研究生入学考试山建修订线性代数作业答案

1、第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）（2）2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）2 4 1 3；（2）1 3 2 4 ；（3）1 3 2.解（1）逆序数为3. （2）逆序数为.（3）逆序数为.3.写出四阶行列式中含有因子的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数由于已固定，只能形如，即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算下列各行列式：解(1)=0(2)=(3)=5、证明：(1) (2) (3) = (4) 用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立，即所以，对于阶行列式命题成立.6、计算下列各行列式（为阶行列式）：(1),

2、 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0; 解=an-an-2=an-2(a2-1).(2);解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得,再将各列都加到第一列上,得=x+(n-1)a(x-a)n-1.(3) (4) 由此得递推公式：即而得(5)=7.用克莱姆法则解下列方程组：解9.有非零解？解，齐次线性方程组有非零解，则即, 得不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1已知两个线性变换求从变量到变量的线性变换。解 由已知所以有 2设求及.解.3计算；解：.解：。4设,求.解 ; 利用数学归纳法证明:当时,显然成立,假设时成立,则时由数学归纳法原理知:.5设求.解 首先观

3、察, 由此推测 (*)用数学归纳法证明: 当时,显然成立. 假设时成立，则时，由数学归纳法原理知:(*)成立.6设都是阶对称阵,证明是对称阵的充要条件是.证明：由已知：充分性：即是对称矩阵.必要性：.7设,，问：(1)吗?(2)吗?(3)吗?解(1),. 则(2)但故(3)而 故 8举反例说明下列命题是错误的:（）若,则;（）若,则或;（）若,且, 则.解 (1)取,但(2)取,但且(3)取,. 且 但.9已知线性变换求从变量到变量的线性变换。解：所以即.10求下列方阵的逆阵：解：,.解： 故存在从而 .（3）解：由对角矩阵的性质知 .11解矩阵方程：解：解：.12、利用逆阵解线性方程组： .

4、解：解、(1)方程组可表示为 故 从而有 .13、设（为正整数）,证明：.证明：一方面，另一方面，由有故两端同时右乘就有.14、设, 求.解由可得故.15、设, 其中, 求.解故所以而 故.16.设矩阵可逆，证明其伴随阵也可逆，且。证 因=，由的可逆性及，可知可逆，且；另一方面，由伴随阵的性质，有=.用左乘此式两边得=,比较上面两个式子，即知结论成立。17、设阶方阵的伴随阵为,证明: 若,则；.证明(1)用反证法证明假设则有.由此得.这与矛盾，故当时, 有.(2)由于取行列式得到:若 则若由(1)知此时命题也成立故有.18.设，求。解由于所给矩阵方程中含有及其伴随矩阵，因此仍从公式=着手。为此

5、，用左乘所给方程两边，得，又，=2AB-8E=8E=4E.注意到=,是可逆矩阵，且=,于是4=.19、设,求及及.解，令,. 则. 故. . .第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形：解(下一步:r2-3r1,r3-2r1,r4-3r1. )(下一步:r2¸(-4),r3¸(-3) ,r4¸(-5). )(下一步:r1-3r2,r3-r2,r4-r2. ) .2. 利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆：解, 故逆矩阵为.(2) 解 故逆矩阵为.3. 设, 求X使AX=B.解因为,所以 .4. 求作一个秩是4的方阵，使它的两个行向量.解用已知向

6、量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:,此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.5. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式.解(下一步:r1«r2. )(下一步:r2-3r1,r3-r1. )(下一步:r3-r2. ),矩阵的,是一个最高阶非零子式.解 (下一步:r1-r2,r2-2r1,r3-7r1. )(下一步:r3-3r2. ) ,矩阵的秩是2,是一个最高阶非零子式.6. 解下列齐次线性方程组： 解 对系数矩阵A进行初等行变换,有A=, 于是 ,故方程组的解为(k1,k2为任意常数). 解 对系数矩阵A进行初等行变换,有A=, 于是 ,故方程组的解为 (k1,k2

7、为任意常数).7. 写出一个以为通解的齐次线性方程组.解根据已知,可得,与此等价地可以写成,或,或,这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.非齐次线性方程组.8 解下列非齐次线性方程组：解对增广矩阵B进行初等行变换,有B=, 于是,即(k1,k2为任意常数).解对增广矩阵B进行初等行变换,有B=,于是 ,即 (k1,k2为任意常数)9. 当l取何值时有解？并求出它的解.解.要使方程组有解, 必须(1-l)(l+2)=0, 即l=1,l=-2.当l=1时,方程组解为 或,即 (k为任意常数). 当l=-2时,方程组解为 或,即(k为任意常数).10. 设.问l为何值时, 此方程组有唯一解、无解或

