《分部积分法》ppt课件

1、第三节第三节 分部积分法分部积分法 问题：问题： xdxxcos? 用前面讲过的方法，都不行。用前面讲过的方法，都不行。怎样积？怎样积？用分部积分法。用分部积分法。定理定理 分部积分公式）分部积分公式）则有则有都有连续的导数，都有连续的导数，若若( )(),( vduuvudvxvvxuu证证 )(uvuvvu uvvuuv)( 两边积分，得两边积分，得 dxuv dxuv)( vdxu uv vdxu即即 vdxuuvdxuv dxvuuvdxuv即即 vduuvudv例例1 xdxxcos分析：分析：?,vu怎怎样样选选xu xdxdvcos 或或xucos xdxdv 选哪一种？选哪一种

2、？12假设选假设选2，xucos xdxdv v22x xdxxcos xdxx cos )2(cos2xxd 2 cos2xx )(cos22xdx 2cos2xx xdxx sin212积分更繁了！积分更繁了！例例1 xdxxcos解解xu xdxdvcos vxsin xdxxcosxxsin xdxsin xxsin )cos(x C Cxxx cossin注：注：熟练后，也可不写出熟练后，也可不写出vu, )(sin xxd 例例2 dxxex解解xu dxedvx vxe dxxexxxe dxex xxe xeC )(xexd 例例3 dxexx22解解2xu dxedvx2 v

3、xe221 dxexx22xex2221 )(2122 xdex xex2221 xdxex2212 )21(22xedx dxxeexxx22221xu dxedvx2 vxe221 xex2221 )21(2xexd xex2221 )21(2xexd xex2221 xxe221()212dxex xxxeex2222121 dxex 221 xxxeex2222121 21xe221C Cexeexxxx 2222412121规律：规律：在计算形如在计算形如)0( ,cos ,sin , knkxdxxkxdxxdxexnnkxn正整数，正整数，这里这里的积分时，选的积分时，选nxu

4、剩余部分为剩余部分为dv例例4 xdxxln解解xuln xdxdv v221x xdxxlnxx ln212 )(ln212xdx xx ln212 dxxx1212 )21(ln2xxd xx ln212dxx 21 xx ln212 22121xC Cxxx 2241ln21例例5 xdxxarctan解解xuarctan xdxdv v221x xdxxarctanxx arctan212 )(arctan212xdx xx arctan212 dxxx221121 )21(arctan2xxd xx arctan212dxxx 2211)1(21 xx arctan212 dxx)1

5、11(212 xx arctan212)arctan(21xx C Cxxxx arctan2121arctan212例例6 xdxarccos解解xuarccos dxdv vx xdxarccosxxarccos )(arccos xxd xxarccos dxxx)11(2 xxarccos)1(112122xdx xxarccos21212x C Cxxx 21arccos规律：规律：在计算形如在计算形如)0( ln , cot , arctan , arcsin , arccos knxdxxkxdxarcxkxdxxkxdxxkxdxxnnnnn正整数，正整数，这里这里的积分时，选

6、的积分时，选xkxarckxkxxuln,cot,arctan,arcsin,arccos 剩余部分为剩余部分为dv例例7 xdxexsin解解xeu xdxdvsin vxcos xdxexsinxexcos )()cos(xedx xexcos dxexx )cos( )cos(xdex xexcosdxxex cosxeu xdxdvcos xvsin )(sincosxdexexx xexcos )(sinsin xxexdxe dxexxexexxx sinsincos xdxexexexxxsin sincos xdxexsin)sincos(21xexexx C 注注在上例中在上

7、例中,用了两次分部积分公式后用了两次分部积分公式后,等式右等式右端出现了端出现了 与等式左端一样的积分与等式左端一样的积分,但符号相反但符号相反.这种情形称为循环这种情形称为循环.例例8dxx 3sec xdxx2secsec )(tansecxxd )(sectantansecxxdxx xdxxxxxtansectantansec dxxxxx sectantansec2 dxxxxx sec)1(sectansec2 dxxxdxxx secsectansec3 |tansec|lnsectansec3xxxdxxx 循环循环 xdx3sec|)tansec|lntan(sec21xxx

8、x C 例例9)( ,)(122为正整数为正整数求求ndxaxInn 解解dxaxInn )(122)(1)(2222nnaxdxaxx dxxaxnxaxxnn2)(1)(12222 dxaxnxaxxnn122222)(2)( dxaxxnaxxnn122222)(2)( dxaxaaxnaxxnn12222222)()(2)( dxaxnadxaxnaxxnnn12222222)(12)(12)(122222)( nnnInanIaxx即即122222)( nnnnInanIaxxI)12()(212221nnnInaxxnaI ,.)2 , 1( n递推公式递推公式例如例如,1时时 n由递推公式得由递推公式得)112()(12111222112IaxxaII )(211222Iaxxa dxaxI 2211由于由于Caxa arctan1 2ICaxaaxxa )arctan1(21222例例10dxx sinxt 令令 td