq x yy xy xy xedxy xx yxyyyx例设是方程的一个特解,证明此方程与线性无关的另一个特解为(2) 已知二阶线性方程的一个特解为求该方程的通解作业Xt7.42 4 二、二阶常系数线性ode的解法 1.齐次方程的通解求法 : 0 0 (0) ?,.axrxyaxyeaybycyayer基本想法回顾一阶方程有形如 的解.那么对于方程 是否也有指数函数形式的解其中 待定 可以是实数也可以是复数2: 0.a rbr

15、c特征方程 121212121.,: ;2. 0,: ();3.,: . r xr xrxCaser ryaybycyC eC eCaseryCC x eCasei特征方程有两个不同实根则通解为特征方程有一个二重实根则通 解为特征方程有一对共轭复根则 方程通解为的通解结论12 (cossin).xyeCxCx3.(1) 2 30,(2) 2 0,(3) 2 50.yyyyyyyyy例 求下列方程的通解u可以将此方法推广到n阶线性 常系数齐次方程(4)(4)4.:4 10 12 50.5.:2 0.yyyyyyyy例 求解方程例 求解方程2.常系数非齐次方程特解的求法)( xfcybyay(1)

16、.待定系数法f(x)具有特殊形式时,上述方程特解的求法.这里的特殊形式是指:f(x)是指数函数、正弦函数、余弦函数、多项式,或这些函数的某种组合.201(1), (2)sin,(3).,(1);,(1),;,(1),.,:xnxxxxnxAeAeAxaybycyeaybycyxaybycykkeAxeAx exk x若 不是特征方程的根 则有形式为若 是单重特种根 则没有这样的解 但有这种形式的解 若 是二重特征根 则无这种形式的解 但有形式的解结论6.: 2 3.7.: 4 4cos2 .8.: 2 331.xyyyeyyyxyyyx例 求解方程例 求解方程例 求解方程2,(4)( );,(

17、4)( );,(4)( )(4)( ),:.xnxnxnxnQ x exQ x eaybycyP x ex Q x e若 不是特征根 则有形如的解若 是单重特征根 则有形如的解 若是二重特征根 则有形如论的解结()12121212(5)( )cos.:( ),(4),.,(:.6)xnixnaybycyP x exaybycyP x eyyiyaybycyfifyyaybycyfaybycyf考虑方程属于类型再利用下面的注解就可得出方程的解若是的解，则分别是和的解非齐次项是上述各种注函数叠加的情况9.: 3 23.10.: 44sin2.xyyyxeyyxx例 求解方程例求解方程作业xt7.47(1,3,6,7) 8(1,3,5)(2)常数变易法方法和一阶方程一样，将齐次方程通解中的常数变为函数代入。11.: csc.yyx例求方程的一个特解三、欧拉方程222: ()( ):()(1)0.ttxed ydyabacyf edtdtarba rcar rbrc方法 令 将方程化为则特征方程为2( )ax ybxycyf x二阶欧拉方程：2212.(1) 3 5;(2) (1) 5(1) 30.x yxy