8、有无穷多解? 并在有无穷多解时求解.解B=要使方程组有唯一解, 必须R(A)=R(B)=3, 即必须(1-l)(10-l)¹0,所以当l¹1且l¹10时, 方程组有唯一解.要使方程组无解, 必须R(A)<R(B), 即必须(1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)¹0,所以当l=10时, 方程组无解.要使方程组有无穷多解, 必须R(A)=R(B)<3, 即必须(1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)=0,所以当l=1时, 方程组有无穷多解.此时，增广矩阵为B, 方程组的解为 ,或 (k1,k2为任意常数).线性代数期中复习答案一

9、、选择题（1）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A) . (B) .(C) . (D) . B 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住 与 ，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题成立，可排除(A),(C

10、)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题不成立，排除(D),故正确选项为(B). (2) 设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系(A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. B 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】 因为基础解系含向量的个数=, 而且根据已知条件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 从而基

11、础解系仅含一个解向量, 即选(B).（3）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积。【详解】由题设，有， ，于是， 可见，应选(D).（4）设阶矩阵与等价, 则必须(A) 当时, . (B) 当时, .(C) 当时, . (D) 当时, . D 【分析】 利用矩阵与等价的充要条件: 立即可得.【详解】因为当时, , 又与等价, 故, 即, 从而选 (D).

12、二、填空题（1） 设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则 .【分析】 先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】 由知， ，即 ，易知矩阵A+E可逆，于是有 再两边取行列式，得 ，因为 , 所以 .（2）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 .【分析】 可先用公式进行化简【详解】 已知等式两边同时右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再两边取行列式，有 ，而 ，故所求行列式为（3） 设，其中为三阶可逆矩阵,则【分析】 将的幂次转化为的幂次, 并注意到为对角矩阵即得答案.【详解】因为, .故,.（4）已知矩阵，且的秩，则_-3_应填：（5）已知线性方程组有解，则_-

13、1_三. 证明R(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT,使A=abT.证明 必要性. 由R(A)=1知A的标准形为,即存在可逆矩阵P和Q, 使, 或. 令,bT=(1,0,×××,0)Q-1, 则a是非零列向量,bT是非零行向量, 且A=abT. 充分性. 因为a与bT是都是非零向量, 所以A是非零矩阵, 从而R(A)³1. 因为 1£R(A)=R(abT)£minR(a),R(bT)=min1, 1=1,所以R(A)=1.四、设阶矩阵和满足条件： 证明：是可逆矩阵，其中是阶单位 已知矩阵，求矩阵解： 由等式，得，

14、即因此矩阵可逆，而且 由知，即五、 当、为何值时，线性方程组有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解解： 将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵：所以， 当时，此时线性方程组有唯一解 当，时，此时线性方程组无解 当，时，此时线性方程组有无穷多组解 此时，原线性方程组化为因此，原线性方程组的通解为或者写为第四章向量组的线性相关性1设, 求及.解 2. 设其中, ,求.解由整理得3设,证明向量组线性相关.证明设有使得则(1) 若线性相关,则存在不全为零的数,; ; ; ;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2) 若线性无关, 则由知此齐次方程存在非零解. 则线性相关.综合得证

15、.4. 设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明设则因向量组线性无关,故因为故方程组只有零解.则. 所以线性无关5. 设向量组线性无关，向量可由向量组线性表示，而向量不能由向量组线性表示.证明:个向量必线性无关.证明6. 当为何值时，向量组，线性相关.解 由所以当时，所以.7. CCBC8. (1).线性相关；(2).；(3).线性相关；(4).线性无关。9. 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组：解线性相关.由秩为2,一组最大线性无关组为.10. 利用初等变换求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.解所以第1、2、3列构成一个最大无关组，。1

16、1. 已知向量组，与向量组，具有相同的秩，且可由向量组线性表示，求的值.解 因为线性无关，而，所以线性相关，且向量组的秩为2，所以向量组的秩也为2.由于可由线性表示，故可由线性表示，即线性相关.于是有 ，解得，另外，解得.故 ，.12. DC13. 由 所生成的向量空间记作 ，由所生成的向量空间记作 ，试证: .证明设, 任取中一向量,可写成,要证,从而得由得上式中,把看成已知数,把看成未知数有唯一解同理可证: () 故14. 验证为的一个基，并把，用这个基表示.解 由于即矩阵的秩为3. 故线性无关，则为的一个基.设，则故设，则故线性表示为15. 求下面齐次线性方程组的基础解系与通解.解(1)

17、所以原方程组等价于取得; 取得.因此基础解系为，通解为。16. 设，求一个矩阵，使，且.解由于,所以可设. 则由可得, ,解此非齐次线性方程组可得唯一解，故所求矩阵17.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。解 由于矩阵的秩为3，一维故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得为其基础解系向量，故此方程组的通解：，18求下列非齐次方程组的通解.解:通解为19. DBCAD第五章 相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把向量组正交化.解：根据施密特正交化方法:令，, ，故正交化后得 2. 判断下

