八年级数学上册第一章 勾股定理单元课件

1、探索探索勾股定理勾股定理 要养成用数学的思维去解读世要养成用数学的思维去解读世界的习惯。界的习惯。 只有不断的思考，才会有新的只有不断的思考，才会有新的发现；只有量的变化，才会发现；只有量的变化，才会有质的进步。有质的进步。 教师寄语教师寄语123 相传两千多年前，一次毕达哥拉斯去朋友家相传两千多年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？下面的图案，看看你能发现什么？地砖上的学问地砖上的学问学习目标：学习目标：1

2、.体验勾股定理的探索过程，学习体验勾股定理的探索过程，学习古今中外数学家的探索精神。古今中外数学家的探索精神。2.会运用勾股定理解决简单问题。会运用勾股定理解决简单问题。ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图1图图2cS正方形143 3182 分分“割割”成若干个直成若干个直角边为整数的三角形角边为整数的三角形A的面的面积积(单位单位)B的面的面积积(单位单位)C的面的面积积(单位单位)图图1图图2A、B、C面积面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系 SA+SB=SC两直角边的平方和两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方994184

3、8把把C“补补” 成边长为成边长为6的的正方形面积的一半正方形面积的一半18cS正方形2162SA=SB=SC= 32+42= 5291625= 32 = 42 = 52 SA+SB=SCBAC思考：思考：一般的直角一般的直角三角形，三角形，面积面积A，B，C还有上述关系吗？还有上述关系吗？SaSbSca ab b 推广推广:一般的直角三角形一般的直角三角形,上述结论成立吗？上述结论成立吗？猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2设：直角三角形的三边长分别是设：直角三角形的三边长分别是a、b、cS Sa a+S+Sb b=

4、S=Sc cc在RtABC中, C=90.ACBabca=3cmb=4cmc=a 2+b 2= c 2=25cm2 25cm2a a2 2+b+b2 2=c=c2 2精心计算精心计算 数据验证数据验证5cm?cma a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 直角三角形直角三角形两直角边的两直角边的平方和平方和等于等于斜边的斜边的平方平方. .勾勾股股弦弦 勾股定理勾股定理:(gou-gu theorem)人类最伟大的十个科学发现之一人类最伟大的十个科学发现之一 . 小组活动小组活动：请你利用自己准备请你利用自己准备的四个全等的直角三角形通过拼图的四个全等的直角三角形通过拼图计算面

5、积来验证勾股定理计算面积来验证勾股定理. 有不同的拼法有不同的拼法吗吗？ c2abca2b2 a2 + b2 = c2 abcabcABCDEFO 意大利文意大利文艺复兴时代艺复兴时代的著名画家的著名画家达达芬奇对芬奇对勾股定理进勾股定理进行了研究。行了研究。AaBCbDEFOABCDEF1. 1.求下列图中正方形的面积和边长。求下列图中正方形的面积和边长。8181144144A AB BC C625625576576144144169169x xy yz z2.2.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8

6、x x171716162020 x x12125 5x x1 、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积15厘米厘米17厘米厘米解：设正方形的边长为解：设正方形的边长为x厘米厘米 , 则则 x2=172-152 x2=64答：正方形的面积是答：正方形的面积是64平方厘米。平方厘米。我能行我能行 定理内容定理内容勾股勾股定理定理定理运用定理运用重要的重要的思想方思想方法及数法及数学思想学思想从特殊从特殊到一般、到一般、数形结数形结合思想合思想A组：（必做题）习题组：（必做题）习题1.2 1 ，2，3题。题。 B组：（选做题）课本问题解决组：（选做题）课

7、本问题解决1,C组：（探究题）印度数学家什迦逻曾提出过组：（探究题）印度数学家什迦逻曾提出过“荷荷花问题花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？浅？”请用学过的数学知识回答这个问题。请用学过的数学知识回答这个问题。 达标测评达标测评1. .在在ABC中，中，C=90。若。若a=6，b=8，则，则c= _。 2.在在ABC中，中，C=90。若。若c=13，b=12，a= _。

8、3.直角三角形的两直角边为直角三角形的两直角边为5、12，则三角形的，则三角形的 周长为周长为 _ 4. 在在ABC中中,C=90,如果如果c=10, a=6，那么，那么ABC的面积为的面积为 _.5. 若直角三角形中，有两边长是若直角三角形中，有两边长是3和和4，则第三边长，则第三边长 的平方为的平方为_. 10105 5303024247 7或或25252.2.如图所示，一棵大树在一次强烈台风如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面中于离地面9 9米处折断倒下，树顶落在米处折断倒下，树顶落在离树根离树根1212米处。大树在折断之前高多米处。大树在折断之前高多少？少？拓展延伸拓展延伸11美

9、丽的美丽的毕达哥拉斯毕达哥拉斯树树(1) (1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。(2) (2) 勾股定理反映了自然界基本规律勾股定理反映了自然界基本规律, ,有有文明的宇宙文明的宇宙“人人”都应该认识它，因而都应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与勾股定理图被建议作为与“外星人外星人”联联系的信号。系的信号。(3)(3)勾股定理导致不可通约量的发现，勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。引发第一次数学危机。(4)(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解题程序树立了一个范式。不定方程的解题程序树立

10、了一个范式。同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角?古埃及人曾用下面的方法得到直角古埃及人曾用下面的方法得到直角:用用13个等距的结个等距的结,把一根绳子分成等长的把一根绳子分成等长的12段段,一个工匠同时握住一个工匠同时握住绳子的第绳子的第1个结和第个结和第13个结个结,两个助手分别握住第两个助手分别握住第4个结和第个结和第8个结个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第其直角在第4个结处个结处.2做一做：做一做： 下面的三组数分别是一个三角形的三边长下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c： 5，12，13；

11、 3, 5, 6； 8，15，17.这三组数都满足这三组数都满足a2 +b2=c2吗？吗？ 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形 满足满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为的三个正整数，称为勾股数勾股数勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理13ABCDABCD34512例例1 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中件中A和和DBC都应为直角。工人师傅量得这都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求零件符合要求

12、吗？吗？1. 如果线段如果线段a,b,c能组成直角三角形能组成直角三角形, 则它们的比则它们的比可能是可能是 ( )A.3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.2. 将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是则得到的三角形是 ( )A.是直角三角形是直角三角形; B. 可能是锐角三角形可能是锐角三角形;C. 可能是钝角三角形可能是钝角三角形; D. 不可能是直角三角形不可能是直角三角形.3. 三角形的三边分别是三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式且满足等式(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是则此

13、三角形是: ( )A. 直角三角形直角三角形; B. 是锐角三角形是锐角三角形;C.是钝角三角形是钝角三角形; D. 是等腰直角三角形是等腰直角三角形.4. 已知已知ABC中中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三则此三角形为角形为_三角形三角形, _是最大角是最大角.5. 以以ABC的三条边为边长向外作正方形的三条边为边长向外作正方形, 依次依次得到的面积是得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是则这个三角形是_三角形三角形.ADCB6. 四边形四边形ABCD中已知中已知AB=3, BC=4, CD=12, DA=13, 且且ABC=90ABC=900 0, ,求这个

14、四求这个四边形的面积边形的面积. .7、请你写出三组勾股数；、请你写出三组勾股数；8、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？小结：小结：勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a，b，c满足满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形勾股数：勾股数： 满足满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为的三个正整数，称为勾股数勾股数补充思考题：补充思考题： ABC中，中，AB=17cm, BC=30cm, BC上中线上中线AD=8cm，请你判断，请你判断ABC的形状，并说明的形状，并说明理由。理由。2 2.

15、.3 3 勾股定理的应用勾股定理的应用1.3 勾股定理的应用例例1：如图所示，有一个圆柱，它的高是：如图所示，有一个圆柱，它的高是12cm,底面上底面上圆的周长等于圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点，在圆柱下底面的点A处有一只蚂处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点相对的点B处的食物，沿处的食物，沿圆柱侧面爬行到圆柱侧面爬行到B点，求其爬行的最短路程是多少？点，求其爬行的最短路程是多少？12h 请大家尝试从请大家尝试从A点到点到B点沿圆柱点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？路线最短呢？ 如果将圆柱侧面剪开展开成如果将

16、圆柱侧面剪开展开成一个长方形一个长方形,从从A点到点到B 点的最短路点的最短路线是什么线是什么?你画对了吗你画对了吗?例题解析例题解析C解：由题意得展开图，知解：由题意得展开图，知AB即为最短路径，其中即为最短路径，其中91821,12BCAC中，有在ABCRt故最短路径是故最短路径是15cm。12hBA归纳 解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和

17、高分别等于高分别等于50cm，30cm和和10cm，A和和B是这个是这个台阶的两个相对的端点，台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想点上有一只蚂蚁，想到到B点去吃可口的食物点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多点，最短线路是多少？少？BAABC50301050120小试牛刀小试牛刀例例2 2 李叔叔想检测雕塑底座正面李叔叔想检测雕塑底座正面的的ADAD边和边和BCBC边是否分别垂直于边是否分别垂直于底边底边ABAB，随身只带了一把卷尺，随身只带了一把卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？）你能替他想办法

18、完成任务吗？（2）量得）量得AD长是长是30厘米，厘米，AB长是长是40厘米，厘米，BD长是长是50厘米。厘米。AD边垂直于边垂直于AB边吗？边吗？ACDB（3)如果李叔叔随身只有一个长如果李叔叔随身只有一个长度为度为20厘米的刻度尺，能有办法厘米的刻度尺，能有办法检验检验AD边是否垂直于边是否垂直于AB边吗？边吗？边边BC与边与边AB呢？呢？勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？勾股定理主要应用于在直角三角形中求线段的长度，甚至周长或面积。勾股定理的逆定理应用于根据三边的长度判断三角形的形状。 例例3 在我国古代数学著作在我国古代数学著作九章算术九章算术中记载中记载了一道有趣的问题，了一道

19、有趣的问题，“今有池方一丈，葭生其中央，今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？几何？”这个问题的意思是：有一个水池，水面是这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为一个边长为10尺的正方形尺的正方形.在水池正中央有一根新生在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面的芦苇，它高出水面1尺尺.如果把这根芦苇垂直拉向如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？的深度和这根芦苇的长度各为多少？中国人民的聪明智慧真的让人叹服！ 5解：设水池的深度为解：设水池的深度为x x尺，则芦苇的长度为尺，则芦苇的长度为 x+1x+1尺。尺。xx+1由勾股定理得由勾股定理得 x x2 2 +5 +52 2=(=(x+1)2 x=12=12x x2 2 +25= x +25= x2 2+2x+124= 24= 2x答：水池的深度为答：水池的深度为1212尺，芦苇的长度为尺，芦苇的长度为13尺尺x+1=13=13（尺）（尺）如图是一个滑梯示意图，若将滑道如图是一