18、列矩阵是不是正交阵，并说明理由:(1) (2)解： (1)第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵3. 设为n维列向量, , 令, 求证: H是对称的正交阵.证明 因为HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xT)TxT=E-2xxT,所以H是对称矩阵. 因为HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT)=E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT)=E-4xxT+4x(xTx)xT=E-4xxT+4xxT=E,所以H是正交矩阵.4. 设与都是阶正交矩阵, 证明：（1）也是正交阵；（2）也是正交阵

19、.证明（1）因为是阶正交阵，故， 所以 故也是正交阵正交.正交.（2） 因为是阶正交阵，故，故也是正交阵5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1) (2).并问它们的特征向量是否两两正交?解：(1) . 故的特征值为当时,解方程,由, 得基础解系所以是对应于的全部特征值向量当时,解方程,由, 得基础解系所以是对应于的全部特征向量,故不正交(2).故的特征值为当时，解方程，由,得基础解系故是对应于的全部特征值向量.当时,解方程，由,得基础解系故是对应于的全部特征值向量当时，解方程，由,得基础解系故是对应于的全部特征值向量，所以两两正交6.设为阶矩阵, 证明与的特征值相同.证明: 因为|AT-lE

20、|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|,所以AT与A的特征多项式相同, 从而AT与A的特征值相同.7. 设, 证明的特征值只能取1或2. 证明: 设l是A的任意一个特征值,x是A的对应于l的特征向量, 则(A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0.因为x¹0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是说l=1或l=2.8.设是阶矩阵的特征值, 证明也是阶矩阵的特征值.证明: 设x是AB的对应于l¹0的特征向量, 则有(AB)x=lx,于是B(AB)x=B(lx),或BA(Bx)=l(Bx),从而l是BA的

21、特征值, 且Bx是BA的对应于l的特征向量.9. 已知3阶矩阵的特征值为1,2,3, 求.解: 令j(l)=l3-5l2+7l, 则j(1)=3,j(2)=2,j(3)=3是j(A)的特征值, 故|A3-5A2+7A|=|j(A)|=j(1)×j(2)×j(3)=3´2´3=18.10. 设方阵与相似, 求x , y.解 方阵与相似，则与的特征多项式相同，即11. 设A与B都是n阶方阵,且,证明AB与BA相似.证明: 则可逆 则与相似12. 设矩阵可相似对角化, 求.解由,得A的特征值为l1=6,l2=l3=1.因为A可相似对角化,所以对于l2=l3=1

22、,齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关的解,因此R(A-E)=1.由知当x=3时R(A-E)=1,即x=3为所求.13. 设3阶方阵A的特征值为;对应的特征向量依次为求A.解：因为，又，所以，.14. 已知是矩阵的一个特征向量，试求参数及特征向量所对应的特征值.解：设l是特征向量p所对应的特征值,则 (A-lE)p=0,即,解之得l=-1,a=-3,b=0.15. 设3阶实对称阵A的特征值为6,3,3, 与特征值6对应的特征向量为，求A.解： 设. 由，知3是的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知的秩为1，故利用可推出秩为1.则存在实的使得成立由解得得16. 试求一个正交的相似变换矩

23、阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1); 解：故得特征值为当时，由. 解得. 单位特征向量可取:当时,由. 解得. 单位特征向量可取:当时,由.解得单位特征向量可取:, 得正交阵. . (2) 解：，故得特征值为当时，由. 解得此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量; ，单位化得当时,由. 解得. 单位化得.得正交阵. 17. 设, 求解 由,得A的特征值为l1=1,l2=5,l3=-5.对于l1=1, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(1,0,0)T.对于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得特征向量p2=(2,1,2)T.对于l1=-5, 解方程(A+5E)x=0,

24、 得特征向量p3=(1,-2,1)T.令P=(p1,p2,p3), 则P-1AP=diag(1,5,-5)=L,A=PLP-1,A100=PL100P-1.因为L100=diag(1,5100,5100),所以.18. 用矩阵记号表示下列二次型:(1);解： (2).解：19. 求一个正交矩阵化下列二次型成标准形:(1);解：二次型的矩阵为, 故的特征值为当时, 解方程，由. 得基础解系. 取当时，解方程，由，得基础解系. 取当时，解方程，由得基础解系. 取，于是正交变换为. 且有(2).解：二次型矩阵为，故的特征值为当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，当时，可得单位特征向量，于是正交变换为且有20. 证明:二次型在时的最大值为方阵A的最大特征值.证明为实对称矩阵，则有一正交矩阵，使得成立其中为的特征值，不妨设最大，为正交矩阵，则且，故则其中当时，即即故得证21.用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵：(1)；解 f(x1,x2,x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3=(x1+x3)2+x32+2x2x3;=(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2.令 , 即,二次型化为规范形f=y12-y22+y32,所用的变换矩阵为(2).解 f(x1,x2,x3)=